2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷(理科)(一)

2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合A={x|x2−2x−3<0}，B={0,1，2，3，4}，则A∩B=()
A. {0,2}
B. {0,1，2}
C. {3,4}
D. {0,2，3}
2.设复数z=1−i
1+i
，那么在复平面内复数3z−1对应的点位于()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李
治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶(各台阶高度相同)和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多象征意义.比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，……，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”.现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为()
A. 86.2米
B. 83.6米
C. 84.8米
D. 85.8米
4.已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为()
A. 2√3
3π B. 4√3
3
π C. 8√3
3
π D. 2√3π
5.已知函数f(x)=2
2x+1
−1，且f(4x−1)>f(3)，则实数x的取值范围是()
A. (2,+∞)
B. (−∞,2)
C. (1,+∞)
D. (−∞,1)
6.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自
然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字.汉字是书法艺术的精髓.汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为()
A. 4
25B. 8
25
C. 9
25
D. 18
25
7.已知⊙M经过坐标原点，半径r=√2，且与直线y=x+2相切，则⊙M的方程为()
A. (x+1)2+(y+1)2=2或(x−1)2+(y−1)2=2
B. (x+1)2+(y−1)2=2或(x−1)2+(y+1)2=2
C. (x−1)2+(y+1)2=2或(x+√2)2+y2=2
D. (x−1)2+(y+1)2=2或(x−√2)2+y2=2
8.若将函数y=3sin2x的图像向右平移π
6
个单位长度，平移后图像的一条对称轴为()
A. x=5π
6B. x=5π
12
C. x=π
3
D. x=2π
3
9.渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头A出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速
度大小为|v1|=10km/ℎ，水流速度的大小为|v2|=6km/ℎ.设速度v1与速度v2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应()
A. 在A′东侧
B. 在A′西侧
C. 恰好与A′重合
D. 无法确定
10.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)上存在两点A，B关于直线y=x−6对称，且线段AB的中点
坐标为M(2,−4)，则双曲线C的离心率为()
A. √2
B. √3
C. 2
D. √5
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=π
2
，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为()
A. 4
B. 3
C. 4√2
D. 2√2
12.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数f(x)=xe x+2，若关于x的函数F(x)=
[f(x)]2+(a−2)f(x)−2a恰有2个零点，则实数a的取值范围为()
A. (−∞,1e −2)
B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−2,1e −2)∪(2−1e ,2)
D. (1e −2,2−1
e ) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0
x −y +2≥0x ≤2
，则z =x +3y 的最大值为______ ．
14. (3−2
x )(1+x)5的展开式中常数项为______ ．
15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3bcosC =3a −c ，且A =C ，则sinA = ______ ．
16. 已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，现有以下命题：
①f(x)是偶函数；②f(x)是以2π为周期的周期函数；
③f(x)的图像关于x =π2对称；④f(x)的最大值为√2．
其中真命题有______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC ⊥AC ，BC ⊥AC ，
AC =PC =2，CB =4，M 是PA 的中点．
(Ⅰ)求证：PA ⊥平面MBC ；
(Ⅱ)设点N 是PB 的中点，求二面角N −MC −B 的余弦值．
18. 设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知a 1=3，a 22=a 4+24． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设数列{b n }满足b n ={sina n π(n 为奇数)cosa n π(n 为偶数)
，求b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 2021．
19.某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试.受新冠疫情影响，初试采取线上考
核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C至少有一项过关才能进入面试.现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立．
(Ⅰ)求甲应聘者能进入面试的概率；
(Ⅱ)用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX．
20.设O为坐标原点，抛物线C：y2=4x与过点T(4,0)的直线相交于P，Q两个点．
(Ⅰ)求证：OP⊥OQ；
(Ⅱ)试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称.若存在，求出点M的坐标.若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f(x)=lnx −a(2x−1)x+1(a ∈R)有两个极值点x 1和x 2．
(Ⅰ)求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)把x 22x 1+x 1
2x 2表示为关于a 的函数g(a)，求g(a)的值域．
22. 直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1−t
y =3+t (t 为参
数)．
(Ⅰ)求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；
(Ⅱ)设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求|MN|的最小值．
23. 已知函数f(x)=|2x|+|x −1|，x ∈R ．
(Ⅰ)求f(x)≥2的解集；
(Ⅱ)若f(x)=kx 有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1，2}．
故选：B．
求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C
【解析】解：复数z=1−i
1+i =(1−i)2
(1+i)(1−i)
=−2i
2
=−i，
那么在复平面内复数3z−1=−1−3i对应的点(−1,−3)位于第三象限，
故选：C．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知所求的高度为17.69÷108×526≈86.2，
所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，
故选：A．
由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69÷108×526．
本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力以及对题干的理解能力，属于基础题．4.【答案】C
【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：
∴圆锥的高AO=√3
2
×4=2√3，
圆锥的底面半径r=1
2
×4=2，
因此，该圆锥的体积V=1
3πr2⋅AO=1
3
π×22×2√3=8√3π
3
．
故选：C ．
根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．
本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵x 增大时，2x +1增大，2
2x +1减小，
∴f(x)是R 上的减函数，且f(4x −1)>f(3)，
∴4x −1<3，解得x <1，
∴x 的取值范围是(−∞,1)．
故选：D ．
可看出f(x)是R 上的减函数，从而可根据f(4x −1)>f(3)可得出4x −1<3，然后解出x 的范围即可． 本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 6.【答案】C
【解析】解：甲选两种书体共有5×4=20种，乙选两种书体共有5×4=20种，一共有400种选法， 甲不选隶书体有4×3=12种，乙不选草书体有4×3=12种，共有12×12=144种选法，共有12×12=144种选法，
则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为P =144400=925．
故选：C ．
甲选两种书体共有5×4=20种，乙选两种书体共有5×4=20种，一共有400种选法，然后求出甲不选隶书体，乙不选草书体的选法，结合古典概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式，属于基础题． 7.【答案】A
【解析】解：由已知设圆的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2，
由已知得{a 2+b 2=r 2
r =√22=√2，解得a =b =1，或a =b =−1．
故圆的方程为：(x +1)2+(y +1)2=2或(x −1)2+(y −1)2=2．
故选：A ．
设出圆的方程的标准式，然后根据条件列出a ，b ，r 的方程组求解即可．
本题考查利用待定系数法求圆的方程，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：将函数y =3sin2x 的图像向右平移π6个单位长度，可得y =3sin(2x −π3)的图象， 令2x −π3=kπ+π2，k ∈Z ，可得x =
kπ2+5π12，k ∈Z ， 故平移后图像的一条对称轴为x =
5π12， 故选：B ．
由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，的出结论．
本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 9.【答案】A
【解析】解：如图建立直角坐标系，θ=120°时，
水流速度为v 2⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，
轮船的速度v 1⃗⃗⃗⃗ =(−5,5√3)，
∴v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ =(1,5√3)，
这说明船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在A′的东方，
故选：A ．
建立坐标系，根据向量的几何意义即可求出．
本题考查了向量在几何中的应用，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 12a 2−y 12
b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减，得y 1−y 2
x 1−x 2=b 2(x 1
+x 2
)
a 2(y 1+y 2)，
∵A，B关于直线y=x−6对称，且线段AB的中点坐标为M(2,−4)，
∴直线AB的斜率k AB=y1−y2
x1−x2=−1，x
1
+x2=4，y1+y2=−8，
∴−1=4b2
−8a2
，即b2=2a2，
∴离心率e=√a2+b2
a2=√1+b2
a2
=√3．
故选：B．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由点差法可得y1−y2
x1−x2=b2(x1+x2)
a2(y1+y2)
，结合点关于直线的对称问题和中点坐标公式，可推
出b2=2a2，再由e=√1+b2
a2
，得解．
本题考查双曲线的方程与几何性质，熟练运用点差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：在直三棱锥ABC−A1B1C1中，
∵∠ABC=π
2
，∴AB⊥BC，又AB=BC=2，
∴直三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC−A1B1C1补成正四棱柱，
则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
设D，D1分别为AC，A1C1的中点，则DD1的中点O为球心，
设直三棱柱的高为h，则球的半径R=√(√2)2+(ℎ
2)2=√2+ℎ2
4
，
故表面积为S=4πR2=4π(2+ℎ2
4
)=16π，解得ℎ=2√2．
故选：D．
由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为h，把正四棱柱外接球的半径用含有h的代数式表示，代入球的表面积公式求解．
本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】C
【解析】解：F(x)=[f(x)−2][f(x)+a]=0，f(x)=2或f(x)=−a ，
x <0时，f(x)=xe x +2<2，f′(x)=(x +1)e x ，
x <−1时，f′(x)<0，f(x)递减，−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)递增，
故f(x)的极小值是f(−1)=2−1e ，又f(x)<2，故f(x)=2无解，
此时f(x)=−a 要有2个解，则2−1e <−a <2，
又f(x)是奇函数，故x >0时，f(x)=2仍然无解，
f(x)=−a 要有2个解，则−2<−a <1e −2，
综上：a 的取值范围是(−2,1e −2)∪(2−1e ,2)，
故选：C ．
由F(x)=0，得f(x)=2或f(x)=−a ，而x <0时，f(x)=2无解，需满足f(x)=−a 有2个解，利用导数求得f(x)在x <0时的性质，由奇函数得x >0的性质，确定a 在取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是中档题． 13.【答案】14
【解析】解：由约束条件作差可行域如图，
联立{x =2x −y +2=0
，解得A(2,4)， 由z =x +3y ，得y =−13x +z 3，由图可知，当直线y =−13x +z
3过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为14．
故答案为：14．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】−7
【解析】解：(3−2
x )(1+x)5=3×(1+x)5−2
x
×(1+x)5，
所以常数项为：3C50−2
x
×C51x=3−10=−7，
故答案为：−7．
由二项式定理展开式直接展开即可解决．
本题考查了二项式定理，二项展开式，属于基础题．
15.【答案】√6
3
【解析】解：因为3bcosC=3a−c，且A=C，
可得a=c，3b⋅a2+b2−c2
2ab =3a−c，整理解得a=c=√3
2
b，
所以cosA=b2+c2−a2
2bc
=2
2b⋅√3
2
b
=√3
3
，
可得sinA=√1−cos2A=√6
3
．
故答案为：√6
3
．
由题意利用余弦定理可求a=c=√3
2
b，进而可求cos A的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解sin A
的值．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】①②④
【解析】解：函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，
对于①：由于f(−x)=f(x)，且x∈R，故函数为偶函数，故①正确；
对于②：函数f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(cosx)+cos(cosx)=f(x)，故②正确；对于③：由于f(0)=sin1+cos1，f(π)=sin(−1)+cos1，故f(0)≠f(π)，所以③错误；
对于④：f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)=√2sin(cosx+π
4)，当cosx=π
4
时，f(x)的最大值为√2，故④正确；
故答案为：①②④．
直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】(Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，
∵PA ⊂平面PAC ，∴BC ⊥PA ，
∵AC =PC ，M 是PA 的中点，∴CM ⊥PA ，
∵CM ∩BC =C ，BC ⊂平面MBC.CM ⊂平面MBC ．
∴PA ⊥平面MBC ．
(Ⅱ)解：∵PC ⊥AC ，平面PAC ⊥平面ABC ，∴PC ⊥平面ABC ，
∵BC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BC ，
建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0，0)，B(0,4，0)，C(0,0，0)，
P(0,0，2)，M(1,0，1)，N(0,2，1)，
则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，PA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 由(Ⅰ)知PA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)是平面MBC 的一个法向量， 设n
⃗ =(x,y,z)是平面MNC 的法向量， 则有{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +z =0CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2y +z =0
，令y =1，则z =−2，x =2， ∴n ⃗ =(2,1,−2)，
设二面角N −MC −B 所成角为θ，
则cosθ=|cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|√8⋅√9|=2√23
．
【解析】(Ⅰ)证明BC ⊥平面PAC ，推出BC ⊥PA ，结合CM ⊥PA ，证明PA ⊥平面MBC ．
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面MBC 的一个法向量，平面MNC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及
计算能力，学生的数学素养，是中档题．
18.
【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意有(a 1+d)2=(a 1+3d)+24，解得d =−6或d =3， ∵d >0，∴d =3，
∴a n =3+3(n −1)=3n ．
(Ⅱ)当n 为奇数时，b n =sin3nπ=sinπ=0，
当n 为偶数时，b n =cos3nπ=cos0=1，
故{b n }是以2为周期的周期数列，且b 1+b 2=1，
∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 2021=1010(b 1+b 2)+b 1=1010+0=1010.，
【解析】(Ⅰ)根据等差数列的通项公式即可求出；
(Ⅱ)分别求出b n ，再根据数列的周期性即可求出．
本题考查了等差数列的通项公式和数列的求和，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立， 则甲应聘者能进入面试的概率为：
P(ABC −)+P(AB −C)+P(ABC)=23⋅12⋅12+23⋅12⋅12+23⋅12⋅12=12．
(Ⅱ)由题知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3,12)．
P(X =0)=C 30(12)3=18
； P(X =1)=C 31(12)(12)2=38
； P(X =2)=C 32(12)2(12)=38
； P(X =3)=C 33(12)3(12)0=18， 分布列为：
∵X ～B(3,12)，EX =3⋅12=32．
【解析】(Ⅰ)甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，然后求解甲应聘者能进入面试的概率．
(Ⅱ)X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3,12).求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题． 20.【答案】(Ⅰ)证明：设直线PQ ：x =ny +4，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，
联立{x =ny +4y 2=4x
，消去x 得y 2−4ny −16=0， ∴y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16．
∴x 1x 2=y 1
24⋅y 2
24=(−16)216=16，∴x 1x 2+y 1y 2=0，
∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，即OP ⊥OQ ． (Ⅱ)解：假设存在这样的点M ，设M(t,0)，
由(Ⅰ)知，y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16，
由PM 和QM 关于x 轴对称知，k MP +k MQ =0，
即k MP +k MQ =y 1x 1−t +y 2x 2−t =y 1ny 1+4−t +y
2ny 2+4−t =
y 1(ny 2+4−t)+y 2(ny 1+4−t)(ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =
2ny 2y 2+(4−t)(y 1+y 2)(ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =
−32n +(4−t)⋅4n (ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =−16n−4nt (ny 1+4−t)(ny 2+4−t)=0．
∴t =−4，即存在这样的点M(−4,0)．
【解析】(Ⅰ)设直线PQ ：x =ny +4，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，利用向量的数量积化简求解即可．
(Ⅱ)假设存在这样的点M ，设M(t,0)，结合(Ⅰ)知，y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16，通过求解直线的斜率k MP +k MQ =0，求解t ，得到M 的坐标．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，考查学生分析问题解决问题的核心素养，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=
x 2+(2−3a)x+1x(x+1)2，
设ℎ(x)=x 2+(2−3a)x +1，其中△=9a 2−12a ，
当△>0时，即a >43或a <0．
此时ℎ(x)=0有两个根，则有{x 1+x 2=3a −2x 1x 2=1
，∴x 1，x 2同号， ∵f(x)的定义域为(0,+∞)，∴x 1>0，x 2>0，
∴x 1+x 2=3a −2>0，∴a >23，∴a >43，
∴x 1,2=(3a−2)±√△2(x 1<x 2)，
∴f(x)在(0,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，在(x 2,+∞)上单调递增．
综上可知，f(x)有两个极值点，
∴实数a 的取值范围为(43,+∞)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a >43时，f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，且{x 1+x 2=3a −2x 1x 2=1
， 则x 22x 1+x 12x 2=x 13+x 23=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]=(3a −2)[(3a −2)2−3]=27a 3−54a 2+27a −2(a >43) 设g(a)=27a 3−54a 2+27a −2(a >43)，
则g′(a)=81a 2−108a +27=27(3a 2−4a +1)=27(3a −1)(a −1)>0，
∴g(a)在(43,+∞)上是单调递增的，∴g(a)>g(43)=2，
∴g(a)∈(2,+∞)，
即g(a)的值域为(2,+∞)．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，得到函数的极值点的个数，确定a 的范围即可；
(Ⅱ)求出x 22x 1+x 12x 2的解析式，设g(a)=27a 3−54a 2+27a −2(a >43)，求出函数的单调性，求出函数的值域即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题． 22.【答案】解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =1−t
y =3+t (t 为参数).转换为直角坐标方程为：x +y =4；
曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 29
+y 2=1， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．
(Ⅱ)设N(3cosα,sinα)，
则|MN|就是点N 到直线l 的距离，|MN|=√2=√10sin(α+φ)−4|√2，(φ由tanφ=3决定)． 当sin(α+φ)=1时，|MN|min =4−√10
√2=2√2−√5．
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：(I)f(x)=|2x|+|x −1|={−3x +1,x ≤0
x +1,0<x <13x −1,x ≥1
，
由−3x +1≥2，解得：x ≤−1
3，
由x +1≥2，解得：x ≥1，无解，
由3x −1≥2，解得：x ≥1，
故f(x)≥2的解集是{x|x ≥1或x ≤−13}.
(Ⅱ)由图易知：k OA =2−01−0=2,k OB =k AC =3，
∴k o A <k <k OB ，
即2<k <3，
即k 的取值范围是(2,3)．
【解析】(Ⅰ)求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
(Ⅱ)结合函数的图像，求出k 的范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合以及转化思想，是中档题．。