2020学年苏教版数学必修二新素养同步练习：2.平面解析几何初步 章末综合检测(二)

章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．90°
D ．135°
详细分析：选A.因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A. 2．斜率为4的直线经过A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝7
2，b
＝0
B ．a ＝－7
2，b ＝－11
C ．a ＝7
2，b ＝－11
D ．a ＝－7
2
，b ＝11
详细分析：选C.由题意知k AB ＝k AC
＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧7－5
a －3
＝4，b －5－1－3
＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，
b ＝－11.
3．若a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则在同一直角坐标系中，直线y ＝ax ＋1与y ＝bx －1表示正确的是( )
详细分析：选B.由a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)知两直线的斜率互为相反数，所以排除C ，D ；又两直线在y 轴上的截距分别为1和－1，所以排除A ，故选B.
4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9
详细分析：选C.因为r ＝d ＝
|6＋4＋5|32
＋（－4）
2
＝3，
所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，故选C. 5．点P (4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( ) A ．(－6，8) B ．(－8，－6) C ．(6，8)
D ．(－6，－8)
详细分析：选D.设点P (4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为P 1(x 1，y 1)．由对称的概念，知PP 1的中点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋42，y 12在对称轴5x ＋4y ＋21＝0上，且PP 1与对称轴垂直，
则有⎩⎪⎨⎪⎧5·x 1
＋42＋4·y 1
2＋21＝0，y 1x 1
－4
＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6，
y 1
＝－8.
所以P 1(－6，－8)．故选D.
6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0
D ．x －2y ＋3＝0
详细分析：选D.将圆C 的一般方程化成标准方程为(x －2)2＋y 2＝9， 所以C (2，0)．
由题意知，过点P (1，2)的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直， 故有k l ·k PC ＝－1.
由k PC ＝2－01－2＝－2，得k l ＝1
2.
所以直线l 的方程为y －2＝1
2(x －1)，
即x －2y ＋3＝0.
7．从点(1，0)射出的光线经过直线y ＝x ＋1反射后的反射光线射到点(3，0)上，则该束光线经过的路程是( )
A ．2 5 B. 2 C. 5
D ．2
详细分析：选A.因为点(1，0)关于直线y ＝x ＋1对称的点的坐标是(－1，2)，所以该束
光线经过的路程即为点(－1，2)与点(3，0)之间的距离d ，由两点间的距离公式可得d ＝（－1－3）2＋（2－0）2＝2 5.故选A.
8．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－1
2x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值
范围是( )
A ．－6＜k ＜2
B ．－1
6＜k ＜0
C ．－16＜k ＜12
D ．k ＞12
详细分析：选C.两直线联立，求出交点坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4k ＋22k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又因为交点在第一象限，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧－4k ＋2
2k ＋1
＞0，6k ＋1
2k ＋1
＞0，
解得－16＜k ＜1
2
.
9．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标可能是( )
A ．(2，0)或(4，6)
B ．(2，0)或(6，4)
C ．(4，6)
D ．(0，2)
详细分析：选A.设B 点坐标为(x ，y )，
根据题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，
BC ＝AC ，
即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·
y －3
x －3＝－1，（x －3）2
＋（y －3）2
＝
（0－3）2＋（4－3）2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以B (2，0)或B (4，6)．
10．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( ) A.5－5 B ．5－ 5 C ．30－10 5
D ．无法确定
详细分析：选C.设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上一点．配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.
所以x 2＋y 2
＝
（x －0）2＋（y －0）2，
所以要使
x 2＋y 2最小，则线段PO 最短．如图，当点P ，O ，C 在同一直线上时，PO min
＝PC －OC ＝5－
12＋（－2）2＝5－5，即(x 2＋y 2)min ＝30－10 5.
11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－3
4，0 B.⎣
⎡⎦
⎤
－
33，
33 C ．[－3，3]
D.⎣⎡⎦
⎤－2
3，0 详细分析：选B.法一：可联立方程组利用弦长公式求MN ，再结合MN ≥23可得答案． 法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出MN ，再结合MN ≥23可得答案，故选B.
12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎫
－
33，
33 B.⎝⎛⎭⎫－
33，0∪⎝⎛⎭⎫
0，
33 C.⎣
⎡⎦
⎤
－
33，
33 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－
33∪⎝⎛⎭
⎫33，＋∞
详细分析：选B.因为y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2
与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0
与圆x 2
＋y 2
－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0
x 2＋y 2－2x ＝0
消去y ，得关于x
的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝
⎛⎭⎫－
33，0∪⎝
⎛⎭⎫0，
33. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________． 详细分析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由AC ＝BC ，得AC 2＝BC 2.
于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝14
9.故点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，149. 答案：⎝
⎛⎭⎫0，0，14
9 14．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．
详细分析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，
3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，
解得D ＝－2，E ＝－43
3，F ＝1.
圆心为⎝⎛⎭⎫
1，233，所求距离为
12＋⎝⎛⎭
⎫2332
＝213. 答案：
213
15．过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 详细分析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2
b －1
a －2
＝－1
|a －b －1|2＝r
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝3
b ＝0r ＝2
，
所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝2
16．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为________米．
详细分析：如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.
将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100， 当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，
可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， 所以水面宽度A ′B ′＝251米． 答案：251
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1，1)． (1)求直线l 的方程；
(2)求点A (3，4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)因为k ＝tan 135°＝－1， 所以l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
b －4a －3×（－1）＝－1，
a ＋32＋
b ＋42－2＝0，
解得a ＝－2，b ＝－1， 所以A ′的坐标为(－2，－1)．
18．(本小题满分12分)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (2，1)引圆的切线，求切线方程． 解：当切线斜率存在时，设切线的方程为y －1＝k (x －2)即：kx －y －2k ＋1＝0， 因为圆心(0，0)到切线的距离是2， 所以|－2k ＋1|1＋k 2＝2，解得k ＝－34
，
所以切线方程为－34x －y ＋3
2＋1＝0，
即3x ＋4y －10＝0.
当切线斜率不存在时，又x ＝2与圆也相切， 所以所求切线方程为3x ＋4y －10＝0和x ＝2.
19．(本小题满分12分)如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°) ＝－3
3
，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－
33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝1
2x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n
2，
m －0m －1＝n －0
－3n －1，解得m ＝
3，所以
A (3，3)．因为P (1，0)，所以k A
B ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即
直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若直线l ：x ＋2y －4＝0与圆C 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值． 解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故5－m ＞0，即m ＜5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线OM ，ON 的斜率显然都存在，由OM ⊥ON ，得y 1x 1·y 2
x 2
＝
－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，
得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.又因直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所以
Δ＝162－20(m ＋8)＞0，得
m ＜245，且y 1＋y 2＝16
5，y 1y 2＝m ＋85
，所以x 1x 2＝(4－2y 1)(4
－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝4m －165.代入①，得m ＝85，满足m ＜24
5
.
所以m ＝8
5
.
21．(本小题满分12分)已知圆C 经过两点P (－1，－3)，Q (2，6)，且圆心在直线x ＋2y －4＝0上，直线l 的方程为(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0.
(1)求圆C 的方程；
(2)证明：直线l 与圆C 恒相交； (3)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．
解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由条件，得 ⎩⎪⎨
⎪⎧1＋9－D －3E ＋F ＝0，4＋36＋2D ＋6E ＋F ＝0，
⎝⎛⎭⎫－D 2＋2×⎝⎛⎭⎫－E 2－4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，
所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. (2)证明：由(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0， 得k (x －3)－(x －2y －5)＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，
即直线l 过定点(3，－1)，
由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内， 所以直线l 与圆C 恒相交．
(3)圆心C (2，1)，半径为5，由题意知， 直线l 被圆C 截得的最短弦长为 2
52－[（2－3）2＋（1＋1）2]＝4 5.
22．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)设直线ax －y ＋5＝0(a >0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．
由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.
因为m 为整数，故m ＝1.
故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25.
(2)把直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0.
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0.
即12a 2－5a >0，由于a >0，解得a >5
12，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (3)设符合条件的实数a 存在，由于a ≠0，则直线l 的斜率为－1a ，l 的方程为y ＝－1
a (x
＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．
所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝3
4
.
由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞，故存在实数a ＝3
4，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。