课件1：3.4 基本不等式（二）
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第三章 பைடு நூலகம்等式
3.4 基本不等式
问题提出 1.基本不等式有哪几种基本形式？
（1） a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成 立； （2）a b 2 ab (a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；
（3）a2 b2 (a b)2 (a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；
每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用 最少，最少费用是10989元.
小结作业
1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应 用时要注意下列三个条件： (1)函数解析式中各变量均为正数； (2)含变量的两项的和或积为定值； (3)含变量的两项可以相等， 即“一正二定三相等”.
2.在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变 量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值.对形如：
sin x
2 2，
思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的 最大值)，应具备哪些基本条件？
一正二定三相等
探究（二）基本不等式求最值的实际应用
【背景材料】在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常 用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料， 就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定， 为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题
理论迁移
例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池 壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价 最低，最低总造价是多少元？
当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价 最低，最低总造价是297600元.
例2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面 粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费等其他 费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运输费900 元.问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所 支付的费用最少？最少费用是多少？
果a·b＝P为定值，能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等 时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2 ab (a＞0，b＞0)中，如
果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相 等时它们的积取最大值 .
思考3：能否由 x
思考4:如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面 积最大，最大面积是多少?
矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是 81m2.
思考5：若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为 36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能 使菜园的面积最大，最大面积是多少?
矩形的长为18m，宽为9m时，菜园的面积最大，最大 面积是162m2.
x＋y，xy，x2＋y2, ax 不等式求解.
b 等结构的最值问题，常用基本
x
再见
1 x
2 x1 x
2得函数 y
x
1 x
的最小值
是2吗？
思考4：当x≥4时,能否由 x2 1 2 x2 1 2 x 4
x
x
得函数 y x2 1 的最小值是4吗？ x
思考5：当x∈(0，π)时，能否由 sin x
2 sin x
2 sin x 2 sin x
得函数 y sin x 2 的最小值是2 2 吗？
2
2
2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么？ 最大值:f(x)≤M，且等号成立;
最小值:f(x)≥m，且等号成立. 3.在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极 端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要 的数学方法.
探究（一）：基本不等式与最值原理
思考1：在基本不等式 a b 2 ab(a＞0，b＞0)中，如
思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所 用篱笆的总长度是定值？还是变量？
思考2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱 笆最短，最短的篱笆是多少？
矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是40m.
思考3：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，所围 成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？
3.4 基本不等式
问题提出 1.基本不等式有哪几种基本形式？
（1） a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成 立； （2）a b 2 ab (a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；
（3）a2 b2 (a b)2 (a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；
每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用 最少，最少费用是10989元.
小结作业
1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应 用时要注意下列三个条件： (1)函数解析式中各变量均为正数； (2)含变量的两项的和或积为定值； (3)含变量的两项可以相等， 即“一正二定三相等”.
2.在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变 量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值.对形如：
sin x
2 2，
思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的 最大值)，应具备哪些基本条件？
一正二定三相等
探究（二）基本不等式求最值的实际应用
【背景材料】在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常 用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料， 就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定， 为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题
理论迁移
例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池 壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价 最低，最低总造价是多少元？
当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价 最低，最低总造价是297600元.
例2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面 粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费等其他 费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运输费900 元.问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所 支付的费用最少？最少费用是多少？
果a·b＝P为定值，能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等 时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2 ab (a＞0，b＞0)中，如
果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相 等时它们的积取最大值 .
思考3：能否由 x
思考4:如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面 积最大，最大面积是多少?
矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是 81m2.
思考5：若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为 36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能 使菜园的面积最大，最大面积是多少?
矩形的长为18m，宽为9m时，菜园的面积最大，最大 面积是162m2.
x＋y，xy，x2＋y2, ax 不等式求解.
b 等结构的最值问题，常用基本
x
再见
1 x
2 x1 x
2得函数 y
x
1 x
的最小值
是2吗？
思考4：当x≥4时,能否由 x2 1 2 x2 1 2 x 4
x
x
得函数 y x2 1 的最小值是4吗？ x
思考5：当x∈(0，π)时，能否由 sin x
2 sin x
2 sin x 2 sin x
得函数 y sin x 2 的最小值是2 2 吗？
2
2
2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么？ 最大值:f(x)≤M，且等号成立;
最小值:f(x)≥m，且等号成立. 3.在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极 端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要 的数学方法.
探究（一）：基本不等式与最值原理
思考1：在基本不等式 a b 2 ab(a＞0，b＞0)中，如
思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所 用篱笆的总长度是定值？还是变量？
思考2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱 笆最短，最短的篱笆是多少？
矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是40m.
思考3：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，所围 成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？