第四章 恒定电场和恒定磁场

J I
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
四、 静电比拟法
比拟法: 用一种物理场的解来类比与其有相同数学描述的另一种 物理场的解的方法.
U
D

0
U
J

0
静电场
恒定电场
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
恒定电场与静电场的比较 静电场（ 0 区域） S D dS 0, C E dl 0 D 0, E 0 D E E , 2 0 恒定电场（电源外） J dS 0, E dl 0
电磁场
由于 于是得到
U0
b
a
c E1 d E2 d
b
第4章 恒定电场和恒定磁场
I b I c ln( ) ln( ) 2 π 1 a 2 π 2 b
2 π 1 2U 0 I 2 ln(b a ) 1 ln(c b)
J e
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
三、恒定电场的边界条件
• 场矢量的边界条件

S
J dS 0 E dl 0
ˆ ( J 1 J 2 ) 0 即 J 1 n J 2n n
ˆ ( E1 E 2 ) 0 即 E1t E 2t n

C
ˆ n
场矢量的折射关系
媒质1 媒质2

J
, E2
2
J2

J
2 , 2
d1 d2
z
d2
2
)J J U (
1 2 1 2 1 2 由 D1n D2n S S D1 J , S D2 J 1 2 2 1 1 2 21 U S D2 D1 ( ) J 2 1 2 d1 1d 2
电位的边界条件
1 2 1 2 , 1 2 n n
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
说明：
恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；
1、1
b
a
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
1 2 1 2 , 1 2 n n
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
结论
1. 两个场的相同数学表达式中的场量之间有一一对应 应的关系; q 静电场 D E 对应物理量 恒定电场 J I E
C
G
2. 两种场的电位函数定义相同, 都满足拉普拉斯方程,若处于相 同的边界条件下，根据唯一性定理, 电位函数必有相同的解. 所以两种场的等位面及电场强度分布相同,J和D矢量线的分布 也相同; 恒定电场与静电场是可比拟
1 2
2 1
U0
2、 2 1、1
c
b
介质2 介质1
a
J I
内导体
外导体
电磁场
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解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量， 所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度 确定出电流 I。 可得电流密度
b c J 的表达式，然后求出 E1 和 E2 ，再由 U 0 a E1 d b E2 d
tan 1 1 tan 2 2
电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近 似与良导体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.
电磁场
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例如:
同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜 或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电 介质, 总有很小的漏电导存在。 例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 则
媒质2
E2
( 1 0)
2
由上式可知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是 等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区 别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。
J1n J 2 n 1 E1n 2 E2 n
s E1n E2 n 0
(通常认为金属的介电常数为ε0)
1 s 0 1 E1n 2
可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。
电磁场
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1
E1
tan 1 E1t / E1n 1 / J1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / J 2n 2
1
E2
2
2
电磁场
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导电媒质分界面上的电荷面密度
ˆ ( D1 D 2 ) n ˆ ( S n
1 2 1 2 J1 J2) ( )Jn 1 2 1 2
电磁场
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宏观电磁理论的核心：
麦克斯韦方程 时变
0 t
静态
0 t
静电 (ES)
恒定电 (SS)
静磁 (MS)
电磁场
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电荷在电场作用下
产生
定向运动
形成
电流
电
恒定电流（直
--电流不随时间变化
时变电流
--电流随时间变化
恒定电
恒定磁
电磁场
S C
基本方程 本构关系 位函数 边界条件
E ,
J 0, E 0 J E
2 0
D1n D 2 n 1 2 , 1 1 2 2
n n
E1t E 2 t
E1 t E 2 t
J 1n J 2 n
上 下
U U1 U2 E1d1 E2d2 (
d1

d2
)
介
电磁场
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例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半 径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1 和2 、 电导率为 1 和 2 。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求： （1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介U 0 c[ 2 ln(b a ) 1 ln(c b)]
2 2
b
两种介质分界面上的电荷面密度为
S 12
( 1e E1 2 e E 2 )
1 1
( 1 2 2 1 )U 0 b [ 2 ln( b a ) 1 ln( c b )]
tg 1 1 10 10 17 10 10 7 tg 2 2
1 10 10 17 tg1 tg 2 tg 2 10 tg 2 0, 当 2 时 7 2 10 2
电磁场
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推论2: 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密 度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布ρs 。 如: 两种金属媒质的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
E1 e
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
1 2U 0 (a c) [ 2 ln(b a ) 1 ln(c b)]
2U 0 [ 2 ln(b a ) 1 ln(c b)]
( a b)
E2 e
1U0 (b c) [ 2 ln(b a) 1 ln(c b)]
第4章 恒定电场和恒定磁场 （2）由 S en D 可得，介质1内表面的电荷面密度为 1 2U 0 S 1 1e E1 a a[ 2 ln(b a ) 1 ln(c b)] 电磁场
介质2外表面的电荷面密度为
S 2
2 e E2
电磁场
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例1 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1 和 2、2 ，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。 解 ：极板是理想导体， o 为等位面，电流沿z 方向。 U ,
由 J1n J 2n J1 J 2 J
1 1
d1
E1
1 1
J1
I G U
其倒数称为绝缘电阻，即
R 1 U G I
电磁场
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用静电比拟法求电
两导体电极间的电容:
Q C U
ds E dl
S1 2 1 S

E ds
E dl
1
S1 2
两导体电极间的电导:
I G U
（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由

S
J dS I ,
J e
I 2 π
(a c)
介质中的电场
E1
J
1
e
I 2 π 1 I 2 π 2
(a b) (b c )
E2
J
2
e
推论3. 若媒质1为理想介质, 媒质2为导体，即1＝0，则 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0， 即导体中的电流和电场与分界面平行。
ˆ n
媒质1 1 0 媒质2
E1
E2
( 1 0)
2
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
ˆ n
媒质1 1 0
E1
E1 E E
2 1n
2 1t
如两种导电媒质的电导率2 >> 1：
即，一种导电媒质为不良导体(σ1≠0, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(σ2很大),且 2≠90° 则1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为等位面；
媒质1 媒质2
E1
E2 2
( 2 1 )
1 2
推论1
第4章 恒定电场和恒定磁场
第四章 恒定电场和恒定磁场
基本方程 边界条件 恒定电场与静电场的静电比拟法 恒定磁场的矢量磁位 电感及其计算 ----计算电导（电阻）
电磁场
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§4.1 恒定电场
1. 本节内容 2. 恒定电场的基本方程 3. 恒定电场的边界条件 4. 静电比拟法
电磁场
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二、恒定电场的电位及其方程
若媒质是均匀的，则 J (E ) E 0 • 恒定电场的电位函数
E 0
E 0
均匀导电媒质中 没有体分布电荷
E
( ) 0
由
J 0
2 0
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
一、 恒定电场的基本方程
• 恒定电场：恒定分布电荷产生的电场。
• 恒定电场的基本场矢量是电流密度 J (r ) 和电场强度 E (r ) ；
• 恒定电场的基本方程： 微分形式： J 0 E 0 •
J dS 0 S 积分形式： E dl 0 C
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
静电比拟法: 在一定条件下，可以将静电场或恒定电场的计算和实 验所的结果,推广应用于另一种场.
U
D

0
U
J

0
静电场
恒定电场
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
漏电导
工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之 间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小 于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压 U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即
线性各向同性导电媒质的本构关系
J E
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别：
（1）恒定电场可以存在于导体内部； （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中 恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的 场能量。