浙江省温州市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

浙江省温州市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若
2020
211
n n k a a -==∑，则k =( )
A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040
【答案】D 【解析】 【分析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案. 【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
202021
134039457403967403940401
............n n a
a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．已知双曲线22
22:1(0)x y M b a a b
-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作
的圆2
2
2
()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由b a >可得e >
由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐
近线的距离为b ,则TF b =≥,进而求解.
【详解】
b a >Q ,所以离心率
c e a ==>,
又圆222
()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂
直,必有2TF a =,
而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以2TF a b =
≥,即2b
a
≤,
所以2
13c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
≤,所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]. 故选:B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.
3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则3
2(2)a f =-,2(log 9)b f =，
5)c f =的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性得332
2
(2)(2)a f f =-=32
25,2,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得332
2
(2)(2)a f f =-=，32
2258223log 8log 9<==<=<Q
，
当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x
y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()
f x 在[0,)+∞上单调递增，
3
2
2(log 9)(2)5)f f f ∴>>，即b a c >>，
故选：C. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
4．已知向量(3sin ,2)a x =-r
，(1,cos )b x =r
，当a b ⊥r
r
时，cos 22x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．1213
-
B ．
1213
C ．613
-
D ．
613
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1
x x x π⎛⎫
+=- ⎪+⎝
⎭，即可求解. 【详解】
a b
⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3
a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛
⎫∴+=-=- ⎪+⎝
⎭
22tan 12tan 113
x x =-
=-+.
故选:A. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.
5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件
C ．甲4件，乙5件
D ．甲2件，乙6件
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*
4750,
,,
x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，
显然当55
99
y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
6．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为3
2
，则c =（ ） A ．2B ．4
C ．5
D ．32【答案】D 【解析】 【分析】
由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34
sin ,cos 55
C C =
=.通过13
sin 22
ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.
【详解】
解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =
4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.
22sin cos 1C C +=Q ，则34
sin ,cos 55
C C ==.
1133
sin 12252
ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.
22224
2cos 15215185
c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，32c ∴=
故选:D. 【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值.
7．若()12n
x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r
r
n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可
【详解】
()
12n
x -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()22
32n T C x =⋅-，
∴2
440n C =，
∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】
本题考查二项展开式问题，属于基础题
8．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.
9．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，
6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．8π
D ．13π
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】
如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径AG=2
33233
⨯=,
设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=(
)
2
223
24+=
取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=
()
2
223113+=.
则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()
2
2413
3-=
所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()
2
3
3ππ⋅
=
故选：A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.
10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式
1
()3
V S S S S h =下下上上•）.
A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
11．已知向量a r ，b r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，且a r 与b r
的夹角为120°，则3a b -r r ＝（ ）
A
B
C
．D
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算a b ⋅r r
，然后将3a b -r r 进行平方，，可得结果.
【详解】 由题意可得：
1cos1201212a b a b ⎛⎫
⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o r r r r
∴()
2
22
369163643a b
a a
b b -=-⋅+=++=r r r r r r
∴则3a b -=r r
故选：D. 【点睛】
本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

12．设2,(10)
()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
,则(5)f =( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】
∵f （x ）()
()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩
＜，
∴f （5）＝f[f （1）] ＝f （9）＝f[f （15）] ＝f （13）＝1． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2
n
n S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞ 【解析】 【分析】
根据递推公式，以及,n n a S 之间的关系，即可容易求得,n n a S ，再根据数列2n
n
S 的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求. 【详解】
当2n =时，()2222121S a a -+=+，解得28S =.所以13a =. 因为()211n n n S a n a -+=+， 则()11121(1)1n n n S a n a +++-+=++，
两式相减，可得112(2)(1)1n n n a n a n a ++=+-++， 即1(1)10n n na n a +-++=，
则21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减， 可得2120n n n a a a ++-+=.
所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以21n a n =+，则2222n n n
S n n
+=. 令2n n n S b =，则2
1132
n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减， 而13
2b =
，22b =，3158
b =， 故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞. 【点睛】
本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.
14．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
【答案】
π3 0,,π
44
π
⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎭
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是
π3
0,,π
44
π
⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎭
．
答案：
π3 0,,π
44
π
⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎭
15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
【答案】
2
6
86π
【解析】
【分析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是
133
1
224
S
⎛
=⨯⨯=
⎝⎭
，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
2
36
1
33
⎛⎫
-=
⎪
⎪
⎝⎭
，故四面体体积为
1362
34312
⨯=，
因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是
2
6
；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球
要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，
163R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积3
344339729V R ππ⎛=== ⎝⎭
.
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.
16．已知a =r a r 在b r ，则a r 与b r
的夹角为_________.
【答案】6
π 【解析】 【分析】
由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】
a r 在
b r
方向上的投影为cos ,cos ,
2a a b a b <>=<>=
=
r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6
π． 【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数22()1e x f x ax ax =++-.
（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】 【分析】
（1）由于函数2()()22e x
g x x ax f a ==+-'，得出(
)2()22e
x
g x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，
()g x '的正负，进而得出()g x 的单调性；
（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝
⎭，
令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x e
h x x =+，通过导函数()h x '，
可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合
(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.
【详解】
解：（1）因为2()()22e x
g x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e
22e x
x g x a a '=-=--，
①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22
a
x >， 所以()g x 在1,
ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；
当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减.
（2）因为22()1e x
f x ax ax =++-，可知(0)0f =，
2()22e x
f x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x x
a x x a x ⎛⎫
=+-=+- ⎪+⎝⎭
，
令()0f x '=，得22e
21
x
a x =
+. 设22()21
x
e h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，
所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221
x e x >+.
当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，
()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.
当2a >时，(0)2h a =<，
所以22e ()21
x
h x a x ==+有唯一实根0x ，
当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. 综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题. 18．已知函数()()ln 1,1
x a
f x x a R x -=
++∈+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）函数2
2
()g x x x
=+
，若对于()[]121,,1,2x x ∀∈-+∞∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增；当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增（2）(],1a e ∈-∞-- 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，分类讨论确定()f x '
的正负，确定单调区间；
（2）题意说明()1min 2min ()f x g x ≥,利用导数求出()g x 的最小值，由（1）可得()f x 的最小值，从而得出结论． 【详解】
解：（1）定义域为()()
2
2
1,,()1x a f x x ++'-+∞=
+
当1a ≥-时，即21,()0,()a f x f x '--≤->∴在()1,-+∞上增；
当1a <-时，即21,()0a f x '-->->得2,()0x a f x '>--<得12x a -<<-- 综上所述，当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增；
当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增 （2）由题()1min 2min ()f x g x ≥
()3
2
22
2122(),'()2,'()0,()x g x x g x x g x g x x x x
-=+=-=≥Q 在[]1,2上增 ()()()21min min 133g x g f x ∴==∴≥
由（1）当1a ≥-时，()f x 在()1,-+∞上增，所以此时()f x 无最小值； 当1a <-时，()f x 在()1,2a ---上减，在()2,a --+∞上增， 即()()()1min 22ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤-- 综上(],1a e ∈-∞--
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为()1min 2min ()f x g x ≥，求出两函数的最小值后可得结论． 19．已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-. （1）求22a b +的最小值；
（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.
【答案】（1）2；（2）7
,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）化简(1)(1)a b b a -=-得11122a b +=，所以()2
22221122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，展开后利用基本不等式求最小值即可；
（2）由（1），原不等式可转化为|21||2|8x x ++-≤，讨论去绝对值即可求得x 的取值范围. 【详解】
（1）∵,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-， ∴2a b ab +=，∴
11
122a b
+=. ∴()2
2222222211122224b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++++
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1(2224≥+⨯=. 当且仅当2222b a a b
=且b a a b =即1a b ==时，()
22min
2a b
+=.
（2）由（1）知，(
)
22
min
2a b
+=，
对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b ≤+，
∴()8f x ≤，即|21||2|8x x ++-≤. ①当210x +<时，有2128x x ---+≤， 解得71
32
x -
≤<-； ②当210x +≥，20x -≤时，有2128x x +-+≤，
解得1
22
x -
≤≤； ③当20x ->时，有2128x x ++-≤， 解得23x <≤； 综上，7
33
x -
≤≤， ∴实数x 的取值范围是7,33⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题.
20．已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…
,1,2,}i x M i n ∈=…．
（Ⅰ）当2q =，2n =时，用列举法表示集合T ；
（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…Ü，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；
②
100
1
12020i
i a
==∑．
证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）
100
2
1
i
i a
=∑为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，1
12n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，
1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．
【答案】（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）当2q =，2n =时，{1M =，2}，12{|2T x x x x ===+，i x M ∈，1i =，2}．即可得出T ．
（Ⅱ）（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i
a A ∀∈，201i a M -∈，必然有201i a A -∈，否则得出矛盾．
（ii ）由2
2
(201)40240401i
i i a a a --=-．可得100
100
100
22
1
1
1
(201)4024040100i
i i i i i a a a ===--=-∑∑∑．又
100100
22
222
1
1
(201)
12200i
i
i i a a ==+-=++⋯⋯+∑∑，即可得出
100
21
i
i a
=∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，可得
2121112211()()()()(1)(1)(1)n n n n n n n n s t a b a b q a b q a b q q q q q q q -------=-+-+⋯+-+--+-+⋯+--„，通过求和
即可证明结论． 【详解】
（Ⅰ）解：当2q =，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．
{}3,4,5,6T =．
（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i a A ∀∈，201i a M -∈，
必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <剟
，201i j a a +≠矛盾．
因此有201i a A -∈．
（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-Q ．
∴100100100
2
2
1
1
1
(201)4024040100791940i
i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．
100100
222221
1
200201(4001)
(201)122006
i i i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=
∑∑，
∴100
21
1200201(4001)
(
791940)26
i i a =⨯⨯+=+∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，
21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+--„ 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+- 1
11(1)1n n q q q q
---=---
10=-<．
s t ∴<．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且
成绩分布在[0,60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中,,a b c 构成以2为公比的等比数列.
（1）求,,a b c 的值；
（2）填写下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计
400
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()2P K k …
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分步直方图和,,a b c 构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写22⨯列联表，再用2K 的计算公式运算即可； （3）获奖的概率为
20140020=，随机变量1~2,20x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
解：（1）由频率分布直方图可知，10()110(0.0180.0220.025)0.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以 2 4 0.035a a a ++=，解得0.005a =， 所以 2 0.01b a ==，40.02c a ==. 故0.005a =，0.01b =，0.02c =.
（2）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为1: 4，所以400人中文科生的数量为1
400805
⨯=，理科生的数量为40080320-=.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人，不获奖的文科生有80674-=人. 于是可以得到22⨯列联表如下：
2
2
400(63061474) 1.32 6.6352038080320
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. （3）由（2）可知，获奖的概率为
201
40020
=， X 的可能取值为0，1，2，
2
02119361(0)2020400
P X C ⎛⎫⎛⎫
==⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 1
1
12
1193819(1)2020400200P X C ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅==
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， 2
221191(2)2020400
P X C ⎛⎫⎛⎫
==⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 分布列如下：
数学期望为()01240020040010
E X =⨯
+⨯+⨯=.
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
22．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 的纵坐标是
1010
．
（1）求3cos 4απ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为5求αβ+的值．
【答案】（1）5
2）34αβπ+= 【解析】 【分析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=
,进而求出310
cos 10
α=． 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
得出5cos β=,进而得出
25
sin β=
利用正弦的和差公式即可求出()2sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ
+的值.
【详解】
解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标是
10
10
,
所以由任意角的三角函数的定义可知,1010
sin α=
． 从而2310
cos 1sin 10
αα=-=
． （1）于是333cos cos cos sin sin 444
αααπππ
⎛⎫-
=+ ⎪⎝⎭ 31021025
1021025⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
5
-
, 所以5cos 5
β=-
,从而225sin 1cos 5ββ=-=．
于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
105310252
=2
⎛⎫=
⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22
ππ
αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
从而34
αβπ+=． 【点睛】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.
23．已知三棱锥P-ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，
ABE △和BCF V 均为正三角形，在三棱锥P-ABC 中：
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求直线MA 与平面MBC 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
22
11
【解析】 【分析】
(1) 设AC 的中点为O ,连接,BO PO .由展开图可知2PA PB PC ===
,1PO =，
1AO BO CO ===.O 为AC 的中点,则有PO AC ⊥,根据勾股定理可证得PO OB ⊥,
则PO ⊥平面ABC ,即可证得平面PAC ⊥平面ABC ．
(2) 由线面成角的定义可知BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，
且1
tan BO BMO OM OM
∠==,BMO ∠最大即为OM 最短时,即M 是PA 的中点 建立空间直角坐标系,求出AM u u u u r 与平面MBC 的法向量m r
利用公式||sin ||||
AM m AM m θ⋅=u u u u r r
u u u u r r 即可求得结果. 【详解】
（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ． 由题意，得2PA PB PC ===
，1PO =，1AO BO CO ===．
Q 在PAC V 中，PA PC =，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥，
Q 在POB V 中，1PO =，1OB =，2PB =，222PO OB PB +=，PO OB ∴⊥．
AC OB O =Q I ，,AC OB ⊂平面，PO ∴⊥平面ABC ，
PO ⊂Q 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．
（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ，
BMO ∴∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，
且1
tan BO BMO OM OM
∠=
=， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大．
由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，
PO OB ∴⊥，PO OC ⊥，
于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，
则(0,0,0),O (1,0,0),C (0,1,0),B (1,0,0),A -(0,0,1),P 1
1,0,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， (1,1,0),BC =-u u u r (1,0,1),PC =-u u u r 31,0,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11,0,2
2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =r ，直线MA 与平面MBC 所成角为θ，
则由00
m BC m MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u u v 得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩. 令11x =，得11y =，13z =，即(1,1,3)m =r . 则||222sin 11||||1112AM m AM m θ⋅===⋅u u u u r r u u u u r r .
直线MA 与平面MBC 所成角的正弦值为
2211
. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.。