江苏省南通市通州区2012年暑假补充练习高一数学单元检测十：函数(2)

高一数学暑假自主学习单元检测十
函数（2）
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分． 1．已知幂函数)(x f 的图象过)2
2
,
2(,则=)4(f ． 2．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0
,20
,1)(2x x x x x f ，则=-))1((f f ．
3．函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 ．
4．二次函数25y x ax =++在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 5．方程2
2
12log x x -=的解的个数为 ．
6．如图，已知奇函数)(x f 的定义域为{
}R x x x ∈≠,0，且0)2(=f 则不等式0)(>x f 的解 集为 ．
7．函数y =)124(log 2
2
1-+x x 的单调递增区间是
．
8．在区间（1.5，2），（0.3，1），（1，1.5）和（2，+∞
函数0.3()2log x
f x x -=-的零点所在区间是 ．
9．设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]
2
,a a y ∈满足方程
c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为 ．
10．已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)
()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有
成 立，则a 的取值范围是 ．
11．已知n m ,是方程05lg 3lg lg 15lg lg 2
=++x x 的两根，则=mn ．
12．对于幂函数2
1)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2
)
()(21x f x f +大小关系是 ．
13．已知函数]2,2[,)(2
-∈=x x x f 和]2,2[,1)(-∈-=x ax x g ，若对于任意的]2,2[1-∈x
总存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是 ． 14．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当
]0,2[-∈x
时，1)2
1()(-=x x f ，若在区间]6,2(-内关于x 的方程0log )()
2(=-+x a x f )1(>a 恰
有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
（1）化简：2
38ln 2lg 5lg 32log 9log e +--⨯； （2）化简：)3()()2(4
13
26
312
14
33
1----÷-⋅-b a b a b a ．
16．(本小题满分14分)
已知函数 ()21
21
x x f x -=+．
（1）求函数的值域；（2）判断并证明函数的单调性．
已知定义域在R 上的函数)(x f 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0>x 时，0)(>x f ． （1）求)0(f ；
（2）判断函数的奇偶性，并证明之； （3）解不等式0)12()4(2
<++-a f a f ．
18．(本小题满分16分)
已知函数)12lg()(2++=x ax x f ．
（1）若)(x f 的定义域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的值域； （2）若)(x f 的值域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的定义域．
2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。

据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空
中的最高点距水面2
103
米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必
须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这个抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调
整好入水姿势时距池边的水平距离为3
35
米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；（3）某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
20．(本小题满分16分)
已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数．（1）求k 的值；
（2）若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x b =
+没有交点，求b 的取值范围；
（3）设()
94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实
数a 的取值范围．
高一数学暑假自主学习单元检测十参考答案
一、填空题：
1．答案：2
1 2．答案：4-
3．答案：)1,2( 4．答案：4-≥a
5．答案：2个 解析：数形结合易得
6．答案：{
}
202><<-x x x 或 解析：由奇偶函数的性质可得
7．答案：)6,(--∞ 解析：可看作复合函数⎪⎩⎪
⎨⎧-+==12
4log 221x x u y u 先求定义域),2()6,(+∞--∞ 再求u 的减区间)2,(--∞，最后求他们的交集得到)6,(--∞ 8．答案：()0.3,1
9．答案：{2} 解析：由题意可得c
a xy =，所以y 是关于x 的减函数
2,3223==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒a c a
a a a c
c
10．答案：]4
1
,0( 解析：由0)
()(,2
12121<--≠x x x f x f x x 都有
)(x f ⇒为减函数，
⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<-<<⇒a
a a a 4031
00]41,0(
11．答案：
15
1
解析：对数和二次函数的复合，可以令t x =lg ，求出mn t t ⇒+21 12．答案：)2(
21x x f +>2
)
()(21x f x f + 解析：由凹凸函数的性质可得如下结论：凸函数有)2(
21x x f +>2)()(21x f x f +，而凹函数有)2
(2
1x x f +<
2
)
()(21x f x f +
13．答案：),2
5[]2
5
,(+∞--∞ 解析：当]2,2[1-∈x 时，有]4,0[)(1∈x f ，当]2,2[0-∈x 时，有]12,12[)(0---∈a a x g ，由题意可得⊂]4,0[]12,12[---a a ，则有
⎪⎩⎪⎨
⎧≥-≤--4
120
12a a 解得),25[]25,(+∞--∞ 14．答案：)2,4(3
1
解析：由)2()2(+=-x f x f 得到周期为4，结合)(x f 是偶函数，且当
]0,2[-∈x 时，1)2
1()(-=x x f ，可作出)(x f 的大致图像，记)
2(log )(+=x a
x g ，在区间 ]6,2(-内关于x 的方程0)2log()(=+-x x f )1(>a 恰有3个不同的实数根，
则函数)(x f 和
)(x g 在]6,2(-有3个不同的实数根，作出图像，则⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧<>>),6()6()2()2(1g f g f a )2,4(31
二、解答题： 15．解：（1） （2）
解：原式=
213lg 32lg 8lg 9lg +-⨯ 解：原式)3()2(43
3224
3331---+-÷-=b a b a 13
lg 2lg 42lg 33lg 2+⨯=
25
38
32
-=b a 138+=
3
11
= 16．解：（1）
121x y
y
+=
-, 又20x > ，11y <<，函数()f x 的值域为()1,1- （2）函数()f x 在R x ∈上为单调增函数
证明：1212)(+-=x x x f =2
121
x -+
在定义域中任取两个实数12,x x ,且12x x <
()
()()
121
2
12222()()2
121x x x x f x f x --=
++
1212,22x x x x <∴<，从而12()()f x f x -0<
所以函数()f x 在R x ∈上为单调增函数。

17．（1）解：取0==y x 则)0(2)0(f f =，∴0)0(=f ； （2）)(x f 是奇函数，证明：对任意R x ∈，取x y -= 则0)0()()()]([==-+=-+f x f x f x x f ，即)()(x f x f -=-
∴)(x f 是R 上的奇函数
（3）任意取R x x ∈21,，21x x <，则x x x ∆+=12（其中0>∆x ）
∴)()()()(112x f x f x x f x f ∆+=∆+=
∴0)()()(12>∆=-x f x f x f 即)()(12x f x f >，∴)(x f 是R 上的增函数
对于不等式0)12()4(2<++-a f a f ， ∴ )12(+a f )4()4(2
2a f a f -=--<
∴2412a a -<+即0322<-+a a ，∴13<<-a
18．解：（1）因为f (x )的定义域为R ，所以a x 2+2x +1>0对一切x ∈R 成立．
由此得⎩⎨⎧<-=∆>,
044,0a a 解得a >1. 又因为ax 2+2x +1=a (x +a 1)+1－a 1
>0，
所以f (x )=lg (a x 2+2x +1) ≥lg (1－a
1
)，所以实数a 的取值范围是(1,+ ∞) ,
f (x )的值域是⎪⎪
⎭
⎫⎢⎣⎡+∞⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-,11lg a ( 2 ) 因为f (x )的值域是R ，所以u =ax 2+2x +1的值域⊇(0, +∞).
当a =0时，u =2x +1的值域为R ⊇(0, +∞)；
当a ≠0时，u =ax 2+2x +1的值域⊇
(0, +∞)等价于⎪⎩⎪
⎨⎧
≤->.044
4,
0a
a a 解之得0<a ≤1. 所以实数a 的取值范围是[0.1] 当a =0时，由2x +1>0得x >－2
1
, f (x )的定义域是(－
2
1,+∞
)； 当0<a ≤1时，由a x 2+2x +1>0 解得a
a x a
a x --->-+-<1111或
f (x )的定义域是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞-,1111,a a a a .
19．解：(1) 由题设可设抛物线方程为2
()(0)y f x ax bx c a ==++<,且(0)0
(2)10f f =⎧⎨
=-⎩
∴0,52c b a ==--;
即2
2
252(52)()(52)()(0)24a a y f x ax a x a x a a a
++==-+=--< ∴2max (52)2[()](0)43a f x a a +=-=<且5202a a +>,得(625)(23)0a a ++=且5
2
a <- ∴2510,63a
b =-=,所以解析式为：22510
63
y x x =-+
(2) 当运动员在空中距池边的水平距离为335米时，即38
3255
x =-=时，
2825810816
()()565353
y f ==-⨯+⨯=-
所以此时运动员距水面距离为1614
10533
-=<，故此次跳水会出现失误
(3) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为(2)m m >,则(2)5f m -≥-.
∴22510
(2)(2)563
m m -
-+-≥-,即2524220m m -+≤∴2m <≤
米。

20．解：(1)因为()y f x =为偶函数，所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，
即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立. 于是9999912log (9
1)log (91)log log (91)9
x x
x
x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-.
(2)由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.
令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.
因为99911()log log 199x
x x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭
任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而1
2
1199x x >. 于是1
29911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即12()()g x g x >，
所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.因为1119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.
所以b 的取值范围是(],0.-∞ (3)由题意知方程143333
x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．
令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.
若a =1，则34t =-，不合, 舍去；若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.
由304a ∆=⇒=或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132a t =-⇒=；
方程(*)的两根异号()()110 1.
a a ⇔-⋅-<⇔>
综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞．。