2021-2022学年广东省中山市高二下期中数学模拟试卷及答案解析

2021-2022学年广东省中山市高二下期中数学模拟试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）函数y ＝f （x ）＝3x +1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．（5分）正方体的8个顶点可以确定的不同的有向线段的个数是（ ） A ．64
B ．56
C ．512
D ．16
3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ＞1）＝p ，则P （﹣1＜ξ＜0）等于（ ） A ．1
2p
B ．1﹣p
C ．1﹣2p
D ．1
2
−p
4．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点”，则概率P （A |B ）等于（ ） A ．4
9
B ．2
9
C ．1
2
D ．1
3
5．（5分）方程C 16x 2
−x =C 165x−5的解集是（ ）
A ．{1，3，5，7}
B ．{1，3，5}
C ．{3，5}
D ．{1，3}
6．（5分）外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连．问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ） A ．
120
B ．
1
40
C ．
1
60
D ．
1
90
7．（5分）若函数f （x ）=1
3
x 3+x 2−23
在区间（a ，a +5）内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣5，0）
B ．（﹣5，0）
C ．[﹣3，0）
D ．（﹣3，0）
8．（5分）已知曲线C 1：y 2＝tx （y ＞0，t ＞0）在点M （4t
，2）处的切线与曲线C 2：y ＝e x +1+1也相切，则t 的值为（ ） A ．4e 2
B ．4e
C ．
e 24
D ．e
4
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A ．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B ．样本中支出不少于40元的人数有132
C ．n 的值为200
D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元
（多选）10．（5分）给出定义：若函数f （x ）在D 上可导，即f ′（x ）存在，且导函数f ′（x ）在D 上也可导，则称f （x ）在D 上存在二阶导函数，记f ″（x ）＝（f ′（x ））′，若f ″（x ）＜0在D 上恒成立，则称f （x ）在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π
2
)上是凸函数的是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f （x ）＝lnx ﹣2x C ．f （x ）＝﹣x 3+2x ﹣1
D ．f （x ）＝xe x
（多选）11．（5分）已知（x ﹣1）n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，则（ ） A ．n ＝7
B ．所有项的系数和为0
C ．偶数项的系数之和为64
D ．展开式的中间项为﹣35x 3和35x 4
（多选）12．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1，以下命题正确的是（ ） A ．f （x ）的解析式为f （x ）＝x 3﹣4x ，x ∈[﹣2，2] B ．f （x ）的极值点有且仅有一个
C ．f （x ）的极大值为
16√3
9
D．f（x）的最大值与最小值之和等于零
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p ＝．
14．（5分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c＝．
15．（5分）在（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）n+2的展开式中，含有x2项的系数是．16．（5分）已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．
四、解答题（本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数y＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在点（1，0）处的切线方程．
18．（12分）已知(√x+
1
2√x
4
)8．
（1）求展开式中含x的项；（2）求展开式中所有的有理项．
19．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线（O ′在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1（米）与D 到OO ′的距离a （米）之间满足关系式h 1=1
40a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2（米）与F 到OO ′的距离b （米）之间满足关系式h 2=−1
800b 3+6b ．已知点B 到OO ′的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价3
2k （万元）（k ＞0），
问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
20．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2．
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
21．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
22．（12分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
2021-2022学年广东省中山市高二下期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）函数y ＝f （x ）＝3x +1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：∵f （x ）＝3x +1， ∴f ′（x ）＝3，
即当x ＝2时，f ′（2）＝3，
即在点x ＝2处的瞬时变化率估计是3， 故选：B ．
2．（5分）正方体的8个顶点可以确定的不同的有向线段的个数是（ ） A ．64
B ．56
C ．512
D ．16
【解答】解：根据题意，有向线段的起点可以为正方体的8个顶点中任意一个，有8种情况，
其终点有7种情况，则可以确定有向线段的个数A 82＝56个， 故选：B ．
3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ＞1）＝p ，则P （﹣1＜ξ＜0）等于（ ） A ．1
2p
B ．1﹣p
C ．1﹣2p
D ．1
2
−p
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴正态曲线关于ξ＝0对称， ∵P （ξ＞1）＝p ， ∴P （ξ＜﹣1）＝p ， ∴P （﹣1＜ξ＜0）=1
2
−p ． 故选：D ．
4．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点”，则概率P （A |B ）等于（ ）
A ．4
9
B ．2
9
C ．1
2
D ．1
3
【解答】解：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为2×2＝4
所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2＝12 因为三个人去的景点不同的可能性为3×2×1＝6， 所以P （A |B ）=612=1
2． 故选：C ．
5．（5分）方程C 16x 2
−x =C 165x−5
的解集是（ ）
A ．{1，3，5，7}
B ．{1，3，5}
C ．{3，5}
D ．{1，3}
【解答】解：∵方程C 16x 2
−x =C 165x−5
，
∴x 2﹣x ＝5x ﹣5①或（x 2﹣x ）+（5x ﹣5）＝16②， 解①得x ＝1或x ＝5（不合题意，舍去）， 解②得x ＝3或x ＝﹣7（不合题意，舍去）； ∴该方程的解集是{1，3}． 故选：D ．
6．（5分）外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连．问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ） A ．
120
B ．
1
40
C ．
1
60
D ．
1
90
【解答】解：外语系举行一次英语演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，
采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，基本事件总数n =A 1010，
一班有3位同学演讲序号相连，而二班的2位同学的演讲序号不相连的基本事件个数m =
A 33A 66A 72，
一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），
而二班的2位同学没有被排在一起的概率为P =m n =A 33A 66A 72
A
1010=120．
故选：A ．
7．（5分）若函数f （x ）=13x 3+x 2−2
3在区间（a ，a +5）内存在最小值，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[﹣5，0）
B ．（﹣5，0）
C ．[﹣3，0）
D ．（﹣3，0）
【解答】解：由题意，f ′（x ）＝x 2+2x ＝x （x +2）， 故f （x ）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数， 在（﹣2，0）上是减函数， 作其图象如右图， 令1
3x 3+x 2−2
3
=−23
得，
x ＝0或x ＝﹣3； 则结合图象可知， {−3≤a ＜0a +5＞0
； 解得，a ∈[﹣3，0）； 故选：C ．
8．（5分）已知曲线C 1：y 2＝tx （y ＞0，t ＞0）在点M （4
t ，2）处的切线与曲线C 2：y ＝e x +1+1
也相切，则t 的值为（ ） A ．4e 2
B ．4e
C ．
e 24
D ．e
4
【解答】解：曲线C 1：y 2＝tx （y ＞0，t ＞0），即有y =√tx ，
y ′=√t •
2√x ，
在点M （4t
，2）处的切线斜率为√t •2√
4t
=t
4
，
可得切线方程为y ﹣2=t 4
（x −4t
），即y =t
4
x +1， 设切点为（m ，n ），曲线C 2：y ＝e x +1+1， y ′＝e x +1，e m +1=t
4，
∴m ＝ln t
4
−1，n ＝m •t 4
+1，n ＝e m +1+1，
可得（ln t 4−1）•t
4+1=e ln t
4+1，
即有（ln t 4
−1）•t 4
=t 4
，可得t
4
=e 2，
即有t ＝4e 2． 故选：A ．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A ．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B ．样本中支出不少于40元的人数有132
C ．n 的值为200
D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元 【解答】解：由频率分布直方图得：
在A 中，样本中支出在[50，60）元的频率为：1
﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，故A
错误；
在B 中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03
×60+60=132，故B 正确；
在C 中，n =
60
0.03
=200，故n 的值为200，故C 正确； D ．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D 错误． 故选：BC ．
（多选）10．（5分）给出定义：若函数f （x ）在D 上可导，即f ′（x ）存在，且导函数f ′（x ）在D 上也可导，则称f （x ）在D 上存在二阶导函数，记f ″（x ）＝（f ′（x ））′，若f ″（x ）＜0在D 上恒成立，则称f （x ）在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π
2
)上是凸函数的是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f （x ）＝lnx ﹣2x C ．f （x ）＝﹣x 3+2x ﹣1
D ．f （x ）＝xe x
【解答】解：对于A ：f ′（x ）＝cos x ﹣sin x ，f ″（x ）＝﹣sin x ﹣cos x ， ∵x ∈(0，π2)，∴f ″（x ）＜0，f （x ）在(0，π
2)上是凸函数， 故A 正确；
对于B ：f ′（x ）=1
x −2，f ″（x ）=−1
x 2
＜0， 故f （x ）在(0，π
2)上是凸函数， 故B 正确；
对于C ：f ′（x ）＝﹣3x 2+2，f ″（x ）＝﹣6x ＜0， 故f （x ）在(0，π
2)上是凸函数， 故C 正确；
对于D ：f ′（x ）＝（x +1）e x ，f ″（x ）＝（x +2）e x ＞0， 故f （x ）在(0，π2
)上不是凸函数， 故D 错误； 故选：ABC ．
（多选）11．（5分）已知（x ﹣1）n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，则（ ） A ．n ＝7
B ．所有项的系数和为0
C ．偶数项的系数之和为64
D ．展开式的中间项为﹣35x 3和35x 4
【解答】解：∵（x ﹣1）n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为64＝2n ﹣
1，∴n ＝7，故
A 正确；
令x ＝1，可得所有项的系数和为0，故B 正确；
令f （x ）＝（x ﹣1）7=C 70•x 7−C 71•x 6+C 72•x 5−C 73•x 4+C 74•x 3−C 75•x 2+C 76•x −C 77
， 可得偶数项的系数之和为−C 71−C 73−C 75−C 77=−64，奇数项的系数之和为 C 70+C 72+C 74+C 76=64，
可得C 错误；
故中间项为T 4=−C 73•x 4＝﹣35x 4，T 5=C 74•x 3＝35x 3，故D 错误，
故选：AB ．
（多选）12．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1，以下命题正确的是（ ） A ．f （x ）的解析式为f （x ）＝x 3﹣4x ，x ∈[﹣2，2] B ．f （x ）的极值点有且仅有一个
C ．f （x ）的极大值为
16√3
9
D ．f （x ）的最大值与最小值之和等于零
【解答】解：∵函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2，2]表示的曲线过原点， ∴c ＝0
f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，
∵在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1， ∴f ′（1）＝﹣1，f ′（﹣1）＝﹣1， 即3+2a +b ＝﹣1，3﹣2a +b ＝﹣1 解得a ＝0，b ＝﹣4
∴（x ）＝x 3﹣4x ，x ∈[﹣2，2]，A 正确． f ′（x ）＝3x 2﹣4，令f ′（x ）＝0，得，x ＝±2√3
3
， ∴f （x ）的极值点有两个，B 错误；
x ∈（﹣2，−2√3
3）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，
x ∈（−2√3
3，2√3
3）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，
∴f （x ）的极大值为f （−2√3
3）=16√3
9
，故C 正确； ∵f （﹣2）＝0，f （−2√33）=16√39，f （2√33
）=−16√3
9，f （2）＝0 ∴f （x ）的最大值为16√39
，最小值为−16√3
9，最大值与最小值之和等于零．故D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p ＝
13
．
【解答】解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20， 可得np ＝30，npq ＝20，q =2
3，则p =1
3， 故答案为：1
3．
14．（5分）已知函数f （x ）＝x （x ﹣c ）2在x ＝2处有极大值，则c ＝ 6 ．
【解答】解：∵f ′（x ）＝（x ﹣c ）2+2x （x ﹣c ）＝3x 2﹣4cx +c 2，且函数f （x ）＝x （x ﹣c ）2在x ＝2处有极大值，
∴f ′（2）＝0，即c 2﹣8c +12＝0，解得c ＝6或2．
经检验c ＝2时，函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去． 故c ＝6． 故答案为6．
15．（5分）在（1+x ）3+（1+x ）4+⋯+（1+x ）n +2的展开式中，含有x 2
项的系数是 n(n 2+6n+11)
6
．
【解答】解：在（1+x ）3+（1+x ）4+⋯+（1+x ）n +2的展开式中，
含有x 2项的系数是C 32+C 42+•+C n+22=C n+33−C 33=
(n+3)(n+2)(n+1)
3×2×1
−1
=n(n 2
+6n+11)6
，
故答案为：
n(n 2+6n+11)
6
．
16．（5分）已知函数f （x ）＝2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是 −3√3
2 ． 【解答】解：由题意可得T ＝2π是f （x ）＝2sin x +sin2x 的一个周期， 故只需考虑f （x ）＝2sin x +sin2x 在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x
＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），
令f′（x）＝0可解得cos x=1
2或cos x＝﹣1，
可得此时x=π
3，π或
5π
3
；
∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x=π
3，π或
5π
3
和边界点x＝0中取到，
计算可得f（π
3
）=
3√3
2，f（π）＝0，f（
5π
3
）=−
3√3
2，f（0）＝0，
∴函数的最小值为−3√3 2，
故答案为：−3√3 2．
四、解答题（本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数y＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在点（1，0）处的切线方程．
【解答】解：（1）y′＝x′lnx+x（lnx）′＝lnx+1；
（2）这个函数的图像在点（1，0）处的切线的斜率为y′|x＝1＝ln1+1＝1，
∴这个函数的图像在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1）即x﹣y﹣1＝0．
18．（12分）已知(√x+
1
2√x
4
)8．
（1）求展开式中含x的项；（2）求展开式中所有的有理项．
【解答】解：（1）∵二项式(√x+
1
2√x
4
)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r•(12)r•x4−
3r
4，
令4−3r
4
=1，求得r＝4，
所以含x的项为T5=C84×2−4⋅x=35
8
x．
（2）令4−3r
4
∈k，k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0或k＝4或k＝8，
∴展开式中的有理项分别为T1=x4，T5=35
8
x，T9=1
256x2
．
19．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO
上任一点D 到MN 的距离h 1
（米）与D 到OO ′的距离a （米）之间满足关系式h 1=140
a 2
；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2（米）与F 到OO ′的距离b （米）之间满足关系式h 2=−
1800
b 3
+6b ．已知点B 到OO ′的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价3
2k （万元）（k ＞0），
问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
【解答】解：（1）h 2=−1
800b 3+6b ， 点B 到OO ′的距离为40米，可令b ＝40， 可得h 2=−1
800×403+6×40＝160， 即为|O 'O |＝160，由题意可设h 1＝160， 由
140
a 2
＝160，解得a ＝80， 则|AB |＝80+40＝120米；
（2）可设O ′E ＝x ，则CO '＝80﹣x ，由{
0＜x ＜40
0＜80−x ＜80
，可得0＜x ＜40，
总造价为y =3
2k [160−1
40（80﹣x ）2]+k [160﹣（6x −1
800x 3）] =k
800（x 3﹣30x 2+160×800），
y ′=k 800（3x 2﹣60x ）=3k
800x （x ﹣20），由k ＞0，当0＜x ＜20时，y ′＜0，函数y 递减； 当20＜x ＜40时，y ′＞0，函数y 递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即总造价最低．
答：（1）桥|AB |长为120米；（2）O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 20．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2．
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
【解答】解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P ＝（1
2）4=1
16．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， 比赛四场结束，共有三种情况， 甲连胜四场的概率为
116
，乙连胜四场比赛的概率为
1
16
，
丙上场后连胜三场的概率为18
，
∴需要进行第五场比赛的概率为：P ＝1−
116−116−18=3
4
． （3）设A 为甲输，B 为乙输，C 为丙输，则丙最终获胜的概率为：
P ＝P （ABAB ）+P （BABA ）+P （ABACB ）+P （BABCA ）+P （ABCAB ）+P （ABCBA ）+P （BACAB ）+P （BACBA ）+P （ACABB ）+P （ACBAB ）+P （BCABA ）+P （BCBAA ） ＝（1
2
）4×2+（1
2
）5×10
=7
16．
21．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X＝16）＝（20
100）2=
1
25，
P（X＝17）=20
100
×40
100
×2=425，
P（X＝18）＝（40
100）2+2（
20
100
）2=
6
25，
P（X＝19）=2×40
100
×20
100
+2×(20
100
)2=625，
P（X＝20）=(20
100
)2+2×40
100
×20
100
=525=15，
P（X＝21）=2×(20
100
)2=225，
P（X＝22）=(20
100
)2=125，
∴X的分布列为：
X16171819202122
P1
254
25
6
25
6
25
1
5
2
25
1
25
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）
=125+425+625=1125．
P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
=125+425+625+625=1725．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X ＝19）
=125+425+625+625=1725．
买19个所需费用期望：
EX1＝200×19×17
25
+（200×19+500）×525+（200×19+500×2）×225+（200×19+500
×3）×1
25
=4040，
买20个所需费用期望：
EX2=200×20×22
25
+（200×20+500）×225+（200×20+2×500）×125=4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，
当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，
∴买19个更合适．
22．（12分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，∵e2x＞0，e x＞0
∴当a≤0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在R上单调递减，
当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x+1
2）（e
x−1
a），
令f′（x）＝0，解得：x＝ln 1 a ，
当f′（x）＞0，解得：x＞ln 1 a ，
当f′（x）＜0，解得：x＜ln 1 a ，
∴x∈（﹣∞，ln 1
a ）时，f（x）单调递减，x∈（ln
1
a
，+∞）单调递增；
综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln 1
a ）是减函数，在（ln
1
a
，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，
当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，
∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，
当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，
∴当x→∞，f（x）→+∞，
∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，
由f（x）在（﹣∞，ln 1
a ）是减函数，在（ln
1
a
，+∞）是增函数，
∴f（x）min＝f（ln 1
a ）＝a×（
1
a2
）+（a﹣2）×
1
a
−ln
1
a
＜0，
∴1−1
a
−ln
1
a
＜0，即ln
1
a
+
1
a
−1＞0，
设t=1
a，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0），
求导g′（t）=1
t
+1，由g（1）＝0，
∴t=1
a＞1，解得：0＜a＜1，
∴a的取值范围（0，1）．
方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，∵e2x＞0，e x＞0
∴当a≤0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在R上单调递减，
当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x+1
2）（e
x−1
a），
令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，
∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；
综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）
＝1−1
a
−ln
1
a
，
当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点，
当a∈（1，+∞）时，由1−1
a
−ln
1
a
＞0，即f（﹣lna）＞0，
故f（x）没有零点，
当a∈（0，1）时，1−1
a
−ln
1
a
＜0，f（﹣lna）＜0，
由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，
假设存在正整数n0，满足n0＞ln（3
a
−1），则f（n0）=e n0（a e n0+a﹣2）﹣n0＞
e n0−n0＞2n0−n0＞0，
由ln（3
a
−1）＞﹣lna，
因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．。