2020版高考数学1轮复习课时规范练64不等式选讲理北师大版最新03164240

课时规范练64 不等式选讲
基础巩固组
1.(2018河南最后一次模拟,23)已知函数f(x)=|2x+4|+|2x-a|.
(1)当a=6时,求f(x)≥12的解集;
(2)已知a>-2,g(x)=x2+2ax+,若对于x∈-1, ,都有f(x)≥g(x)成立,求a的取值范围.
2.(2018湖南长沙模拟二,23)已知函数f(x)=|x-1|,关于x的不等式f(x)<3-|2x+1|的解集记为A.
(1)求A;
(2)已知a,b∈A,求证:f(ab)>f(a)-f(b).
3.(2018安徽淮南二模,23)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)解不等式f(x)+x>0.
(2)若关于x的不等式f(x)≤a2-2a的解集为R,求实数a的取值范围.
4.(2018河北衡水中学三轮检测,23)已知函数f(x)=|ax-1|-(a-2)x.
(1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若函数f(x)的图像与x轴没有交点,求实数a的取值范围.
综合提升组
5.已知函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=-2时,解不等式f(x)≥16-|2x-1|;
(2)若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0,2],求证:f(x)+f(x+2)≥2.
6.(2018河南南阳模拟,23)已知函数f(x)=|x-2a+1|+|x+2|,g(x)=3x+1.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;
(2)x∈[-2,a),f(x)≥g(x),求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x+1|,不等式f(x)≤g(x)+1的解集为A.
(1)求A;
(2)证明:对于任意的a,b∈∁R A,都有g(ab)>g(a)-g(-b)成立.
创新应用组
8.已知函数f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R).
(1)若m=0,解不等式f(x)≥x-1;
(2)若方程f(x)=-x有三个不同的解,求实数m的取值范围.
9.(2018安徽安庆热身考,23)若关于x的不等式|3x+2|+|3x-1|-t≥0的解集为R,记实数t的最大值为a.
(1)求a的值;
(2)若正实数m,n满足4m+5n=a,求y=的最小值.
参考答案
课时规范练64 不等式选讲
1.解 (1)当a=6时,f(x)=|2x+4|+|2x-6|,
f(x)≥12等价于|x+2|+|x-3|≥6,
因为|x+2|+|x-3|=
所以或或
解得x≥或x≤-,
所以解集为.
(2)当a>-2时,且x∈-1,时,f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,
所以f(x)≥g(x),即4+a≥g(x).
又g(x)=x2+2ax+的最大值必为g(-1),g之一,
所以即
解得-≤a≤,
所以a的取值范围为-,.
2.解 (1)由f(x)<3-|2x+1|,
得|x-1|+|2x+1|<3,
即或或
解得-1<x≤-或-<x<1,
所以,集合A={x∈R|-1<x<1}.
(2)证明∵a,b∈A,∴-1<ab<1,
∴f(ab)=|ab-1|=1-ab,f(a)=|a-1|=1-a,f(b)=|b-1|=1-b,
∵f(ab)-[f(a)-f(b)]=1-ab-1+a+1-b=(1+a)(1-b)>0,
∴f(ab)>f(a)-f(b).
3.解 (1)不等式f(x)+x>0可化为|x-2|+x>|x+1|.
当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3<x<-1;
当-1≤x≤2时,-(x-2)+x>x+1,解得x<1,即-1≤x<1;
当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3.
综上所述:不等式f(x)+x>0的解集为{x|-3<x<1或x>3}.
(2)由不等式f(x)≤a2-2a可得
|x-2|-|x+1|≤a2-2a,
∵|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3,
∴a2-2a≥3,即a2-2a-3≥0.
解得a≥3或a≤-1.
故实数a的取值范围是a≥3或a≤-1.
4.解 (1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x.
∴3x-1<-x或3x-1>x,
即x<或x>.
即不等式f(x)>0的解集是x.
(2)当a>0时,f(x)=
要使函数f(x)与x轴无交点,只需即1≤a<2.
当a=0时,f(x)=2x+1,函数f(x)与x轴有交点.
当a<0时,f(x)=要使函数f(x)与x轴无交点,
只需此时a无解.
综上可知,当1≤a<2时,函数f(x)与x轴无交点.
5.(1)解当a=-2时,不等式为|x+2|+|2x-1|≥16,
当x≤-2时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解得x≤-,
当-2<x≤时,原不等式可化为x+2-2x+1≥16,解得x≤-13,不满足,舍去;
当x>时,原不等式可化为x+2+2x-1≥16,解得x≥5.
综上不等式的解集为x或x≥5.
(2)证明f(x)≤1即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],
所以
解得a=1,从而f(x)=|x-1|.
于是证明f(x)+f(x+2)≥2,
即证|x-1|+|x+1|≥2,
因为|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2,
所以|x-1|+|x+1|≥2,所以原不等式得证.
6.解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,
①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,
由-2x-1≤3x+1,知此时无解;
②当-2<x<1时,f(x)=3,
由3≤3x+1,解得≤x<1;
③当x≥1时,f(x)=2x+1,
由2x+1≤3x+1,解得x≥1,
综上所述,不等式的解集为x.
(2)当x∈[-2,a)时,f(x)=|x-2a+1|+x+2≥3x+1,
即|x-2a+1|≥2x-1.
①当-2<a≤时,2x-1<0,|x-2a+1|≥2x-1恒成立;
②当a>,x∈-2,时,2x-1<0,|x-2a+1|≥2x-1恒成立;
x∈,a时,|x-2a+1|2≥(2x-1)2恒成立,
即3x2+2(2a-3)x-4a(a-1)≤0恒成立,
令g(x)=3x2+2(2a-3)x-4a(a-1),g(x)的最大值只可能是g或g(a),
g≤0,g(a)=3a2-2a≤0,得0≤a≤.又a>,所以<a≤.
综上所述,a的取值范围是a.
7.(1)解不等式f(x)≤g(x)+1,即|x+1|-|2x+1|+1≥0.
当x<-1时,不等式可化为-x-1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,∴x无解;
当-1≤x≤-,不等式可化为x+1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,∴-1≤x≤-;
当x>-时,不等式可化为x+1-(2x+1)+1≥0,解得x≤1,∴-<x≤1.
∴不等式f(x)≤g(x)+1的解集A={x|-1≤x≤1}.
(2)证明∵g(a)-g(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
∴要证g(ab)>g(a)-g(-b)成立,
只需证|ab+1|>|a+b|,
即证|ab+1|2>|a+b|2,
也就是证明a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2成立,即证a2b2-a2-b2+1>0,
即证(a2-1)(b2-1)>0.
∵A={x|-1≤x≤1},a,b∈∁R A,∴|a|>1,|b|>1,a2>1,b2>1,
∴(a2-1)(b2-1)>0成立.从而对于任意的a,b∈∁R A,都有g(ab)>g(a)-g(-b)成立.
8.解 (1)因为m=0,
所以f(x)=|x-2|-|x|,
有或
或
解得,x∈⌀或0≤x≤1或x<0.
所以不等式f(x)≥x-1的解集为(-∞,1].
(2)因为f(x)=|x-2|-|x|+m,
所以方程f(x)=-x有三个不同的解等价于函数g(x)=|x-2|-|x|的图像与直线y=-x-m有三个不同的交点,作图可知,
当直线y=-x-m经过点A(0,2)时,m=-2;
当直线y=-x-m经过点B(2,-2)时,m=0.
所以实数m的取值范围是(-2,0).
9.解 (1)由题意得|3x+2|+|3x-1|≥t对x∈R恒成立,
又|3x+2|+|3x-1|=|3x+2|+|1-3x|≥3,
∴t≤3.
∴a=3.
(2)由(1)得4m+5n=3,且m,n>0,
∴3y=+(4m+5n)=+[(m+2n)+(3m+3n)]
=5++≥5+2=9.
当且仅当=且4m+5n=3,即m=n=时等号成立.
∴y≥3,
即y=+的最小值为3.。