湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷含答案

湖南省湘东十校2024年10月高三联考
数学试题（答案在最后）
总分：150分
时量：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}2(1)0
A x x =->，{}1,
B x x x =≤∈Z ，则A B = （
）
A.[1,1]-
B.(1,1)
- C.{1,0,1}- D.{1,0}
-2.已知复数2i
1i
z =+（i 为虚数单位），则z z -=（）A.0
B.2i
C.2i
- D.2
3.已知ABC V 为单位圆O 的内接正三角形，则OB BC ⋅=
（
）
A.32
-
B.
32
C.1
D.1
-4.已知角α的终边上一点()1,2M -3cos π2α⎛⎫+ ⎪
=（
）
A.1
B.1
-
C.
D.5.若4
(1)(2)()ax x a -+∈R 的展开式中3x 的系数为40-，则a 的值为（
）
A.1
B.2
C.4-
D.6
-6.已知函数(1)y f x =+的图象关于(1,0)-对称，()g x 为偶函数，且22
()()1x x
f x
g x x ++=+．则不等式1(1)(1)()g x g g g ⎛⎫
++≤π+ ⎪π⎝⎭
的解集为（
）
A.[2,0]-
B.(,2][0,)-∞-⋃+∞
C.(,0]
-∞ D.[0,)
+∞
7.函数()y f x =的图象由函数2cos 21y x =-的图象向右平移π
4
个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线y x =-的交点个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0M -，()1,0N -，点P 满足2PM PN =．设点P 的轨迹为曲线W ，直线():00l x y k k +-=>，若直线l 与曲线W 交于不同的两点,A B ，O
是坐标原点，且有
OB OA OB -≤+ ，则实数k 的取值范围是（
）
A
.
B.)
2
C.
D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列{}n a 的前n 项和为2113
622
n S n n =-
+，则下列说法正确的是（）A.7
n a n =- B.2334455611114
5a a a a a a a a +++=C.使0n S >的最小正整数n 为13
D.
n
S n
的最小值为3-10.已知1-为函数3()3f x x x a =-+的一个零点，则（）
A.()f x 的图象关于(0,2)-对称
B.()0f x <的解集为(,2)
-∞C.(0,1)x ∈时，()2
()
f x f x < D.[,]x m n ∈时，()[4,0]f x ∈-，则n m -的最大值
为4
11.已知ABC V 中，AB BC ⊥，2AB BC ==，E ，F 分别在线段BA ，CA 上，且BE BA λ=
，
CF CA λ=
((01))λ∈,．现将AEF △沿EF 折起，使二面角A EF C --的大小为((0,))ααπ∈．以下命
题正确的是（
）
A.若12λ=
，3πα=，则点F 到平面ABC 的距离为2
B.存在λ使得四棱锥A BCFE -有外接球
C.若1
3λ=，则棱锥F AEB -体积的最大值为1681
D.若2
π
α=
，三棱锥A BEF -的外接球的半径取得最小值时，23λ=
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知F 为椭圆2
2:14
x C y +=的一个焦点，点M 在C 上，O 为坐标原点，若||||OM OF =，则OMF
的面积为________．
13.曲线1ln(2)y x x =-的一条切线为2y x b =-+，则b =________．
14.小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A 和1张标有B 的卡片，爸爸有3张标有B 的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n 次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A 卡片的概率记为n a ，则
2a =________，n a =________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 2a C c b +=．（1）求A ；（2）若1
cos 7
B =
，BC 边的中线是A ，求tan BAD ∠．16.如图，直四棱柱
1111ABCD A B C D -的体积为12，//AB DC ，2DC AB =，1A BC 的面积为
（1）求证：1//D C 平面11ABB A ；（2）求A 到平面1A BC 的距离；
（3）若1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求平面11A D C 与平面1A BC 夹角的正弦值．
17.在平面直角坐标系中，已知动点(,)E x y 满足：2-=±．（1）求动点E 的轨迹方程Γ；
（2）过1(2,0)F -作直线1l 交曲线Γ的y 轴左侧部分于A ，B 两点，过2(2,0)F 作直线交曲线Γ的y 轴右侧部分于C ，D 两点，且//AB CD ，依次连接A ，B ，C ，D 四点得四边形ABCD ，求四边形ABCD 的面积的取值范围．
18.已知定义域为R 的两个函数()f x 与()g x 满足()()e x f x g x -+=，()()e x f x g x -=-．（1）若有且仅有两个整数使关于x 的不等式(
)()22
2
2
2
ln (1)
g a x f a x x ⎡⎤-≤+⎣⎦成立，求实数a 的取值范围；
（2）求函数()()(2)h x f x g x =-的极值；
（3）若x ∈R ，判断()2()f x xg x +的符号，并说明理由．
19.已知{}123max ,,,,k a a a a ⋅⋅⋅表示数列1a ，2a ，3a ，…，k a 中最大的项，按照以下方法：
{}11234max ,,,,,n b a a a a a =⋅⋅⋅，{}2234max ,,,,n b a a a a =⋅⋅⋅，{}334max ,,,n b a a a =⋅⋅⋅，…，得到新数列{}n b ，
则称新数列{}n b 为数列{}n b 的“max 数列”．
（1）已知数列{}n a 仅有5项，各项互不相等，{1,2,3,4,5}n a ∈，且45a =，请写出{}n a 所有的“max 数列”{}n b ；
（2）若{}n a 满足112a =-，1001001992
a =，且数列{}
(2)n
n a -为等差数列，{}n a 的“max 数列”为{}n b ．（ⅰ）求2025b ；
（ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．
湖南省湘东十校2024年10月高三联考
数学试题
总分：150分时量：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【11题答案】【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】【答案】
1
2
##0.5【13题答案】【答案】e 12
+
【14题答案】【答案】
①.1627
；
②.1
1131595
n -⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】【答案】（1）60A =︒
（2【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2（3）
1
2
【17题答案】
【答案】（1）2
2
1
3
y x -=（2）[24,)+∞【18题答案】
【答案】（1）322a -≤<-或3
22
a <≤（2）函数()h x 的极大值为7
8
-，无极小值．
（3）答案见解析
【答案】（1）5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4．
（2）（ⅰ）202640512；（ⅱ）11161326,921304726,92n n n n n S n n -+⎧+⎡⎤
-⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=⎨
+⎡⎤⎪-⎢⎪⎣
⎦⎩为偶数为奇数。