25.2.3列举所有机会均等的结果

1P(全是正面) 1
8
(2)P(两正一反） 3 8
(3)P(两反一正） 3(4)P(全是反面) 1
8
8
所以以上说法不正确.
练习2：有两双手套，形状、大小，完全相同，只有颜色不同。黑 暗中，任意抽出两只配成一双的概率是多少？
解： 假设两双手套的颜色分别为红、黑，如下分析：
开始
第
一 次
红1
红2
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个， 它们出现的可能性相等。
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则
P（三辆车全部继续直行）=
1 27
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转）=
3 27
1 =
9
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则
P（至少有两辆车左转）= 7
这三个事件发生的概率相等吗？
在分析上面问题时，一位同学画出如下 图所示的树状图. 开始
第一次
红
白
第二次 红
白红
白
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球” 的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.
他的分析有道理吗？为什么？
把两个白球分别记作白1和白2，用树状图的 方法看看有哪些等可能的结果
开始
（1）满足两个骰子的点数相同的结果有6个，
则
P（点数相同）=
6 36
=
1 6
（2）满足两个骰子的点数之和是9的结果有4个， 则
4
1
P（和为9）= 36 = 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11
个，则
11
P（至少一个点数为2）= 36
问题7
“石头，剪刀，布”是一个广为流传的
游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”， “剪刀”，“布”三种手势的一种，规定 “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”， “布”胜“石头”，同种手势不分胜负。
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结 果有36个，它们出现的可能性相等。
红
蓝
蓝
B
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝）能配紫色的有5种， 概率为5/9；不能配紫色的有4种，概率为4/9，它们的概率不相同。
2.如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标 有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏: 游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由 转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇 形).
正正正 正正反 正反正 反正正
正反反 反正反 反反正 反反反
P（正正正）＝P（正正反）＝ 1
所以，这一说法正确.
8
归纳
画树状图求概率的步骤: ①把第一个因素所有可能的结果列举 出来. ②随着事件的发展,在第一个因素的每 一种可能上都会发生第二个因素的所 有的可能. ③随着事件的发展,在第二步列出的每 一个可能上都会发生第三个因素的所 有的可能.
计算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果
也可用如下方法求概率：
开始
硬币 正
反
1硬币 正 反正 反
2 正正 正反 正反 反反
树状图
P（出现两个正面） =P（正正）=1/4
树状图法：按事件发生的次序从上至下每条路径 列出事件的一个可能出现的结果。
问题1：随机掷一枚均匀的硬币两次, 正面朝上的概率 是多少?
练习1：有的同学认为:抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只 可能出现4种情况:(1)全是正面,(2)两正一反；(3)两反一 正;(4)全是反面.因此这四个事件出现的概率相等，你同 意这种说法吗？为什么？ 解：画树状图分析如下: 开始
硬币1
正
反
硬币2
正
反
正
反
硬币3 正 反 正 反 正 反 正 反
由以上数状图可以看出来：
左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
假定甲乙两人每次都是等可能地做这三
种手势，那么一次比赛时两人做同种手势 （即不分胜负）的概率是多少？
解：（1）作出树状图
开始
甲
石头
剪刀
布
乙 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 石头剪刀布
由树状图可得所有机会均等的结果有9个， 其中3个——（石头，石头）（剪刀，剪刀） （布，布）是我们关注的结果。
所以 P(同种手势)= 3 = 1 93
13
2
游戏规则是: 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2, 那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
转盘
1
2
3
摸球
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球 上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一 种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为1/6.
3.经过某十字路口的汽车，它可能 继续直行，也可能左转或右转，如 果这三种可能性大小相同，同向而 行的三辆汽车都经过这个十字路口 时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行
（2）两辆车右转，一辆车左转
（3）至少有两辆车左转
对所有可能出现的情况进行列表，如下图
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
P=1/4.
由以上的例题过程我们可以得到一些定义：
以上在分析问题的过程中，我们采用了画图 的方法，这幅图好像一棵倒立的树，因此我们常 把它称为树状图。它可以帮助我们分析问题，而 且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明.
例4：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出
两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
第一次
红
白1
白2
第二次 红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2 从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9
个事件出现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、
“一红一白”这三个事件中，“两摸红出 _”概率最小， 等于91___，“摸出一红一白”和“两摸白出____ ”的概率 相等，都4 是___.
练习 同时掷两个质地均匀的骰子， 计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
对两枚骰子可能出现的情况进行分
析，列表如下
第
第
二
一个 个
1
Hale Waihona Puke 2345
6
1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分 成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫 色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成 紫色与配不成紫色的概率相同吗?
解：所有可能出现的结果如下：
A 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红）
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
（1）通过面试”验. ，发现“出现两个正面”的频率稳
定
（2）你在能25用%附理近论.分析求出“出现两个正面”的
概率吗？
硬币
1
正
反
硬币2 正 反
正 正 反正
反 反反
这种方法称为通过列 表来求概率
出现均等机会结果有
___4____种，“出现 两个正面”结果1有
______种.
P（出现两个正面）
=
试验得到的频率与理论分析
27
小结：
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事 件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地 求出某些事件发生的概率. 用树状图和列表的方法求概率时应注意各种 结果出现的可能性务必相同. 用树状图法列举时应注意同时取出还是放回 后再抽取，两种方法不一样
当一次试验要涉及两个因素,且可能出 现的结果数目较多时, 通常采用列表法.
用列表法求概率：适用涉及两个元素 且结果的可能性较多的事件。
课本第154习题25.2第6、7、8题
开始
第一次
第二次
正 反正 反
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同, 正面朝上 的结果有2种:P=2/4=1/2
问题2：随机掷两枚均匀的硬币两次, 两个正面朝上的 概率是多少?
开始
(正,正)
第一枚
正
(正,反)
反
(反,正)
第二枚 正
反 正 反 (反,反)
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同,而两个正面 朝上的结果有1种:
(2)列表如下：
甲出的拳
石头
剪刀
布
乙出的拳
石头 （石头，石头）（石头，剪刀） （石头，布）
剪刀
（剪刀，石头）（ 剪刀，剪刀）（剪刀，布）
布
（石头，布） （剪刀，布） （布，布）
由表格可得所有机会均等的结果有９ 个，其中不分胜负的结果有３个。
所以 Ｐ（不分胜负）＝ 3 1 93
达标测试 巩固提高
黑1
第
二 次
黑1
黑2 红2 黑1
黑2 红1 红1 红2 黑2
由以上数状图可以看出来：
共有以下12种机会均等的结果：
P(配成一双) =
4 12
=
1 3
黑2 红1 红2 黑1
问题5：口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从
中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸 球就可能出现3种结果:
(1)都是红球;(2)都是白球；(3)一红一白.
组合，列出 所有可能的
4
6
8 10 12 结果，再从
6
9
12
15
18
中选出符合 事件结果的
8
12 16 20 24 个数，是分
10
15
20
25
30
析概率的另 一方法。
12 18 24 30 36
由表中每个格子里乘积出现的概率相等，从中可以
看出积为 6、12
的概率最大，其概率等于
1 9
． P.153页练习
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1.什么是概率？
表示一个事件发生的可能性的大小的这个数，叫做该事件的概率。
2.概率的计算公式是什么？
关注的结果的个数 P（事件发生）＝
所有机会均等的结果的个数
3.计算概率最关键的有两点：
(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果； (2)要清楚所有机会均等的结果。
问题2 抛掷两枚硬币，“出现两个正
另一 个因素 所包含 的可能 情况
一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当试验中涉及3个因素或更多的因
素时, 采用“树状图”.
一个试验
第一步
A
B
第二步 1 2 3 1 2 3
第三步 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12
用树状图法求概率：适用涉及三个或 三个以上元素的事件。
分析：
解：
对于第1
从上至下每一条路径就是一
种可能的开结始果,而且每种结
果发生的概率相等.
次抛掷，可能
出现的结果是 第一次
正
反
正面或反面；
对于第2、3次
抛掷来说也是 第二次
正
反
正
反
这样。而且每
次硬币出现正
面或反面的概 第三次 正 反 正 反 正 反 正 反
率都相等。由 此，我们可以 画出树状图.
综上，共有以下八种机会均等的结果：
9
问题6：投掷两枚普通的正方面体骰子,所得点数之积有多 少种可能？点数之积为多少的概率最大,其概率是多少？ 分析:这一问题有树状图分析是否简单? 如果利用表格 来列举所有可能得到的点数之积是否可行?试试看?
解：列表如下:
一二
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
总结：
利用表格，
2
3
4
5
6 按规律分别
2
3
4
5
6