人教版八年级数学上册 全册全套试卷(提升篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册全册全套试卷（提升篇）（Word版含解
析）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．
【答案】12
【解析】
试题解析：根据题意，得
（n-2）•180-360=1260，
解得：n=11．
那么这个多边形是十一边形．
考点：多边形内角与外角．
2．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.
【答案】119°
【解析】
【分析】
连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.
【详解】
如图所示，连接BD，
∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，
∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.
故答案为：119°.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.
3．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．
【答案】40︒．
【解析】
【分析】
根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．
【详解】
连续左转后形成的正多边形边数为：4559÷=，
则左转的角度是360940︒÷=︒．
故答案是：40︒．
【点睛】
本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．
【详解】
∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，
∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴68c <<，
又∵c 为奇数，
∴c=7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则
∠ABC ＝_____度．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC ≌△BDF ，可得BD=AD ，可求
∠ABC=∠BAD=45°．
【详解】
∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE （对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF ，
在Rt △ADC 和Rt △BDF 中，
CAD FBD BDF ADC BF AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ADC ≌△BDF （AAS ），
∴BD=AD ，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为45．
【点睛】
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
6．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒
∠=，则ACD ∠度数为________.
【答案】20°.
【分析】
根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD，又
∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD的值，又
∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD的度数．
【详解】
解：∵△B′CD时由△BCD翻折得到的，
∴∠BCD=∠B′CD，
又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，
∴∠BCD=70°，
又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝
∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【答案】C
【解析】
【分析】
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
8．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论
①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+1
2
∠1，再结合三角形
外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠1）=90°-
1
2
∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-1
2
∠1）=90°+
1
2
∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=1
2
∠ACD=
1
2
（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=12
∠1，即∠1=2∠2， ∴∠BOC=90°+12
∠1=90°+∠2， ∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.
9．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知
20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )
A ．20
B ．35
C ．50
D ．70
【答案】B
【解析】
【分析】 依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．
【详解】
如图，C'D'//AC ，
，
又DAC 20∠=，
AGH 70∠∴=，
由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，
由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，
1AEF GFE AGH 352
∠∠∠∴===， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
10．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（）
A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据AD、BE、CF为△ABC的角平分线可设
∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，
2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在
△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．
【详解】
∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，
∴2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°，
∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，
在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，
∴∠AHE=∠CHG，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
11．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）
A ．85°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】B
【解析】 分析：先由AB ∥CD ，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE ，得∠D=∠CED ，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D ．
详解：∵AB ∥CD ，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE ，
∴∠D=∠CED ，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B ．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C ，再由CD=CE 得出∠D=∠CED ，由三角形内角和定理求出∠D ．
12．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A ．2cm ，3cm ，5cm
B ．7cm ，4cm ，2cm
C ．3cm ，4cm ，8cm
D ．3cm ，3cm ，4cm
【答案】D
【解析】
【详解】
A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；
B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；
C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；
D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．
故选D ．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，在等腰三角形ABC 中，90ABC ∠=，D 为AD 边上中点，多D 点作DE DF ⊥，交AB 于E ，交BC 于F ，若3AE =，2CF =，则ABC ∆的面积为______．
【答案】
252
【解析】
【分析】 利用等腰直角三角形斜边中点D 证明AD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，再利用DE DF ⊥证得∠ADE=∠BDF ，由此证明△ADE ≌△BDF ，得到BC 的长度，即可求出三角形的面积.
【详解】
∵90ABC ∠=︒，AB=BC,
∴∠A=45︒，
∵D 为AC 边上中点，
∴AD=CD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，∠ADB=90︒，
∵DE DF ⊥,
∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90︒，
∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE ≌△BDF,
∴BF==AE=3，
∵CF=2，
∴AB=BC=BF+CF=5，
∴ABC ∆的面积为
212BC ⋅=252, 故答案为：
252
. 【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质.
14．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//AC BD ，BC BD =，在AB 上截取BE ，使BE BD =，过点B 作AB 的垂线，交CD 于点F ，连接DE ，交BC 于点H ，交BF 于点G ，7,4BC BG ==，则AB =____________.
【答案】
658
【解析】
【分析】 过点D 作DM ⊥BD ，与BF 延长线交于点M ，先证明△BHE ≌△BGD 得到∠EHB=∠DGB ，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD ，即MD=MG ，在△△BDM 中利用勾股定理算出MG 的长度，得到BM ，再证明△ABC ≌△MBD ，从而得出BM=AB 即可.
【详解】
解：∵AC ∥BD ，∠ACB=90°，
∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，
又∵BF ⊥AB ，
∴∠ABF=90°，
即∠8+∠2=90°，
∵BE=BD ，
∴∠8=∠1，
在△BHE 和△BGD 中，
8143BE BD ∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩
，
∴△BHE ≌△BGD （ASA ），
∴∠EHB=∠DGB
∴∠5=∠6，∠6=∠7，
∵MD ⊥BD
∴∠BDM=90°，
∴BC ∥MD ，
∴∠5=∠MDG ，
∴∠7=∠MDG
∴MG=MD ，
∵BC=7，BG=4，
设MG=x ，在△BDM 中，
BD 2+MD 2=BM 2，
即()2
227=4x x ++，
解得
x=338
， 在△ABC 和△MBD 中
=8=1BC B ACB MDB D
∠∠∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩
, ∴△ABC ≌△MBD （ASA ）
AB=BM=BG+MG=4+
338=658. 故答案为：658
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.
15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 分对边BD ，DC 的长度比为3：2，且BC ＝20cm ，则点D 到AB 的距离是_____cm ．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可知DE ＝CD ，根据角平分线AD 分对边BC 为BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm 即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，
∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，
∴DE ＝CD ．
∵BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm ，
∴CD ＝20×25
＝8（cm ）． 故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，
∠DEC=30°，HF=3
2
，则EC=______
【答案】6
【解析】
【分析】
延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．
【详解】
如图，延长AF交CE于P，
∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABH=∠PAC，
∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，
∴∠HEK=∠FAH，
∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，
∴∠AHF=∠EPF，
∴∠AHB=∠APC，
在△ABH与△APC中，
ABE PAC
AB AC
AHB APC
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABH≌△APC（ASA），
∴AH=CP，
在△AHF与△EPF中，
90
AHF EPF
AFH EFP
AF EF
∠∠
⎧
⎪
∠∠︒
⎨
⎪
⎩
＝
＝＝
＝
，
∴△AHF≌△EPF（AAS），
∴AH=EP，∠CED=∠HAF，
∴EC=2AH，
∵∠DEC=30°，
∴∠HAF=30°，
∴AH=2FH=2×
3
2
=3，
∴EC=2AH=6．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
17．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.
【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.
【解析】
【分析】
由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．
【详解】
工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点睛】 此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．
18．把两个三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边12AB =，14CD =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为_________．
【答案】10
【解析】
试题分析：如图所示，∠3=15°，∠1E =90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°，
∴∠OF 1E =∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠1D FO=60° ∵∠C 11D E =30°，
∴∠5=∠4=90°， 又∵AC=BC ，AB=12， ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°，
∴CO=12
AB=6， 又∵C 1D =CD=14， ∴O 1D =C 1D -OC=14-6=8， 在Rt △A 1D O 中，222211A 6810D OA OD =+=+=
点睛：本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AO 1D 为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得出AO 和O 1D 的长度，最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：
①BE DF =； ② 15DAF ∠=;
③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．
其中结论正确的共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】
试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，
∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，
∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．
∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=
x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=
， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．
∴综上所述，正确的有3个．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
20．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2，则五边形ABCDE 的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】 可延长DE 至F ，使EF=BC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，再利用
SSS
证明△ACD ≌△AFD ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE 至F ，使EF=BC ，连AC ，AD ，AF ，
在△ABC 与△AEF 中，
0=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），
∴AC=AF ，
∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF ，
在△ACD 与△AFD 中，
AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），
∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×
12×2×2=4． 故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．
21．如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ．下面结论：①△ABD ≌△EBC ；②AC=2CD ；③AD=AE=EC ；
④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】C
【解析】
已知BD 为△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠CBD ，在△AB D 和△EB C 中，BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ，BE ＝BA ，由SAS 可判定△ABD ≌△EBC ，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC =2CD ，②错误； 已知BD 为△ABC 的角平分线，
BD=BC ，BE=BA ，可得∠BCD =∠BDC =∠BAE =∠BEA ， 再由
∠BCE =∠BDA ，∠BCE =∠BCD +∠DCE ，∠BDA =∠DAE +∠BEA ，∠BCD =∠BEA ，可得∠DCE =∠DAE ，所以AE =EC ；再由△ABD ≌△EBC ，可得AD=EC ，所以AD=AE=EC ，即③正确；由△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE =∠BDA ，所以∠BCE +∠BCD =∠BDA +∠BDC =180°，④正确.故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
22．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）
A ．3:4
B ．3:5
C ．4:5
D ．2:3
【答案】B
【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=
12×32×3：12×32
×5=3：5．
故选：B ．
点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
23．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于
点M和N,再分别以M,N为圆心,大于1
2
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；
②根据作图的过程可以判定出AD的依据；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；
④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；
故①正确；
②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠1=∠2=12
∠CAB=30°， ∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.
故③正确；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D 在AB 的中垂线上.
故④正确；
故选C.
“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 的度数是解题的关键.
24．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

其中误的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC ，∠EAC=2∠EAD ，∠ACF=2∠DCF ，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出
∠ACF=∠ABC+∠BAC ，∠EAC=∠ABC+∠ACB ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD 平分∠EAC ，
∴∠EAC=2∠EAD ，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB ，∠ABC=∠ACB ，
∴∠EAD=∠ABC ，
∴AD ∥BC ，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，
1
90
2
ADC ABC ∠=︒-∠，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误；
综上所述，错误的是④⑤
即错误的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为
___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．证明△BDM ≌△CDE （SAS ），得出MD=ED ，
∠MDB=∠EDC ，证明△MDN ≌△EDN （SAS ），得出MN=EN=CN+CE ，进而得出答案．
【详解】
延长AC 至E ，使CE=BM ，连接
DE ．
∵BD=CD ，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM 和△CDE 中，
BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，
＝
∴△BDM ≌△CDE （SAS ），
∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
MD ED
MDN EDN
DN DN
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝，
＝
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
26．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
（1）如图，在ABC
∆中，25,105
A ABC
∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC
∆分割成两个等腰三角形，则BDA
∠的度数是______．
（2）已知在ABC
∆中，AB AC
=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC
∆分割成两个等腰三角形，则A
∠的最小度数为________．
【答案】130︒
180
7
︒
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）由题意得：DA=DB，结合25
A
∠=︒，即可得到答案；
（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，
③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A
∠的度数，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，
当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=
180 ()
7
︒．
综上所述，∠A的最小度数为：
180 ()
7
︒．
故答案是：
180 ()
7
︒．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．
27．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：
①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；
②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；
③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；
④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.
【详解】
①∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
∵
AB DB
ABE DBC BE BC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，
故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
∵
AEB DCB EB CB
MBE NBC ∠∠
∠
⎧
⎪
⎪
⎩∠
⎨
＝
＝
＝
，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
则△BMN为等边三角形，
故⑤正确；
∵△BMN为等边三角形，
∴∠BMN=60°,
∵∠ABD=60°,
∴∠BMN=∠ABD，
∴MN//AB，
故②正确；
③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；
④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，
∵∠DPM =∠PAC+∠PCA
∴∠DPM =60°，故④正确，
故答案为：①②④⑤.
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性
质是解本题的关键．
28．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．
【答案】2n．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【详解】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．
故答案为：2n．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到
OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．
29．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接CD ，BD ，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD ，DF=DE ，继而可得AF=AE ，易证得Rt △CDF ≌Rt △BDE ，则可得BE=CF ，继而求得答案．
【详解】
如图，连接CD ，
BD ，
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，
∴AE=AF ，
∵DG 是BC 的垂直平分线，
∴CD=BD ，
在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，
CD BD DF DE ⎧⎨⎩＝＝
，
∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），
∴BE=CF ，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，
∵AB=11，AC=5， ∴BE=
12
（11-5）=3． 故答案为：3．
【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30．如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP ＝CQ 时，PQ 交AC 于D ，则DE 的长为______．
【答案】
12
【解析】 过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F.
因为△ABC 是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.
因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.
因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，
又因为AP=CQ ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF ，PE=QC.
同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.
所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE ，所以DE=
12AC=12. 故答案为12
.
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．
A ．PA P
B =
B ．PO 平分APB ∠
C ．OA OB =
D ．AB 垂直平分OP
【答案】D
【解析】
【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．
【详解】
解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥
∴PA PB =，选项A 正确；
在△AOP 和△BOP 中，
PO PO PA PB =⎧⎨=⎩
， ∴AOP BOP ≅
∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．
32．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )
A 3
B 33
C ．32
D ．不能确定
【答案】B
【解析】
已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH 332S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12
AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12
×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH 332P 到三角形三边
距离之和为332
．故选B.
点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
33．如图，120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°，只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.
【详解】
解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=︒，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OE=OF=OP ，
∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN ，
在△PEM和△PON中，
PEM PON
PE PO
EPM OPN
∠
⎪∠
⎧
⎩
∠
⎪
∠
⎨
＝
＝
＝
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.
34．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )
A．AD＝BE B．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC
【答案】B
【解析】
试题解析：A.ABC和CDE
△均为等边三角形，
60
AC BC EC DC ACB ECD
∴==∠=∠=︒
，，，
在ACD与BCE中，
{
AC BC
ACD BCE
CD CF
=
∠=∠
=，
ACD BCE
∴≌，
AD BE
∴=，正确.
B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE
⊥错误，故本选项符合题意.
C.CFG是等边三角形，理由如下：
180606060
ACG BCA
∠=︒-︒-︒=︒=∠，
ACD BCE
≌，
CBE CAD
∴∠=∠，
在ACG和BCF中，{
CAG CBF
AC BC
BCF ACG
∠=∠
=
∠=∠，
ACG BCF
∴≌，
CG CH
∴=，又∵∠ACG=60°
CFG
∴是等边三角形，正确.
D.CFG是等边三角形，
60
CFG ACB
∴∠︒=∠
﹦，
.
FG BC
∴正确.
故选B.
35．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．
又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．
故选C．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．
36．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C 的度数为（ ）
A ．40°
B ．41°
C ．32°
D ．36°
【答案】D
【解析】 分析：如图，连接AO 、BO ．由题意EA =EB =EO ，推出∠AOB =90°，∠OAB +∠OBA =90°，由DO =DA ，FO =FB ，推出∠DAO =∠DOA ，∠FOB =∠FBO ，推出∠CDO =2∠DAO ，
∠CFO =2∠FBO ，由∠CDO +∠CFO =108°，推出2∠DAO +2∠FBO =98°，推出
∠DAO +∠FBO =49°，由此即可解决问题．
详解：如图，连接AO 、BO ．
由题意得：EA =EB =EO ，∴∠AOB =90°，∠OAB +∠OBA =90°．∵DO =DA ，FO =FB ，∴∠DAO =∠DOA ，∠FOB =∠FBO ，∴∠CDO =2∠DAO ，
∠CFO =2∠FBO ．∵∠CDO +∠CFO =108°，∴2∠DAO +2∠FBO =108°，∴∠DAO +∠FBO =54°，∴∠CAB +∠CBA =∠DAO +∠OAB +∠OBA +∠FBO =144°，∴∠C =180°﹣（∠CAB +∠CBA ）=180°﹣144°=36°．
故选D ．
点睛：本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．
七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 37．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-
B ．±4x
C ．4116x
D ．2116
x 【答案】D
【解析】
【分析】。