2020-2021苏州景城学校九年级数学上期中试卷带答案

2020-2021苏州景城学校九年级数学上期中试卷带答案
一、选择题
1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．
A ．10x =，24x =
B ．11x =，25x =
C ．11x =，25x =-
D ．11x =-，25x =
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．随时打开电视机，正在播新闻
B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心
C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形
3．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）
A ．43
B ．45
C ．35
D ．34
4．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32
，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）
A ．（6048，0）
B ．（6054，0）
C ．（6048，2）
D ．（6054，2）
6．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．②③④ 7．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．8 8．已知()222
226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且3
9．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
A ．15cm
B ．12cm
C ．10cm
D ．20cm
10．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）
A ．1h
B ．0.75h
C ．1.2h 或0.75h
D ．1h 或0.75h
11．解一元二次方程 x 2﹣8x ﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）
A ．（x +4）2＝11
B ．（x ﹣4）2＝11
C ．（x +4）2＝21
D ．（x ﹣4）2＝21
12．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )
A ．1∶2
B ．1∶2
C ．3∶2
D ．1∶3
二、填空题
13．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．
14．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________
15．如图，矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，四边形OCED 为菱形，若将菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ，则线段ME 的长度可取的整数值为___________________．
16．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________．
17．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是3cm ，则圆锥侧面积是_________.
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．
19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．
20．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．
三、解答题
21．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．
（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．
（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？
22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .
（1）求证：DE 是O e 的切线.
（2）若3DE =
，30C ∠=︒，求»AD 的长. 23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ．
求证：FD=BE ．
24．已知关于x 的方程x 2+4x +3-a =0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
25．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A (0，1)、B (3，3)、C (1，3).
(1) 画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1
(2) 画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2，直接写出点C 2的坐标为______.
(3) 若△ABC 内一点P (m ，n )绕原点O 逆时针旋转90°的对应点为Q ，则Q 的坐标为______.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【详解】
∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则−
2b a =−2
b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x 1=5，x 2=−1.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.
2．D
解析：D
【解析】
分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
详解：A ．是随机事件，故A 不符合题意；
B ．是随机事件，故B 不符合题意；
C ．是随机事件，故C 不符合题意；
D ．是必然事件，故D 符合题意．
故选D ．
点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
3．D
解析：D
【解析】
过B 作⊙O 的直径BM ，连接AM ，
则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C ，
∴∠MBA=∠CBD ，
过O 作OE ⊥AB 于E ，
Rt △OEB 中，BE=12AB=4，OB=5， 由勾股定理，得：OE=3，
∴tan ∠MBA=OE BE =34
， 因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34
， 故选D ．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a
=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a
=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y ＞0，
即a-b+c ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-
2b a
=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a
-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2018的坐标．
【详解】
∵A （32
，0），B （0，2）， ∴OA ＝
32，OB ＝2，
∴Rt △AOB 中，AB 52=
， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52
＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），
∴B 4的横坐标为：2×
6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷
2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．
故选D ．
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a ＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a
＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），
∴a ﹣b+c=0，故②正确；
③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．
由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，
∴4a+2（a+c ）+c ＜0，
∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；
④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．
由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，
∴4a+2b+b ﹣a ＜0，
∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．
故选D ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据根的判别式的意义得到16﹣4m ＞0，然后解不等式得到m ＜4，然后对各选项进行判
断．
【详解】
根据题意得：△=16﹣4m ＞0，解得：m ＜4，所以m 可以取3，不能取5、6、8． 故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即
()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得
2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.
故选B.
点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．
【详解】
过O 作OE AB ⊥于E ，
90120OA OB cm AOB ︒∠Q ＝＝，＝，
30A B ︒∴∠∠＝＝，
1452
OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180
ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.
【详解】
解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234
x =.
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】
解：∵x 2-8x=5，
∴x 2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
故选D ．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，
在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，
∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，
∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，
则△PBP ′是等腰直角三角形，
∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，
∴△APP ′是直角三角形，
设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．
故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=CD 再判断出△ACD 是等腰直角三角形然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°由∠BAD=∠BAC+∠CAD 可得答案【详解】∵Rt△ABC 绕其直角顶点C
解析：70o
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得AC=CD ，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD 可得答案．
∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，
∴AC=CD ，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为：70°∘．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.
14．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-
【解析】
【分析】
由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -
=，由此举例得出答案即可． 【详解】
解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++
∵图象开口向下
∴0a <
∴可取1a =-
∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-
= ∴0b =
∵顶点的纵坐标可取任意实数
∴c 取任意实数
∴c 可取0
∴二次函数解析式可以为：2y x =-．
故答案是：2
y x =-
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．
15．345【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M 根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE 的长在旋转过程中求出OM 的取值范围进而得出ME 的取值范围进而求解【详解】如图连接OE 交CD 与点M∵矩形ABCD 对角线A
解析：3，4，5
【解析】
【分析】
连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解．
【详解】
如图，连接OE 交CD 与点M ，
∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，
∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===，
∴由勾股定理知，10BD =，
∴5OA OB OC OD ====，
∵四边形OCED 为菱形，
∴OE CD ⊥，132
DM CD ==， ∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，
∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3，
当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5，
∴35OM ≤≤，
∵8OE =，
∴35ME ≤≤，
∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5，
故答案为：3，4，5．
【点睛】
本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME 的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．
16．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为
解析：-1
【解析】
试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，
得，230.a -+=
解得： 1.a =-
故答案为 1.-
17．【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=【详解】根据圆锥的侧面积公式：底面半径是2cm 母线长是3cm 的圆锥侧面积为故答案是：
【点睛】本题考查圆锥的侧面积解题的关键是记住圆锥是侧面积公式 解析：26cm π
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．
【详解】
根据圆锥的侧面积公式：RL π
底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为 236ππ⨯⨯=
故答案是：26cm π
【点睛】
本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
18．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D 坐标为
（46）；当将点C 与点O 重合时点C 向下平移4个单位得到△
解析：（4，2）．
【解析】
【分析】
利用图象旋转和平移可以得到结果.
【详解】
解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′=OD =2，
∴点D 坐标为（4，6）；
当将点C 与点O 重合时，点C 向下平移4个单位，得到△OAD ′′，
∴点D 向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为（4，2）．
【点睛】
平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.
定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
19．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P 的位置4次一个循环
解析：（6053，2）．
【解析】
【分析】
根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.
【详解】
第一次P 1（5，2），第二次P 2（8，1），第三次P 3（10，1），第四次P 4（13，1），第五次P 5（17，2），…
发现点P 的位置4次一个循环，
∵2017÷
4=504余1， P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，
∴P 2017（6053，2），
故答案为（6053，2）．
考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
20．【解析】【分析】连接OB 根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA 根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB 是⊙O 的切线
∴∠OBA=90°∴OA==4当点P 在线段AO 上时AP 最小为2当点P 在
解析：26AP ≤≤
【解析】
【分析】
连接OB ，根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据勾股定理求出OA ，根据题意计算即可．
【详解】
连接OB ，
∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OBA=90°，
∴22AB OB +=4，
当点P 在线段AO 上时，AP 最小为2，
当点P 在线段AO 的延长线上时，AP 最大为6，
∴AP的长的取值范围是2≤AP≤6，
故答案为：2≤AP≤6．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题
21．（1）2
=-+-；（2）当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最
w x x
555014000
大利润为1120元．
【解析】
【分析】
（1）根据所得利润=每件利润×销售量，可以列出w与x之间的函数关系式并化简为二次函数一般形式；
（2）由市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个的销售任务可以确定x的取值范围，然后结合二次函数图像性质可以解答本题．
【详解】
解：（1）根据题意，得
()()()()2
w x x x x x x
=---=--=-+-
40100550403505555014000
⎡⎤
⎣⎦，
因此，利润与售价之间的函数关系式为2
=-+-
w x x
555014000
（2）∵销售量不得少于80个，
∴100-5（x-50）≥80，
∴x≤54，
∵x≥50，
∴50≤x≤54，
2
=-+-
w x x
555014000
()
2
x x
=---
511014000
()
222
=--+--
x x
5110555514000
2
=--+
x
5(55)1125
∵a=－5＜0，开口向下，对称轴为直线x=55，
∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，
∴当x=54时，
w最大值=()2
--+，
554551125=1120
因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．
22．（1）见解析；（2）»AD 23π=
【解析】
【分析】 （1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.
【详解】
（1）证明：如图，连结OD ．
∵OC OD =，AB AC =，
∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，
∴1B ∠=∠，
∴DE AB ⊥， ∴290B ∠+∠=︒，
∴2190∠+∠=︒，
∴90ODE ∠=︒，
∴DE 为O e 的切线．
（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．
∴90ADC ∠=︒．
∵AB AC =，
∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，
∴60AOD ∠=︒．
∵3DE =
∴3BD CD ==
∴2OC =，
∴60221803
AD ππ=
⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．详见解析
【解析】
【分析】
根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．
【详解】
证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．
∵AF=CE ，∴OF=OE ．
∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．
24．（1）a ＞-1;(2) x 1=-3,x 2=-1.
【解析】
试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a 的取值范围；（2）把a 代入后解方程即可.
试题解析：
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴16-4（3-a ）＞0,
∴a ＞-1 .
（2）由题意得：a =0 ,
方程为x 2+4x +3=0 ,
解得12-3,-1x x == .
点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
25．（1）作图见解析；（2）作图见解析，（﹣3，1）；（3）（﹣n ，m ）．
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到点C 2的坐标；
（3）利用（2）中对应点的规律写出Q 的坐标．
【详解】
（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；
（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，点C 2的坐标为（﹣3，1）；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．
故答案为：（﹣3，1），（﹣n，m）．
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．。