山东省济南市2021届高三十一学校下学期联考数学试题解析版

2021年山东省济南市十一所学校高考数学联考试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，3]D．（2，+∞）2．函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝x2﹣1，则f（x）在[0，2020]上零点值的个数为（）
A．1009B．1010C．2019D．2020
3．“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+＝x求得x＝，类似上述过程及方法．则的值为（）
A．B．C．7D．2
5．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则直径在（75，90]内的概率为（）
附：若X～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）＝0.6826，P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）＝0.9544．
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
6．椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）
A．
B．
C．
D．
7．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x+2y的值是（）
A．12B．14C．16D．18
8．正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O 对称，则这两个正四面体公共部分的体积为（）
A．3B．C．2D．
二、多项选择题（共4小题）.
9．欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为i
10．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP＝DC＝1．下列结论中正确的是（）
A．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱长均相等
B．∠PAB的取值范围是（）
C．若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为2π
D．若AB＝BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为
11．已知数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）
A．S6＝a8
B．S2019＝F2021﹣1
C．F1+F3+F5+…+F2021＝F2022
D．F12+F22+F32+……+F20202＝F2020F2021
12．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f（x）＝a cosh，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其表达式为cosh x＝，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为sinh x＝．若直线x＝m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别交于A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于P，则下列结论中正确的是（）
A．cosh2x﹣sinh2x＝1
B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh y
C．|BP|随m的增大而减少
D．△PAB的面积随m的增大而减小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，λ）．若⊥，则2+与的夹角余弦值为．14．已知m是常数，（1﹣mx）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2，则
a1＝．
15．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为．
16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足|α﹣β|＜n，则称两个函数互为“n度零点函数”．”若f（x）＝ln（x﹣2）与g（x）＝ax2﹣lnx互为“2度零点函数”，则实数a的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①，②（+1），③c sin B＝b cos（C﹣）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为10，D为AC的中点，求BD的最小值．
18．已知各项均为正数的等差数列{a n}满足a1a5＝33，a22＝25．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝4n﹣2+3a n，若a n∈N，求{b n}的前n项和T n．
19．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
20．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为2p﹣1，鱼苗乙、丙的自然成活率均为p，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为x，求x的分布列．（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，若将（1）中满足数学期望E（x）不超过2.6的p的最大值作为乙种鱼苗成活的概率，养殖后发现乙种鱼苗有个别因不能适应环境而不能自然成活，对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼苗采取增氧、换鱼塘等措施，采取措施后成活的概率为62.5%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利100元，不成活则亏损20元，若扶贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
21．已知函数f（x）＝lnx+（λ∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；
（3）求证：当x＞0时，（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．
22．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C上异
于左、右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为时，△PF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设PB交直线x＝4于M，AM交椭圆C于Q．
（ⅰ）证明：k AP•k AQ为定值；
（ⅱ）求△APQ面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，3]D．（2，+∞）解：∵x2﹣2x﹣3≤0，
∴（x﹣3）（x+1）≤0，
解得﹣1≤x≤3，
∴M＝[﹣1，3]，
由N中log2x＞1＝log22，得到x＞2，即M＝（2，+∞），
则M∩N＝（2，3]．
故选：C．
2．函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（﹣2，2]时，f（x）＝x2﹣1，则f（x）在[0，2020]上零点值的个数为（）
A．1009B．1010C．2019D．2020
解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的函数，
又x∈（﹣2，2]时，f（x）＝x2﹣1，当x＝1或x＝﹣1时，y＝0，
∴f（x）在每个周期内有两个零点，在其对称轴两侧各有一个，
由图象可知，在y轴右侧，每隔2个单位就有一个零点，
∴f（x）在[0，2020]上有1010个零点；
故选：B．
3．“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：若方程+＝1为椭圆方程，
则，解得：2＜m＜6，且m≠4，
故“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，
故选：B．
4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+＝x求得x＝，类似上述过程及方法．则的值为（）
A．B．C．7D．2
解：由题意，令＝x，则
＝x，
整理，得x2﹣x﹣7＝0，
解得x＝，或x＝，
∵x＞0，
∴x＝
∴＝．
故选：B．
5．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则直径在（75，90]内的概率为（）
附：若X～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）＝0.6826，P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）＝0.9544．
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
解：烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），可得：μ＝80，δ＝5．
则直径在（75，90]内的概率＝P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）﹣[P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）﹣P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）]
＝[P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）+P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）]＝×（0.6826+0.9544）＝0.8185．故选：C．
6．椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）
A．
B．
C．
D．
解：设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，P到两焦点的距离分别为m，n（m ＞n＞0），焦距为2c，
由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a2，
解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，
由余弦定理可得m2+n2﹣2mn cos2θ＝4c2，
则（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos2θ＝4c2，
化为a12（1﹣cos2θ）+a22（1+cos2θ）＝2c2，
可得+＝1，
由e1＝，e2＝，
可得+＝1．
故选：B．
7．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x+2y的值是（）
A．12B．14C．16D．18
解：由题，因为中位数为12，所以，，x+y＝4
（2+2+3+4+x+y+20+19+19+20+21）＝11.4；
要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：
（10+x﹣11.4）2+（10+y﹣11.4）2＝（x﹣1.4）2+（y﹣1.4）2≥2（）2＝0.72，当且紧当x﹣1.4＝y﹣1.4，取等号，即x＝y＝2 体标准差最小
此时4x+2y＝12
故选：A．
8．正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O 对称，则这两个正四面体公共部分的体积为（）
A．3B．C．2D．
解：如图，点E，F，G，H，I，J分别是边AB，AC，AD，BC，CD，DB的中点，这两个正四面体公共部分为多面体GEFHIJ．
三棱锥A﹣EFG是正四面体，其棱长为正四面体ABCD棱长的一半，
则，
这两个正四面体公共部分的体积为．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为i
解：对于A，由于e2i＝cos2+i sin2，
∵2∈（，π），
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；
对于B，＝cos+i sin＝i，可得为纯虚数，故B正确；
对于C，＝＝＝+i，
可得其模的长为＝，故C正确；
对于D，＝cos+i sin＝+i，可得的共轭复数为﹣i，故D错误．
故选：BC．
10．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP＝DC＝1．下列结论中正确的是（）
A．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱长均相等
B．∠PAB的取值范围是（）
C．若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为2π
D．若AB＝BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为
【解答】解：对于A，因为P在底面ABC上的投影为AC的中点D，
所以PD⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以DB＝DC，
于是DB＝DC＝DA＝1．所以PB＝PC＝PA，所以A对；
对于B，设∠PAB＝θ，AB＝t，t∈（0，2），取AB中点M，
△PAM为直角三角形，PA＝，AM＝，
cosθ＝＝∈（0，），
于是θ∈（），所以B对；
对于C，因为DA＝DB＝DC＝DP＝1，所以D为外接球的球心O，
球的表面积为4π×12＝4π≠2π，所以C错；
对于D，因为AB＝BC，AB⊥BC，所以BC＝PB＝PC＝，
作平面展开图如右图所示，
则DE+BE的最小值为DB＝＝，所以D对．
故选：ABD．
11．已知数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）
A．S6＝a8
B．S2019＝F2021﹣1
C．F1+F3+F5+…+F2021＝F2022
D．F12+F22+F32+……+F20202＝F2020F2021
解：因为数列{F n}从第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．
则F n+2＝F n+F n+1＝F n+F n﹣1+F n
＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣1
＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+F n﹣2
＝…
＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+…+F2+F1+1＝S n+1，
所以S6＝F8﹣1，S2019＝F2021﹣1，
故A错误，B正确；
又F1＝F2，F3＝F4﹣F2，F5＝F6﹣F4，…，F2021＝a2022﹣a2020，
将以上式子相加可得：F1+F3+F5+…+F2021＝F2022，故C选项正确；
因为F n+2＝F n+1+F n，F1＝F2＝1，
所以F12＝F2F1，
F22＝F2（F3﹣F1）＝F2F3﹣F2F1，
F32＝F3F4﹣F2F3，…，
F20202＝F2020F2021﹣F2020F2019，
将以上式子相加可得：F12+F22+…+F20202＝F2020F2021，故选项D正确，
故选：BCD．
12．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f（x）＝a cosh，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其表达式为cosh x＝，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为sinh x＝．若直线x＝m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别交于A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于P，则下列结论中正确的是（）
A．cosh2x﹣sinh2x＝1
B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh y
C．|BP|随m的增大而减少
D．△PAB的面积随m的增大而减小
解：对于A、cosh2x﹣sinh2x＝
＝，故A正确；
对于B、cosh x cosh y﹣sinh x sinh y＝•﹣•
＝﹣
＝＝cosh（x﹣y），故B错误；
对于C与D、设A（m，），B（m，），
则曲线C1在点A处的切线方程为y﹣＝（x﹣m），
曲线C2在点B处的切线方程为y﹣＝（x﹣m），
联立求得P的坐标为（m+1，e m），则＝1+．|AB|＝e﹣m，∴|BP|随m的增大先减小后增大，△PAB的面积随m的增大而减小，
故C错误，D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，λ）．若⊥，则2+与的夹角余弦值为．解：∵向量＝（﹣1，2），＝（2，λ），若⊥，则＝﹣2+2λ＝0，
∴λ＝1，2+＝（0，5），
∴2+与的夹角余弦值为＝＝，
故答案为：．
14．已知m是常数，（1﹣mx）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2，则a1＝﹣10．
解：令x＝0可得：1＝a0，
令x＝1可得：（1﹣m）5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2+a0＝﹣1，
∴m＝2，
故a1＝•（﹣2）1＝﹣10，
故答案为：﹣10．
15．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为5．
解：设P（m，），由x2＝4y可得y＝，
所以y'＝，可得在过P切线的斜率k＝，
由题意可得Q（m，﹣1），
因为k QF＝﹣，所以k FQ•k＝﹣1，
即FQ⊥l1，
由题意可得|PF|＝|PQ|，所以可得PR为QF的中垂线，
则|RF|＝|RQ|，
所以|QR|+|MR|＝|RF|+|MR|≥|MF|＝＝5，
故答案为：5．
16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足|α﹣β|＜n，则称两个函数互为“n度零点函数”．”若f（x）＝ln（x﹣2）与g（x）＝ax2﹣lnx互为“2度零点函数”，则实数a的取值范围为．
解：函数f（x）＝ln（x﹣2）的零点为x1＝3，设g（x）＝ax2﹣lnx的零点为x2，则|x2﹣3|＜2，所以1＜x2＜5，
由g（x）＝ax2﹣lnx＝0可得，设h（x）＝，则，
令h'（x）＝0，解得x＝，
所以h（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又h（1）＝0，h（5）＝，
所以h（x）的取值范围为，
故a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①，②（+1），③c sin B＝b cos（C﹣）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为10，D为AC的中点，求BD的最小值．
解：（1）选①时，，利用正弦定理：
sin B﹣sin C cos A＝，
由于B＝π﹣（A+C），
所以sin B＝sin（A+C），
故sin A cos C＝，
整理得tan C＝，
0＜C＜π，
故C＝．
选②时，，
整理得＝，
由于由于A+C+B＝π，
所以sin（B+C）＝sin A，
故cos C＝，
0＜C＜π，
故C＝．
选③时，c sin B＝b cos（C﹣），
整理得sin C＝cos（C﹣）＝，
所以，
整理得tan C＝，
0＜C＜π，
故C＝．
（2）由于△ABC的面积为10，
所以，解得ab＝40．
由余弦定理＝，
故BD．
当且仅当a＝，即a＝2，b＝4，
BD的最小值为2．
18．已知各项均为正数的等差数列{a n}满足a1a5＝33，a22＝25．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝4n﹣2+3a n，若a n∈N，求{b n}的前n项和T n．
解：（Ⅰ）设各项均为正数且公差为d的等差数列{a n}满足a1a5＝33，a22＝25．
所以，整理得3d2﹣10d+8＝0，d＝2或，
解得或，
故a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1或a n＝+（n﹣1）＝；
（Ⅱ）由于a n∈N，所以a n＝2n+1，
所以b n＝4n﹣2+3a n＝4n﹣2+6n+3，
所以T n＝+（9+6n+3）n＝（4n﹣1）+3n2+6n．
19．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足．（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中，DC∥EA，且DC＝EA，M，N分别为BA，BE的中点，
∴MN∥EA，MN＝EA，
∴MN∥CD，且MN＝CD，则四边形CDNM为平行四边形，得CM∥DN，
又，N为EB的中点，∴G为EN的中点，
又F为ED的中点，∴GF∥DN，可得GF∥CM，
又CM⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC；
（2）解：在平面ABC内，过B作BH⊥AC，交AC于H，
∵平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC＝AC，
BH⊂平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B﹣ACDE的高，
又底面ACDE的面积确定，∴要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC＝．
过点H作HP∥AE，可知HB，HC，HP两两垂直，
以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，1，1），
，，，
设是平面ABE的一个法向量，
则，取y1＝﹣1，得；
设为平面DBE的一个法向量，
则，取z2＝2，可得．
∴cos＜＞＝＝．
由图可知，二面角A﹣BE﹣D为钝角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．
20．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为2p﹣1，鱼苗乙、丙的自然成活率均为p，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为x，求x的分布列．（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，若将（1）中满足数学期望E（x）不超过2.6的p的最大值作为乙种鱼苗成活的概率，养殖后发现乙种鱼苗有个别因不能适应环境而不能自然成活，对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼苗采取增氧、换鱼塘等措施，采取措施后成活的概率为62.5%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利100元，不成活则亏损20元，若扶贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝（2﹣2p）（1﹣p）2＝2（1﹣p）3，
P（X＝1）＝（2p﹣1）（1﹣p）2+2（2﹣2p）p（1﹣p）＝6p3﹣13p2+8p﹣1，
P（X＝2）＝（2﹣2p）p2+2（2p﹣1）p（1﹣p）＝﹣6p3+8p2﹣2p，
P（X＝3）＝（2p﹣1）p2＝2p3﹣p2，
∴X的分布列为：
X0123
P2（1﹣p）36p3﹣13p2+8p﹣
﹣6p3+8p2﹣2p2p3﹣p2
1
（2）由（1）得E（X）＝0×2（1﹣p）3+1×（6p3﹣13p2+8p﹣1）+2×（﹣6p3+8p2﹣2p）+3×（2p3﹣p2）＝4p﹣1，
∵4p﹣1≤2.6，解得p≤0.9，即乙种鱼苗自然成活的概率为0.9．
依题意知一尾乙种鱼苗最张斌成活的概率为0.9+0.1×0.8×0.625＝0.95，
则n尾乙种鱼苗最终成活的尾数为0.95n，不成活的尾数是（1﹣0.95）n，
设F（n）为购买n尾鱼苗最终可获得利润，
则F（n）＝100×0.95n﹣20×（1﹣0.95）n≥3760000，
解得n≥4000，
∴若扶贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，则需至少购买4000尾乙种鱼苗．21．已知函数f（x）＝lnx +（λ∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；
（3）求证：当x＞0时，（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．
【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，令g（x）＝x2﹣λx+1，△＝λ2﹣4，
当λ＜﹣2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣2≤λ≤2时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当λ＞2时，△＞0，设方程g（x）＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＝
＞0，x2＝＞0，
当0＜x＜x1或x＞x2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故f（x）在（x1，x2）上单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增．
综上，当λ≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当λ＞2时，f（x）在（，）上单调递减，在（0，）和（，+∞）上单调递增．
（2）证明：由（1）可得，当λ＝2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1）＝0，故f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，lnx＞，当x＞0时，ln（x+1）＞，要证（e x﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证（e x﹣1）＞x2，只需证e x＞x2+x+1，
令h（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1（x＞0），h′（x）＝e x﹣x﹣1，
h″（x）＝e x﹣1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以h′（x）＞h′（0）＝0，
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，
h（x）＞h（0）＝0，即e x＞x2+x+1，
故当x＞0时，（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．
22．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C上异
于左、右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为时，△PF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设PB交直线x＝4于M，AM交椭圆C于Q．
（ⅰ）证明：k AP•k AQ为定值；
（ⅱ）求△APQ面积的最大值．
解：（1）由题意可得：（S）max＝bc＝，
由△PF1F2为正三角形可得：b＝c，a＝2c，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）（ⅰ）证明：由题意设P（x1，y1），M（4，y0），Q（x2，y2），又A（﹣2，0），B（2，0），
所以k AP＝，k AQ＝k AM＝＝，
直线BP的方程为y＝（x﹣2），
当x＝4时，y0＝，
此时，k AP•k AQ＝×＝×＝，
又+＝1，则y12＝3（1﹣）＝（4﹣x12），代入上式可得，k AP•k AQ＝﹣．
（ⅱ）设直线PQ的方程为x＝my+t，
联立，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
所以，
又，
由k AP•k AQ＝•＝＝﹣，
化简得＝﹣，
化简得t2+t﹣2＝0，解得t＝1或t＝﹣2（舍），
所以S△APQ＝|AF2||y1﹣y2|＝＝，
令λ＝≥1，则m2＝λ2﹣1，
则S△APQ＝＝，
3λ+在[1，+∞）上单调递增，
故λ＝1时，S△APQ的最大值为，
此时m＝0，直线PQ的方程为x＝1．。