【高中教育】最新高三数学上学期第一次联考试题理(含解析)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高三数学上学期第一次联考试题理（含解
析）
______年______月______日
____________________部门
数学试题（理科）
1。

已知集合，则（）
A。

B。

C。

D。

【答案】B
【解析】因为，所以，故选B。

点睛：本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于
容易题。

解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，
函数定义域、值域等相关问题的处理，化简完成后，进行集合的交并
补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端点处值的处理，一
定要细心谨慎。

2。

双曲线的渐近线方程为（）
A。

B。

C。

D。

【答案】A
【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A。

3。

已知，其中是实数，则咋复平面内，复数所对应的点位于（）
A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限【答案】D
【解析】因为，所以，对应的点为，故点在第四象限，选D。

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概
念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
4。

曲线在点处的切线方程为（）
A。

B。

C。

D。

【答案】C
【解析】因为，所以切线斜率，切线方程为，即，故选C。

5。

已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，
则（）
A。

B。

C。

D。

【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则由得，，即，解得或（舍去），又由得，所以，
，故选D。

6。

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）
A。

若，则
B。

若，则
C。

“直线与平面内的无数条直线垂直”上“直线与平面垂直”的充分不必要条件
D。

若，则
【答案】D
【解析】对A，符合条件的直线可能∥，故不正确；对B,两个垂直平
面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对C, 直线与平面内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确。

7。

已知随机变量，且，则（）
A。

B。

C。

D。

【答案】B
【解析】由正态分布的对称性知，，故选B。

8。

已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）
A。

B。

C。

D。

【答案】C
【解析】设准线与轴交于N，所以,直线的斜率，所以,在直角三角形中，，，根据抛物线定义知，,又, ,所以,因此是等边三角形，故，所
以的面积为，故选C。

9。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A。

B。

C。

D。

【答案】A
【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，
球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为，高为2，所以
三棱锥的体积，故组合体的体积,故选A。

10。

运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（）
A。

B。

C。

D。

【答案】B
【解析】执行一次，，执行第2次，，执行第3次，，执行第4次，，执行第5次，，执行第6次，，执行第7次，跳出循环，因此判断框
应填，故选B。

11。

已知函数有唯一的零点，则实数的值为（）
A。

B。

C。

或 D。

或
【答案】A
【解析】函数为偶函数，在处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为，则，解得或，当时不合题意，故选A。

12。

已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为
（）
A。

B。

C。

D。

【答案】C
【解析】因为
,当时，，由函数是增函数知，
所以
∵ ，，∴，
∵恒成立，∴，故选C。

点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最
值单调性问题，综合性较强，属于难题．首先要根据求导公式及法则
对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区
间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强．
13。

已知在长方形中，,点是边上的中点，则 __________．
【答案】4
【解析】以A为原点，AB,AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则,所以,,故填。

14。

《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五
百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税
100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出
__________钱（所得结果四舍五入，保留整数）．
【答案】17
【解析】依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱，故填。

15。

已知实数满足，若的最大值为4，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域如图：
目标函数化简得：，因为，故只可能在B，C处取最大值。

联立解得B, 联立解得C,
联立解得A,若目标函数过点A时，不符合题意，所以过C时取得最大值，此时，解得，过点C时，。

点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论，当时，显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值不可能为，分析时，只有当直线过点时取最小值，从而求出．
16。

设等差数列的前项和，若且，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以
，，从而公差，又
，所以，从而，解得，
故填。

17。

在中，内角的对边分别为，已知。

（1）求；
（2）若，求的面积取到最大值时的值。

【答案】（1），（2）。

【解析】试题分析：（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简后利用两角和差的正弦公式即可求出；（2）由余弦定理及均值不等式可得，从而可求面积的最大值及对应的。

试题解析：（1）因为，
在中，，所以，从而，
因为，所以，所以。

（2）由（1）知，所以，所以，
因为，
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立。

点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能
写出角的大小。

18。

为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机
抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：
（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问
卷得分的平均数；
（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问
卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望。

【答案】（1），；（2）所以变量的分布列为：。

【解析】试题分析：（1）根据茎叶图数据计算中位数及平均数；（2）由题意知随机事件服从二项分布，故可套用二项分布公式求解。

试题解析：（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，
乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是。

（2）记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分”为事件，则。

随机变量的可能取值为，且，
所以，
所以变量的分布列为：
x 0 1 2 3 4
p。

19。

如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面。

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值。

【答案】（1）证明见解析；(2)。

【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可以先证面面垂直，根据条
件易证平面，从而结论得证；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求法向量，利用线面角公式即可求出。

试题解析：1）如图，连接，因为平面平面，所以。

因为为的中点，所以为的中点。

因为，，
由平面平面，得，
又是平面所以内的两条相交直线，
得平面，因为平面，所以。

(2)令，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，得，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，
又,设直线与平面所成的角为，
则。

20。

已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上。

（1）若点在椭圆上，求的最大值；
（2）若为坐标原点），求直线的斜率。

【答案】（1）5；（2）。

【解析】试题分析：（1）根据点D在椭圆上及长轴与短轴的关系求出椭圆方程，写出，求其最值即可；（2）写出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程求交点，再根据，求M,N的坐标，根据向量相等即可求出，从而得出直线斜率。

试题解析：（1）依题意，，则，将代入，
解得，故，
设，则，
故当时，有最大值为5。

（2）由（1）知，，所以椭圆的方程为，即，
设直线的方程为，
由，得，
因为，所以，
因为，所以直线的方程为，
由，得，
所以或，得，
因为，所以，于是，
即，所以，
所以直线的斜率为。

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考
的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直
线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存
在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二
次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要
注意判别式条件的约束作用．
21。

已知函数。

（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在，且，使得，求证：。

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析。

【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大
于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显
然不行，时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出。

试题解析：（1）当时，，
又，由，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。

（2）由，当时，，此时在R上单调递增；
由可得，与相矛盾，
所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为。

若，则由可得，与相矛盾，
同样不能有，
不妨设，则由，
因为在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时，。

由，，可得，故，
又在上单调递减，且，所以，
所以，同理，即，解得，
所以。

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题。

处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会。

22。

在平面直角坐标系中，曲线，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程。

（1）求和焦点的直角坐标；
（2）若直线与交于两点，求的值。

【答案】（1）；（2）。

【解析】试题分析：（1）极坐标方程转化为直角坐标方程，联立直角坐标即可求出；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义，即可求出。

试题解析：（1）曲线的极坐标方程为，
化为直角坐标系的方程为，联立，
解得交点的坐标为。

（2）把直线的参数方程为参数)代入，
得，即，
易知点在圆外，所以。

23。

已知函数。

（1）若，解关于的不等式；
（2）若，使，求的取值范围。

【答案】（1）；（2）。

【解析】试题分析：（1）利用零点，去绝对值号，分区间求解不等式即可；（2）根据绝对值不等式的性质可得，从而，从而转化为，从而求解。

试题解析：（1）若，则不等式化为，若，则，解得，故；
若，则，解得，故；
若，则，解得，故无解，
综上所述，关于的不等式的解集为，（2），使等价于，
因为，
所以，所以的最小值为，
所以，得或
所以的取值范围是。