含耦合电感的电路

9.2 含耦合电感的电路计算
综上所述，耦合电感串联时的等效电感为
L L1 L2 2M
其中，M同样为代数量： 电流从同名端流入时，取“+” 电流从异名端流入时，取“–”
9.2 含耦合电感的电路计算
L' L" M
4
如果能用仪器测量实际耦合线圈顺接串联和反接串联 时的电感L’和L”，则可用上式算出其互感值，这是测量互 感量值的一种方法。还可根据电感值较大(或较小)时线圈 的连接情况来判断其同名端（交流法）。
第9章 含耦合电感Coupled Inductor的电路分析
磁耦合线圈在电力系统、电子（通信）工程 和测量仪器等方面得到了广泛应用。如：电力变 压器、电压互感器和电流互感器等。为了得到实 际耦合线圈的电路模型，现在介绍一种动态双口 元件——耦合电感，并讨论含耦合电感的电路分 析。
第9章 含耦合电感的电路分析
k 12 21 Mi2 Mi1 M
11 22
L1i1 L2i2
L1 L2
k 1 全耦合 k 0.05 松耦合 0.05 k 1 越大耦合越紧
9.1 互感
耦合系数为两耦合线圈的互感磁链和自感磁链之比的 几何平均值，用k表示。
k 12 21 Mi2 Mi1 M
11 22
L1i1 L2i2
L1 L2
需耦合时 （1）两线圈紧密绕在一起或靠近。 （2）将绕组绕在用铁磁材料制成芯子上面。
不需耦合时两线圈 （1）互相垂直放置。（2）远离。（3）相互屏蔽。
9.2 含耦合电感的电路计算
9.2 含耦合电感的电路计算
一、耦合电感的串联 二、耦合电感的并联 三、具有一个公共端点的两个互感线圈
dt
d 12
dt

L1
di1 dt
M
di2 dt
u2

d 2
dt
d 21
dt
d 22
dt
M
di1 dt
L2
di2 dt
每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电压和互感 磁链产生的互感电压两部分组成。
9.1 互感
说明：
u1

d 1
dt

d 11
dt

d 12
dt
d(i1 i2 ) dt

M
di2 dt

0
可以求得
u1

L1L2 M 2 L1 L2 2M

di1 dt

L'
di1 dt
9.2 含耦合电感的电路计算
此式表明耦合电感同名端并联等效于一个电感，其电 感值为
L' L1L2 M 2 L1 L2 2M
2、异侧并联，如图(b)所示。 同理可得：

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

d 2
dt

d 21
dt

d 22
dt

M
di1 dt

L2
di2 dt
1、自感电压和施感电流为关联参考方向；
2、当互感磁通和自感磁通方向一致时，互感电压和自感电 压方向一致，否则相反。
三、同名端
9.1 互感
为了在未知线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压
9.2 含耦合电感的电路计算
图(b)单口网络的电压电流关系为
di di di di u L1 dt M dt M dt L2 dt

( L1

L2

di 2M)
dt

L"
di dt
此式表明耦合电感反接串联的单口网络，就端口特性而言，
等效为一个电感值为L”= L1+L2-2M的二端电感。
2、线圈II通电流
9.1 互感
与上面的情况相似，若右线圈中通一电流i2，则在线圈本身
中形成自感磁通Φ 22或自感磁链22，显然22=L2i2，L2为线圈 2
的自感；在左线圈全部匝数N1中将形成互感磁通Φ
或互感磁链
12
12， 12也与电流i2成正比，即12=M12i2，比例系数M12称为线
9.2 含耦合电感的电路计算
50 j6 0 5+j12.5 I 3+j7.5 j6 j6 5+j12.5 = 50(5+j12.5) -42.75+j75 =7.80-51.48o A
3+j7.5 50 j6 0
I1 -42.75+j75 =3.475150.32o A
用等效去耦法：
9.2 含耦合电感的电路计算
对于图示的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1

d 1
dt

d 11
dt
d 12
dt

L1
di1 dt
M
di2 dt

u2

d 2
dt

d 21
dt

d 22
dt

M
di1 dt

L2
di2

dt
9.1 互感
与此相似，对于图示情况可以得到：
u1

d 1
dt

d 11
的极性，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，
称为同名端。当电流i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而 相互增强时，电流i1和i2所进入(或流出)的两个端钮，就称为同 名端，常用• 或 * 表示。例如左图的 l和2(或 l′和2 ′)是同名端； 右图的 l和2 ′或（ l ′和2）是同名端。
L" L1L2 M 2 L1 L2 2M
9.2 含耦合电感的电路计算
综上所述，耦合电感并联时的等效电感为
L L1L2 M 2 L1 L2 2M
同侧并联时，取“–”，磁场增强，等效电感增大； 异侧并联时，取“+”，磁场削弱，等效电感减小。
9.2 含耦合电感的电路计算
圈 2与线圈1的互感。
3、线圈I、II均通上电流
9.1 互感
若两个线圈中同时有电流i1和i2存在，则每个线圈中总磁链 为本身的自感磁链和另一个线圈中电流在线圈内形成的互感磁
链的代数和。
1 2
11 12 21 22

L1i1 M21i1
M12i2 L2i2

1、线圈I通电流
9.1 互感
若左线圈中通一电流i1，则在线圈本身中形成自感磁通Φ 11
或自感磁链11，显然11=L1i1，L1为线圈 l的自感；在右线圈全 部匝数N2中将形成互感磁通Φ 21或互感磁链21， 21也与电流i1 成正比，即21=M21i1，比例系数M21称为线圈 l与线圈2的互感。
五、耦合线圈的含受控源电路模型
9.1 互感
M di2 dt
M di1 dt
相量电路模型
U1 jL1I1 jMI2 U 2 jMI1 jL2I2
I1
j L1
U1
j MI2
9.1 互感
I2
j L2
U2
j MI1
9.1 互感
六、耦合系数
耦合系数为两耦合线圈的互感磁链和自感磁链 之比的几何平均值，用k表示。
.*
等效去耦法
9.2 含耦合电感的电路计算
解：开关K打开，顺接串联
I
U
R1 R2 j(L1 L2 2M )
1.5 75.960 A
K闭合时：
(R1 j L1 )I j MI1 U

j MI (R2 j L2
j6 I1

50
j6I (5 j12.5)I1 0
0
，则可断定 l和2是同名端.
四、耦合电感端口的伏安关系
9.1 互感
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u11
u12
u2

M
di1 dt

L2
di2 dt

u21
u22
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

M
di1 dt

L2
di2 dt
耦合电感是一种线性时不变双口元件，它由L1、L2和 M三个参数来表征。它是一种动态电路元件。
9.2 含耦合电感的电路计算
一、耦合电感的串联
耦合电感的串联有两种方式 —— 顺串和反串。
顺串是将L1和L2的异名端相连[图(a)]，电流i均从同名端流 入，磁场方向相同而相互增强。反串是将L1和L2的同名端相连 [ 图(b)]，电流i从L1的有标记端流入，则从L2的有标记端流出， 磁场方向相反而相互削弱。
9.2 含耦合电感的电路计算
图示单口网络的电压电流关系为
di di di di u L1 dt M dt M dt L2 dt

( L1

L2

2M)
di dt

L'
di dt
此式表明耦合电感顺接串联的单口网络，就端口特性而言，
等效为一个电感值为L’= L1+L2+2M 的二端电感。
9.1 互感
1、同名端定义
当电流i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强 时，则电流i1和i2所进入(或流出)的两个端钮称为同名端。
2、同名端的判别
a、 通过绕向判别：
•
•

*
•
*
•
b、直流法：
9.1 互感
测定同名端的电路
如果发现电压表指针正向偏转，说明
u2

u2M

M
di1 dt

I3
3
3、互感并联时的等效
.I
+
I1
I2
U
_
.
jL1 *
* jL2
jM
.I
+
jM I1 I2
U
_
j(L1 M )
.
j(L2 M )
9.2 含耦合电感的电路计算
.I
+
U. _
jL同
L同

L1L2 M 2 L1 L2 2M
9.2 含耦合电感的电路计算
例1：试求图(a)所示单口网络的等效电路。
I
50
7.80 51.52o A
3+j13.5+ (5+j18.5)(-j6)
5+j18.5-j6
9.2 含耦合电感的电路计算
例3：电路如图所示，求k=0.5和k=1时的输入阻抗Zab和 U2
jM
a*
.
*
j16Ω
j4Ω
-j8Ω
+ 1000 V_
*
+
j7Ω
1Ω U_ 2
j4Ω
j5Ω
b
9.1 互感
如果右线圈绕向反过来又怎样呢？
1 11 12 L1i1 M12i2
对于图示的情况有：
2
21 22
M21i1
L2i2

一般地，对线性线圈而言，两线圈中的互感系数是相等 的，即 M12=M21=M
9.1 互感
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，并将在线圈中产生感应电动势。
对应的相量模型为：
同理：可得去耦等效电路如下：
9.2 含耦合电感的电路计算
I1 L1 M 4 L2 M I 2
1
2
U1
M
U2
I3
3
事实上，含公共节点的耦合电路均 可用右图等效。
其中：同名端相联时：取上一组符号；
异名端相联时：取下一组符号。
I1 L1 M 4 L2 M I 2
1
2
U1
M
U2
U2 j L2 I2 j MI1 j L2I2 j M (I3 I2 ) j(L2 M )I2 j MI3
注：1.任意改变电压、电流参 考方向，等效电路参数不变。
2、等效电路比原电路多出 一个节点4。
9.2 含耦合电感的电路计算
2、异名端相联，如图(a)或(b)所示。
解：先将耦合电感去耦，得到图(b)所示等效电路。最后用 电感串并联公式求得总电感为
L 8H 6(5 2) H 8H 2H 10H 652
最后得到等效电路为5电阻与10H电感的串联。
9.2 含耦合电感的电路计算
例2：图示电路，已知R1=3Ω，R2=5Ω，ωL1=7.5Ω， ωL2=12.5Ω，ωM=6Ω，电压U=50V，求开关K打开和闭合时的 电流I。
三、具有一个公共端点的两个互感线圈(三端联接)
1、同名端相联，如图(a)或(b)所示。
I1
I2
对应的相量模型为： U1
U2
1 I1
U1
I3
3
I2 2
U2
I1 L1 M 4 L2 M I 2
1
2
U1
M
U2
I3
3
9.2 含耦合电感的电路计算
U1 j L1I1 j MI2 j L1I1 j M (I3 I1 ) j(L1 M )I1 j MI3
二、耦合电感的并联
1、同侧并联，如图(a)所示。
9.2 含耦合电感的电路计算
下面列写网孔电压方程来分析耦合电感并联后的等效 电感。
9.2 含耦合电感的电路计算
网孔电压方程为

L1
d(i1 i2 ) dt

M
di2 dt

u1


L2
di2 dt

M
d(i1 i2 ) dt

L1
第9章 含耦合电感Coupled Inductor的电路分析
9.1 互感 9.2 含耦合电感电路的计算 9.3 空心变压器 9.4 理想变压器
9.1 互感
9.1 互感
一、自感

.i
+
.u_
自感磁链和自感电压
Ψ
L
i
线性电感
0
i
u d L di
dt dt
二、互感的概念
9.1 互感
如果两个线圈的磁场存在相互作用，就称这两个线圈具有磁耦 合。图示为两个相互有磁耦合关系的线圈。为了更好地说明问题， 图中部分物理量采用双下标表示：第一下标表示该物理量所在线圈 的编号；第二下标表示产生该物理量的电流所在线圈的编号。