震荡函数积分方法论述

震荡函数积分
震荡函数作为一大类函数，在工程领域都有重要的应用，但由于这些函数的震荡性，使得对这类函数在某一区间上的数值积分积分变得异常困难。

其主要是积分的误差的控制问题，或是收敛性的讨论，例如对于一简单的震荡函数)1
sin()(x
x f =，在任一包含原点0附近的区间上的积分，经典的数值积分公式，例如梯形公式，辛普森法则，牛顿—科茨公式等，对它的收敛性难以保证，或是误差难以控制。

这类函数的特点是函数值在积分区间上急剧震荡，无法找到一个确且的点使得这类函数的函数值在这个值附近的波动都比较小，或是这个这个点太难找了，或是即就是找到了，最终的误差也难以把握，可能我的会得到一个不收敛的函数值。

因此，我们有必要对这类函数另行讨论，针对其中的一部分找到较好的方法。

在此我们仅限于对连续的震荡函数的进行讨论其数值积分。

直观上，函数f(x)在某一区间上震荡，就是说，函数没有断点，在这个区间上，函数多次回到y=b 这条直线上，又多次远离y=b 这条直线，但不一定函数回到这条直线上与y=b 任意相邻的两交点距离相同，同时也不一定每次函数远离y=b 的这条直线的最远点的纵坐标都相同，即我们可以看到所谓的震荡函数只是函数值在急剧波动，对函数本身的要求较广，如)sin(1)(x x x f =
，这一函数；或是类似于这类)sin()(2x
k
x f =，k 不等于0。

如此看来，任一连续的周期函数也是震荡函数，且任一震荡函数可以视为振幅和周期不断随位置变化的
周期函数，又由魏尔斯特拉斯第二逼近定理，我们知道任一区间上的周期函数可以由一个三角多项式函数进行逼近，由此我们在此只讨论三角性或是由其经过有限次的运算构成的函数，便可以解决一大类问题了。

由上述的讨论我们很自然地给出了震荡函数的定义如下； 1.1.1 定义：震荡函数是如下形式的一大类函数
]},[,,/)()))((sin({)(b a C h m g x h x m g x f ∈≡
其中我们称函数)(t g 为调频函数，)(x m 称为调频函数)(t g 的内含函数，)(x h 为f(x)伸缩系数，其中)(t g ，)(x h 均为连续函数，)('
x g 是一致有界函数，称此类震荡函数为基本的震荡函数,且以上的函数)(x h ，)(x m 都是在积分区间上除去至多有限个点n+1阶可导。

1.1.2 定义：),(0d c x ∈称为g （x ）的诡点，当且仅当，0x
满足
∞=→)(lim 0
x m x x
且],[,0,))((d c x M M x m g ∈∀>≤
明显以上定义的震荡函数f(x)的结构较为复杂，一下我们先以一大类较为简单的震荡函数为例来说明这类函数的求数值积分方法。

1.1.3定义：一下函数称为0型震荡函数
]},[)(h ,/)(])sin({[)(210d c C x b a x h k b ax k x f ∈++≡为常数，
即调频函数为线性函数，我们在此扔掉调频函数的0次项，因为这一项为非震荡项，且同时丢掉了线性函数的系数，这是因为由积分的线性性得到的。

对上述的0型震荡函数，我们再进一步做如下形式的化简： 由三角函数的和角公式，
)()sin()cos()()cos()sin()(0x h b ax x h b ax x f +=
又因为)cos()sin(x x 和仅仅相差2/π的平移变换，因此而）（和b cos )sin(b 均为常数，由积分的线性性上述
)(0x f 由可剔除为
],[),()sin()(*0d c x x h ax x f ∈=的最简单形式。

1.1.4计算
)(*
0x f 的数值积分 记：dx x h ax dx x f I d
c
d c
)()sin()(*0*0⎰⎰== （1）
通过多项式插值的积分公式，现在重多项式插值开始假设要求（1）中*
0I 的值，可以选取[c,d]
中的结点，n x x x x ,,,,,,210，对伸缩系数进行插值
)0()(0
n i x x x x x l j
i j n
i
j j i
≤≤--∏
=≠=
这些是基本的插值多项式，在节点上伸缩系数h 的次数最多是n 次的多项式是：
)()()(0
x l x h x p i i n
i =∑=
然后我们可以简单的得出以上（1）中的*0I 的积分值：
dx x l ax x h dx x p ax I i d
c
d
c
i n
i )()sin()()()sin(0
*
0⎰⎰=∑=≈
用这种方法我们可以得到一个用于任何伸缩系数h 的公式：
)(0
*0
i i n
i x f A I =∑≈
其中
⎰=
d
c
i
i dx x l ax A )()sin(
以上公式的误差为：
⎰⎰-=-∑==d
c
d
c
i i n
i dx x h ax dx x p ax I x f A r )()sin()()sin()(*
00
所以可得：
dx x h x p ax x h x p ax r d
c
d
c
⎰⎰-≤-=)]()()[sin()]()()[sin(
又因为：1)sin(≤ax ，以及由插值误差不超过：
dx x x h n dx x h x p r d
c n
i i x n d
c
⎰∏⎰
=+-+=-≤0
)
1()()()!1(1)()(ε 右上我们可得，对于任意的0型的震荡函数的任意伸缩系数以上的积分公式的误差是可控
的，并且随着n 的增大，误差趋于0，因此通过合适的选取差值区间的结点我们方法是可以的。

1.2.1 定义：符合以下形式的函数称为1型的震荡函数
}0,],,[/)(]))(sin({[)(1常数为非b a d c x x h b x m a x f ∈+≡
即为调频函数)(t g 为线性函数的基本震荡函数，同样h （x ）伸缩系数连续且有界的，m(x)为调频函数g(t)的内含函数。

在此，我们仍然可以对)(1x f 进行化简，)()())(sin()
(1x bh x h x m a x f +=，
利用线性，剔出震荡部分,在此，我们只研究震荡部分的积分，对于非震荡那个部分我们不予研究，所以剔出)(1x f 的震荡部分如下：
],[),())(sin()(*1d c x x h x m x f ∈=
1.2.2以下我们来给出在[c,d]内无诡点的)(*1x f 的数值积分公式：
记dx x h x m I d
c
)())(sin(*1⎰=
做可逆变换：
)(),(t n x x m t ==则，
则原)(*
1x f 的积分变为
),(),(,)())(()sin('d m f c m e dt t n t n h t f
e
==⎰
在此令：)](),([),())(()('
d m c m t t n t n h x H ∈=，)(x H 也是[e,f]上的连续函数,所
以是有界的，即
M t H t s M ≤>∃)(,.,0
我们可得到：⎰=f
e
dt t H t I )()sin(*1
以上的积分为伸缩系数为H （x)的0型震荡积分中a=1的情形，对于a 不等于1 时二者只相
差一个线性变化即可，即1型的震荡积分可以通过变量替换化为0型的震荡函数的积分，因此此类震荡函数的积分可以通过变量替换化为0型的震荡积分予以解决，积分公式同上。

1.2.3当1型的震荡积分当中的调频函数)(t g 含有诡点的时候，即存在一点，
∞=∈→)(lim ,.),,(0
0x m t s d c x x x ，对于此种情况我们将区间],[],[],[00d x x c d c 和分为,
这时)(*1x f 在区间[c,d]上的积分为： ⎰
⎰
⎰+=
d
c
x c
d
x dx x f dx x f dx x f 0
)()()(*1*1
*1
对于充分大的)10(,5
>m m ,我们有下式成立：
⎰
⎰
⎰
+
-
+
≈
d
m
x d c
m
x c
dx x f dx x f dx x f 1*11*1*100)()()(
以上两部分均不含诡点，因此可以对以上的令部分分别如1.2.2形式求解。

此时的震荡积分的误差估计不超过
m M dx x x H n dx x H x p r d
c n
i i x n d
c
4)()()!1(1)()(0
)
1(+-+=-≤⎰∏⎰
=+ε
如果对于求积分区间内有多个诡点时，可分别对每一个进行这样的处理。

1.3.1 对于调频函数为非线性时，我们采用逼近的办法。

首先将区间[c,d]均匀划分为n 等分，（在此我们作硬性要求)]/(10[8c d n -≥,[]表示取整）。

令n
c d -=∇，同时我们将基本震荡函数在区间[c,d]上的积分作如下表示：
令⎰=d
c
dx x f I )(
则：
∑
⎰-=∇
++∇
+=10
)1()()))((sin(n i i c i c n dx
x h x m g I
令∑⎰-=∇++∇
+∇++-=1
)1()())))21
(((sin(n i i c i c n n
dx x h i c m g I R
所以
dx x h i c m g x m g R n i i c i c n )(}))])21
(([sin())]([sin({10
)1(∑
⎰-=∇
++∇
+∇++-=
由微分中值定理得：
))]
)2
1
((sin())()[sin(())])21(([sin())]([sin('∇++-=∇++-i c m x m g i c m g x m g ς其中，))1(,())),)2
1
((sin()),((sin(∇++∇+∈∇++∈i c i c x i c m x m ς
在此我们取定有关系之和即i i ςςς,=。

将以上的等式带入可得：
⎰
∑∇
++∇
+-=∇++-=
)1(1
'
)()))2
1
((sin())(sin()(i c i c n i i
n dx x h i c m x m g R ς
令dx x h i c m x m r i c i c i
)()))2
1
((sin())(sin()1(⎰
∇
++∇
+∇++-=
这个积分为1型的震荡积分，因此这类积分的计算已经我们已经有计算公式可用，
且有上述1.2.1,1.2.2,1.2.3，我们所得到的1型的震荡函数的积分公式，可以计算出以上积分的积分值，我们可以通过计算上述i r
的数值，然后验证下述论证，并以此来控制误差，来达到我们想要的精度。

接下来我们要证明
n R 随着n 的增大渐趋于零。

∑-==
10
')(n i i
i n r g R ς
∇
≤∇++-2
1
))21(())((sin )()sin(i c x x m x m t 也连续，且的连续性得，和又因为M x d c x M x g <∈∀>∀)(g ),,(,0,)('
'对于即是一致有界的
ε
ε<∇++-≥∃>∀)))2
1
((sin())(sin(,,0i c m x m N n N 时，当所以，
所以又以上的论述我们可得：
∑
⎰∑∑-=∇++∇
+-=-=<≤=
10
)1(10
'10
')()()(n i i a i a n i i i n i i i n dx x h M r g r g R εςς
所以我们便得到了：
dx x h M dx x h M R n i i a i a n i i a i a n ∑⎰∑
⎰-=∇
++∇
+-=∇
++∇
+≤<10
)1(10
)1()()(εε
最终得到如下我们所期望的结果：
dx x h M R b
a
n ⎰<)(ε
可得到也是可积的，所以我们是可积的，所以因为)()(h x h x ：
)(,0∞→→n R n
令：
i n i n A i c m g T ∑-=∇++=1
))))21
(((sin(
其中
⎰∇
++∇
+=
)1()(i c i c i dx
x h A
至此我们可以用
n T L 来近似计算基本函数的数值积分。

误差限的计算如下所示：
确界
在整个积分区域上的上为))
(m (g ,'1
x M r M e n i i ∑-==
到此我们终于得到了基本震荡函数数值求积的公式。