2020-2021学年山东省泰安市岱岳区七年级(下)期末数学试卷(五四学制)

2020-2021学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷
（五四学制）
一、选择题：本大题共16个小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列命题的逆命题不正确的是( )
A ．全等三角形的对应边相等
B ．直角三角形两锐角互余
C ．如果a
b
=，那么2
2
a b
= D ．两直线平行，同旁内角互补
2．（3分）等腰三角形中有一个角为100︒，则其底角为( )
A ．50︒
B ．40︒
C ．40︒或100︒
D ．50︒或100︒
3．（3分）若x
y
<，则下列不等式成立的是(
)
A ．33x
y
> B ．11x
y +<+ C ．
33
x y > D ．3
3
x y -
<-
4．（3分）如图，A B C ∆中，65A ∠=︒
，50B ∠=︒
，点D 在B C 延长线上，则A C D ∠的度数
是(
)
A ．65︒
B ．105︒
C ．115︒
D ．125︒
5．（3分）如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是( )
A ．13
∠=
∠ B ．2
4180∠+∠=︒
C ．14
∠=
∠ D ．3
4
∠=∠
6．（3分）下列事件不能确定是等可能事件的是( )
A ．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下
B ．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽到
C ．今年7月1号下雨或不下雨
D ．不透明的袋子里装有6个球，3红3白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一球，颜色是白色或红色 7．（3分）二元一次方程组32325
x y x y -=⎧⎨
+=⎩的解是(
)
A ．1
x y =⎧⎨
=⎩
B ．32
2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
C ．23
2
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ D ．71
x y =⎧⎨
=-⎩
8．（3分）不等式组10213
x x +>⎧⎨
+⎩…的解集在数轴上表示正确的是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（3分）关于等边三角形的说法： （1） 等边三角形有三条对称轴；
（2） 有一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角等于60︒的三角形是等边三角形；
（4） 等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等 ． 其中正确的说法有( )
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
10．（3分）小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规( )
A ．12个
B ．13个
C ．14个
D ．15个
11．（3分）如图，是一圆形圆盘，阴影部分扇形圆心角为120︒，转动转盘，转盘停止后，指针落在阴影部分的概率是(
)
A ．
12
B ．1
3
C ．
14
D ．无法确定 12．（3分）如图，在A B C ∆中，90A C B ∠=︒
，B E 平分A B C ∠，D E A B
⊥于D ．如果10A C
c m
=，
那么A E
D E
+等于(
)
A ．6c m
B ．8c m
C ．10c m
D ．12c m
13．（3分）如图，在A B C ∆中，A D
B C
⊥于D ，17
A B
=，15
B D =，6
D C
=，则A C 的长
为(
)
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
14．（3分）一次函数24
y
x =+的图象如图所示，则下列说法中错误的是( )
A ．2
x
=-，0
y
=是方程24
y
x =+的解 B ．直线24
y x =+经过点(1,2)-
C ．当2
x
<-时，0
y >
D ．当0
x
>时，4
y >
15．（3分）不等式组212x x x m
-+⎧⎨
⎩……无解，则m 的取值范围为( )
A ．4
m …
B ．3
m
<
C ．43m <…
D ．3
m …
16．（3分）如图，A D 平分B A C ∠，D E A C
⊥，垂足为E ，//B F A C
交E D 的延长线于点F ，
若B C 恰好平分A B F ∠．则下列结论中： ①A D 是A B C ∆的高； ②A D 是A B C ∆的中线； ③E D
F D
=；
④A B
A E
B F
=+．
其中正确的个数有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
17．（4分）如图，在A B C ∆中，B C 的垂直平分线分别交B C 、A B 于点E 、F ．若A F C ∆是等边三角形，则B
∠=
︒
．
18．（4分）直线y
k x b
=+经过(2,1)A 和(0,3)B -两点，则不等式组132
k x b x
-<
+<
的整数解
为 ．
19．（4分）如图，已知//A B
C D
，93B A E
∠=︒
，118D C E
∠=︒
，则E ∠的度数是 度．
20．（4分）在平面直角坐标系中，点(62,4)
P m m -
-在第三象限，则m 的取值范围是 ．
21．（4分）小明向图中的小正方形组成的网格内随意放一棋子，使之落在阴影区域的三角形内的概率是 ．
22．（4分）如图，已知30P M Q
∠=︒
，点1A ，2A ，3A ⋯在射线M Q 上，点1B ，2B ，3B ⋯均
在射线M P 上，△
112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯均为等边三角形，若1
1
M A =，则△
202120212022
A B
A
的边长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
23．（9分）如图，已知//A D E F
，2
50∠=︒
．
（1）求3∠的度数； （2）若12∠=∠，问：//D G B A
吗？请说明理由； （3）若12
∠=
∠，且20D A G
∠=︒
，求A G D ∠的度数．
24．（8分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是
23
，请求出后来放入袋中的红球的个数．
25．（18分）解方程组或不等式（组): （1）解方程组：4132316x y x y +=⎧⎨
+=⎩；
（2）解不等式：
113125
10
4
x x -+->
；
（3）解不等式组：
6152(43) 2112
323
x x
x
x
+>+
⎧
⎪
-
⎨
-
⎪
⎩
…
．
26．（8分）如图，A D是B A C
∠的角平分线，//
G E A D，交B A的延长线于G点，交B C、A C于E、F点．求证：A G A F
=．
27．（10分）泰安市在创建“全国文明城市”期间，某社区计划为居民活动中心购买羽毛球拍和跳绳供居民健身使用．如果购买羽毛球拍20只，跳绳15根，共需380元；如果购买羽毛球拍15只，跳绳10根，共需280元．
（1）求羽毛球拍和跳绳的单价各是多少元？
（2）现要购买羽毛球拍和跳绳共100件，总费用不超过900元，那么羽毛球拍最多购买多少只？
28．（12分）如图，直线1:
(0)
l y k x b k =+≠与x 轴交于点(2,0)A -，与直线2
2:44
l y x =-交
于点(,4)P m ，直线1l 交y 轴于点B ，直线2l 交x 轴于点C ． （1）求直线1l 的表达式； （2）请直接写出使得不等式44
k x
b x +<-成立的x 的取值范围． （3）在直线2l 上找点M ，使得M A C
P B C
S S ∆∆=，求点M 的坐标．
29．（13分）数学课上，老师出示了如下题目：如图1，在等边三角形A B C中，点E在A B 上，点D在C B的延长线上，且E D E C
=，试确定线段A E与D B的大小关系，并说明理由．
小明与同桌讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况入手探索：
当点E为A B的中点时，如图2，他们得到A E D B（填“>”，“<”或“=”)，请你写出推理过程．（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与E B D
∆全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图3，过点E作//
E F B C，交A C于点F．（请完成余下的证明过程）
（3）应用结论解决问题：
在边长为5的等边三角形A B C中，点E在直线A B上，且2
A E=，点D在直线
B C上，
=，则C D=（直接写出结果）．
E D E C
2020-2021学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷
（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16个小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列命题的逆命题不正确的是( )
A ．全等三角形的对应边相等
B ．直角三角形两锐角互余
C ．如果a
b
=，那么2
2
a b
= D ．两直线平行，同旁内角互补
【解答】解：A ．全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，逆命题是真命题；
B
．直角三角形两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命
题；
C
．如果a
b
=，那么2
2
a b
=的逆命题是如果2
2
a b
=，那么a
b
=，逆命题是假命题；
D
．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题；
故选：C ．
2．（3分）等腰三角形中有一个角为100︒，则其底角为( )
A ．50︒
B ．40︒
C ．40︒或100︒
D ．50︒或100︒
【解答】解：等腰三角形的一个角100︒，
100∴︒
的角是顶角，
∴
底角是1(180100)402
⨯︒-︒=︒
，
故选：B ． 3．（3分）若x
y
<，则下列不等式成立的是(
)
A ．33x
y
> B ．11x
y +<+
C ．33
x y > D ．3
3
x y -
<-
【解答】解：A ．由x
y
<，可得33x y
<，故本选项不合题意；
B ．由x y
<，可得11x y +<+，故本选项符合题意； C
．由x
y
<可得
33
x y <
，故本选项不合题意；
D
．由x
y
<可得3
3
x y -
>-
，故本选项不合题意；
故选：B ．
4．（3分）如图，A B C ∆中，65A ∠=︒
，50B
∠=︒
，点D 在B C 延长线上，则A C D ∠的度数
是(
)
A ．65︒
B ．105︒
C ．115︒
D ．125︒
【解答】解：
A C D
∠是A B C ∆的外角，
6550115A C D A B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
．
故选：C ．
5．（3分）如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是(
)
A ．13
∠=
∠
B ．2
4180∠+∠=︒
C ．14
∠=
∠ D ．3
4
∠=∠
【解答】解：由13
∠=∠，可得直线a 与b 平行，故A 能判定；
由2
4180∠+∠=︒
，2
5
∠=∠，4
3
∠=∠，可得35180∠+
∠=︒
，故直线a 与b 平行，故B 能
判定； 由14
∠=∠，4
3
∠=∠，可得13
∠=
∠，故直线a 与b 平行，故C 能判定；
由3
4
∠=∠，不能判定直线a 与b 平行，
故选：D ．
6．（3分）下列事件不能确定是等可能事件的是( )
A ．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下
B ．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽到
C ．今年7月1号下雨或不下雨
D ．不透明的袋子里装有6个球，3红3白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一球，颜色是白色或红色
【解答】解：A ．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下是等可能事件，故选项不符合题意；
B
．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽
到是等可能事件，故选项不符合题意；
C
．今年7月1号下雨或不下雨不能确定是等可能事件，故选项符合题意；
D
．不透明的袋子里装有6个球，3红3白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一
球，颜色是白色或红色是等可能事件，故选项不符合题意； 故选：C ．
7．（3分）二元一次方程组32325
x y x y -=⎧⎨
+=⎩的解是(
)
A ．10
x y =⎧⎨
=⎩
B ．32
2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
C ．23
2
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ D ．71
x y =⎧⎨
=-⎩
【解答】解：32325x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，
①+②得：48
x =，
则2x =， 把2
x
=代入25
x
y +=得：
32
y =
，
方程组的解为2
3
2
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩．
故选：C ． 8．（3分）不等式组10213
x x +>⎧⎨
+⎩…的解集在数轴上表示正确的是(
)
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式10
x>-，
x+>，得：1
解不等式213
x…，
x+…，得：1
则不等式组的解集为11
x
-<…，
故选：A．
9．（3分）关于等边三角形的说法：
（1）等边三角形有三条对称轴；
（2）有一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于60︒的三角形是等边三角形；
（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等．
其中正确的说法有()
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【解答】解：根据等边三角形的性质：（1）等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60 度；
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线；
由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正确，
所以正确的说法有 4 个，
故选：D．
10．（3分）小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规()
A．12个B．13个C．14个D．15个
【解答】解：设买x个圆规，则三角板有(30)x
-个，
则有：52(30)100
+-…，
x x
即340
x …
，
113
3
x …，又因为x 为正整数，
因此最多能买13个圆规． 故选：B ．
11．（3分）如图，是一圆形圆盘，阴影部分扇形圆心角为120︒，转动转盘，转盘停止后，指针落在阴影部分的概率是(
)
A ．
12
B ．1
3
C ．
14
D ．无法确定
【解答】解：P （指向阴影）12013603
︒==︒
，
故选：B ．
12．（3分）如图，在A B C ∆中，
90A C B ∠=︒
，
B E 平分A B
C ∠，
D
E A B
⊥于D ．如果10A C
c m
=，
那么A E
D E
+等于(
)
A ．6c m
B ．8c m
C ．10c m
D ．12c m
【解答】解：
90A C B ∠=︒
，
E C B C
∴⊥，
又
B E
平分A B C ∠，D E
A B
⊥，
C E
D E
∴=，
A E D E A E C E A C ∴+=+=，
10A C c m
=，
10A E D E A C c m
∴+==，
故选：C ．
13．（3分）如图，在A B C ∆中，A D
B C
⊥于D ，17
A B
=，15
B D
=，6
D C
=，则A C 的长
为(
)
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
【解答】解：如图，
A D
B C
⊥，
90A D B A D C ∴∠=∠=︒
． 又
17
A B =，15
B D
=，6
D C
=，
∴
在直角A B D ∆中，由勾股定理得到：2
2
2
64
A D A B
B D
=-=．
在直角A C D ∆中，由勾股定理得到：10
A C =
==，即10
A C
=．
故选：B ．
14．（3分）一次函数24
y
x =+的图象如图所示，则下列说法中错误的是(
)
A ．2
x
=-，0
y
=是方程24
y
x =+的解 B ．直线24
y x =+经过点(1,2)-
C ．当2
x
<-时，0
y >
D ．当0
x
>时，4
y >
【解答】解：观察图象可知直线24
y
x =+经过(2,0)-和(0,4)，
2
x ∴=-，0
y
=是方程24
y x =+的解，故A 正确，
1x =-时，2
y =，
∴
直线24
y
x =+经过点(1,2)-，故B 正确， 当0
x >时，4
y
>，故D 正确， 当2
x
<-时，0
y
<，故C 错误，
故选：C ．
15．（3分）不等式组212x x x m
-+⎧⎨
⎩……无解，则m 的取值范围为(
)
A ．4
m …
B ．3
m
< C ．43m <… D ．3
m …
【解答】解：解不等式212
x x -+…，得：3x …，
又
x m
…且不等式组无解，
3
m ∴<，
故选：B ．
16．（3分）如图，A D 平分B A C ∠，D E
A C
⊥，垂足为E ，//B F
A C
交E D 的延长线于点F ，
若B C 恰好平分A B F ∠．则下列结论中： ①A D 是A B C ∆的高； ②A D 是A B C ∆的中线； ③E D F D
=；
④A B
A E
B F
=+．
其中正确的个数有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【解答】解：
B C
恰好平分A B F ∠，
A B C F B D ∴∠=∠，
//A C B F
， C F B D ∴∠=∠， C A B C ∴∠=∠，
A B C
∴∆为等腰三角形，
A D
平分B A C ∠，
A D
B C
∴⊥，C D
B D
=，所以①②正确；
过D 点作D H
A B
⊥于H ，如图，
A D
平分B A C ∠，D E
A C
⊥，D H
A B
⊥，
D E D H ∴=， //A C B F
，D E A C
⊥，
D F B F
∴⊥，
B D
平分A B F ∠，D H
A B
⊥，
D H D F ∴=，
D E D F
∴=，所以③正确；
在A D E ∆和A D H ∆中，
A D A D D E D H
=⎧⎨
=⎩，
()A D E A D H H L ∴∆≅∆，
A H A E
∴=，
同理可得B H B F
=，
A B A H B H A E B F
∴=+=+，所以④正确．
故选：A ．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
17．（4分）如图，在A B C ∆中，B C 的垂直平分线分别交B C 、A B 于点E 、F ．若A F C ∆是等边三角形，则B
∠=
30
︒
．
【解答】解：
E F
垂直平分B C ，
B F
C F
∴=， B B C F ∴∠=∠，
A C F
∆为等边三角形，
60A F C ∴∠=︒
，
30B B C F ∴∠=∠=︒
．
故答案为：30．
18．（4分）直线y
k x b
=+经过(2,1)A 和(0,3)B -两点，则不等式组132
k x b x
-<
+<
的整数解
为
1
x = ．
【解答】解：直线y
k x b
=+经过(2,1)A 和(0,3)B -两点，
∴123k b b
=+⎧⎨
-=⎩，
解得，23
k b =⎧⎨
=-⎩， 23
k x b x ∴+=-，
又132
k x b x
-<
+<
，
1
3232x x ∴-<-<，即3231
232
x x x -<-⎧⎪
⎨-<
⎪⎩，
解得，0
2
x <<，
∴
不等式组的整数解是1
x
=．
故答案是：1
x =．
19．（4分）如图，已知//A B C D
，93B A E
∠=︒
，118D C E
∠=︒
，则E ∠的度数是 25 度．
【解答】解：延长D C 交A E 于点F ，
//A B C D
，93B A E
∠=︒
，
93B A E E F C ∴∠=∠=︒，
118D C E ∠=︒
，D C E E E F C
∠=∠+∠，
1189325E ∴∠=︒-︒=︒
，
故答案为：25．
20．（4分）在平面直角坐标系中，点(62,4)P m m -
-在第三象限，则m 的取值范围是
4
m > ．
【解答】解：根据题意，得：62040
m m -<⎧⎨-<⎩①②
，
解不等式①，得：3m >， 解不等式②，得：4
m
>， 则不等式组的解集为4
m >，
故答案为：4
m
>．
21．（4分）小明向图中的小正方形组成的网格内随意放一棋子，使之落在阴影区域的三角形内的概率是
13
．
【解答】解：三角形面积为3223
⨯÷=，
正方形面积为33
9
⨯=，
故该棋子落在三角形内的概率是3193
=．
故答案为：1
3．
22．（4分）如图，已知30P M Q ∠=︒
，点1A ，2A ，3A ⋯在射线M Q 上，点1B ，2B ，3B ⋯均
在射线M P 上，△
112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯
均为等边三角形，若1
1
M A =，则△
202120212022
A B
A
的边长为
2020
2
．
【解答】解：△112A B A 为等边三角形，
11260B A A ∴∠=︒
，
30P M Q ∠=︒
，
1111230M B A B A A P M Q ∴∠=∠-∠=︒
，
11M B A P M Q
∴∠=∠，
1111
A B M A ∴==，
同理可得：
2222
A B M A ==，
2
33342
A B M A ===，
3
4442
A B M A ==，
..．
∴
△202120212022A B A 的边长2020
2
=
，
故答案为：20202．
三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
23．（9分）如图，已知//A D E F
，2
50∠=︒
．
（1）求3∠的度数； （2）若12∠=∠，问：//D G B A
吗？请说明理由； （3）若12
∠=
∠，且20D A G
∠=︒
，求A G D ∠的度数．
【解答】解：（1）
//A D E F
，
3250∴∠=∠=︒
；
（2）//D G
B A
，理由如下：
12∠=∠，32
∠=∠，
31
∴∠=∠， //D G B A
∴；
（3）
1250∠=∠=︒
，20G A D
∠=︒
，
1801110A G D G A D ∴∠=︒-∠-∠=︒
．
24．（8分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是
23
，请求出后来放入袋中的红球的个数．
【解答】解：（1）共10个球，有2个黄球，
P
∴（黄球）2110
5
=
=
；
（2）设有x 个红球，根据题意得：52103
x x
+=
+，
解得：5
x
=．
故后来放入袋中的红球有5个． 25．（18分）解方程组或不等式（组): （1）解方程组：4132316x y x y +=⎧⎨
+=⎩；
（2）解不等式：
113125
10
4
x x -+->
；
（3）解不等式组：6152(43)2112
3
23x x x x +>+⎧⎪
-⎨-⎪
⎩…．
【解答】解：（1）4132316
x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
，
①2
⨯-
②，得：510
y
=，
解得2
y =，
将2
y
=代入①，得：813
x +=，
解得5
x
=，
∴
方程组的解为52
x y =⎧⎨
=⎩；
（2）去分母，得：42(13)5(12)
x x -->+，
去括号，得：426510x x
-+>+，
移项，得：610542
x
x ->-+，
合并同类项，得：43
x ->，
系数化为1，得：34
x <-
；
（3）解不等式6152(43)x x +>+，得： 4.5
x
<，
解不等式
21123
23
x x --
…
，得：2x -…，
则不等式组的解集为2 4.5
x -<…．
26．（8分）如图，A D 是B A C ∠的角平分线，//G E
A D
，交B A 的延长线于G 点，交B C 、
A C
于E 、F 点．求证：A G
A F
=．
【解答】证明：
A D
是B A C ∠的角平分线，
B A D
C A
D ∴∠=∠，
//G E A D
， G B A D
∴∠=∠，A F G
C A D
∠=∠，
G A F G ∴∠=∠，
A G A F
∴=．
27．（10分）泰安市在创建“全国文明城市”期间，某社区计划为居民活动中心购买羽毛球拍和跳绳供居民健身使用．如果购买羽毛球拍20只，跳绳15根，共需380元；如果购买羽毛球拍15只，跳绳10根，共需280元． （1）求羽毛球拍和跳绳的单价各是多少元？
（2）现要购买羽毛球拍和跳绳共100件，总费用不超过900元，那么羽毛球拍最多购买多少只？
【解答】解：（1）设羽毛球拍每件x 元，跳绳每件y 元， 根据题意得：20153801510280
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得：164
x y =⎧⎨
=⎩．
答：羽毛球拍每件16元，跳绳每件4元； （2）设羽毛球拍购买a 件，则跳绳购买(100)
a -件，
根据题意得：164(100)900
a a +-…．
解得：1253
a …
．
a
为整数，
41
a ∴…．
答：羽毛球拍最多购买41件． 28．（12分）如图，直线1:
(0)
l y k x b k =+≠与x 轴交于点(2,0)A -，与直线2
2:44
l y x =-交
于点(,4)P m ，直线1l 交y 轴于点B ，直线2l 交x 轴于点C ． （1）求直线1l 的表达式； （2）请直接写出使得不等式44
k x
b x +<-成立的x 的取值范围． （3）在直线2l 上找点M ，使得M A C
P B C
S S ∆∆=，求点M 的坐标．
【解答】解：（1）把(,4)P m 代入244
y x =-，得444
m
-=，解得2
m
=，
所以P 点坐标为(2,4)， 把(2,0)A -，(2,4)P 代入1y k x b
=+，
得2024
k b k b -+=⎧⎨
+=⎩，解得12
k b =⎧⎨
=⎩，
所以直线1l 的表达式为12
y x =+；
（2）根据图象可知，使得不等式44
k x b x +<-成立的x 的取值范围是2
x
>；
（3）
12
y x =+，
∴
当0
x
=时，1
22
y x =+=，则(0,2)B ，
244y x =-，
∴
当0
y
=时，440
x
-=，解得1
x
=，则(1,0)C ，
11(12)4(12)23
2
2
P B C P A C B A C S S S ∆∆∆∴=-=
⨯+⨯-
⨯+⨯=，
设M 点坐标为(,44)
t t
-，
3
M A C P B C S S ∆∆==，
所以
1(12)|44|3
2
t ⨯+⨯-=，解得12
t
=或32
t
=
，
所以M 点的坐标为1
(2
，2)-或3(2
，2)．
29．（13分）数学课上，老师出示了如下题目：如图1，在等边三角形A B C中，点E在A B 上，点D在C B的延长线上，且E D E C
=，试确定线段A E与D B的大小关系，并说明理由．
小明与同桌讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况入手探索：
当点E为A B的中点时，如图2，他们得到A E=D B（填“>”，“<”或“=”)，请你写出推理过程．（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与E B D
∆全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图3，过点E作//
E F B C，交A C于点F．（请完成余下的证明过程）
（3）应用结论解决问题：
在边长为5的等边三角形A B C中，点E在直线A B上，且2
A E=，点D在直线
B C上，
=，则C D=（直接写出结果）．
E D E C
【解答】解：（1）A E D B
=，理由如下：
=，
E D E C
∴∠=∠
E D C E C D
A B C
∆是等边三角形，
∴∠=∠=︒，
60
A C
B A B C
点E为A B的中点，
1302
E C D A C B ∴∠=
∠=︒
，
30E D C ∴∠=︒
，
30D D E B ∴∠=∠=︒
，
D B B
E ∴=， A E B E =， A E D B
∴=；
故答案为：=．
（2）如图3，
A B C
∆为等边三角形，且//E F
B C
，
60A E F A B C ∴∠=∠=︒
，60A F E A C B ∠=∠=︒
，F E C
E C B
∠=∠；
120E F C D B E ∴∠=∠=︒；
E D E C
=， D E C B
∴∠=∠，D
F E C
∠=∠，
在E F C ∆与D B E ∆中，
F E C D E F C D B E E C D E
∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪
=⎩，
()E F C D B E A A S ∴∆≅∆，
E F D B
∴=；
60A E F A F E ∠=∠=︒
A E F
∴∆为等边三角形， A E E F ∴=， A E B D
∴=．
（3）①如图3，当点E在线段A B上时，257
=+=+=+=．
C D D B B C A E B C
②如图4，当点E在B A的延长线上时，过点E作//
E F B C，交C A的延长线于点F；
同理可证：523
=-=-=-=，
C D B C B D B C A E
综上所述，满足条件的C D的值为7或3．
故答案为：7或3．。