河南省武陟一中2013届高三一轮复习月考检测(四)理科数学试题

2013届高三第一轮复习质量检测标准试卷（四）
理
科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

考查范围：
导数、数列、算法、空间几何体、平行与垂直、面积与体积{选考：选修4-1、选修
4-5}（部分知识交汇考查）难度系数：中等
试卷模式：
依照2012年新课标高考试卷模式，总分：150分；建议时间：120分钟 第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．下列结论正确的是
A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B ．从圆柱上，下底边圆周上各取一点的连线必是圆柱的母线
C ．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是六棱锥
D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图，则
A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点
3．如图(单位：cm)将图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何
体的体积为(单位：cm 3)
A ．40π
B ．140π3
C ．50π
D ．160π3
4．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定
A ．与a ，b 都相交
B ．只能与a ，b 中的一条相交
C ．至少与a ，b 中的一条相交
D ．与a ，b 都平行
5．成等比数列的三个数a ＋8，a ＋2，a －2分别为等差数列的第1、4、6项，则 这个等差数列前n 项和的最大值为
A ．120
B ．90
C ．80
D ．60
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是
7．如右图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是
A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数
C．按从小到大排列D．按从大到小排列
8．设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a
⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
9．将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△
GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右
)为
10．已知函数f(x)＝1
2x
3－x2－
7
2x，则f(－a
2)与f(－1)的大小关系为
A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2)<f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1) D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
11．函数f(x)＝1
3ax
3＋
1
2ax
2－2ax＋2a＋1的图像经过四个象限，则实数a的取值
范围是
A．－6
5<a<
3
16B．－
8
5<a<－
3
16C．－
8
5<a<－
1
16D．－
6
5<a<－
3
16
12．设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截
球的两截面圆的半径分别为1和3，二面角α－l－β的平面角为150°，则球
O的表面积为
A．4π B．16πC．28π D．112π
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第23题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．观察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其 构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．
① ⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m
⇒l ∥α； ② ⎭⎬⎫l ∥m m ∥α
⇒l ∥α；③ ⎭
⎬⎫l ⊥βα⊥β
⇒l ∥α． 14．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真 命题的序号是________．
①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；
②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；
③已知α，β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；
④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．
15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面 积是________．
16．已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数
列，满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2011的值等于________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像在点P (1，f (1))处的切线为3x ＋y －3＝0． （I ）求函数f (x )的解析式及单调区间；
（II ）求函数在区间[0，t ](t >0)上的最值．
18．（本小题满分12分）
如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
（I ）求证：MN ∥平面P AD ；
（II ）若MN ＝BC ＝4，P A ＝43，求异面直线P A 与MN 所成的角的大小．（注意：本题禁止用空间向量法证明！）
19．（本小题满分12分）
在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )．
（I ）求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前
n
项和T n ．
20．（本小题满分12分）
如下图，在直角梯形中(图中数字表示线段的长度)，CD ⊥AF ，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图K37－12(2)．
（I ）求证：BE ∥平面ADF （本小问禁止用空间向量解答）；
（II ）求三棱锥F －
21．（本小题满分12分）
设函数f (x )＝x －1x －a ln x (a ∈R )．
（I ）讨论f (x )的单调性；
（II ）若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一道．．．．
作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC 直线MN 与⊙O 于点C ，弦BD//MN ，AC 与BD 相交于点E 。

（I ）求证：ABE ∆≌△ACD ；
（II ）若AB=6，BC=4，求线段AE 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数2
222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（a ，b ，c 为实数）。

（I ）求()f x 的最小值m （用a ，b ，c 表示）
（II ）若39a b c +-=，求（1）中m 的最小值．
2013届高三一轮复习质量检测标准试卷（四）
理科数学参考答案
1．答案 D 解析 A 错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
2．B [解析] y ′＝－sin x －x －－x －x 2＝cos x －sin x ＋x sin x
－x 2.
3．B [解析] 由图中数据，根据圆台和球的体积公式得V 圆台＝43×[π×22＋(π×22)×(π×52)
＋π×52]＝52π，V 半球＝43π×23×12＝163π.所以，旋转体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403
π(cm 3)．4．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．5．B [解析] 由a ＋8，a ＋2，a －2成等比数列，得(a ＋2)2＝(a ＋8)(a －2)，解得a ＝10，设等差数列为{a n }，公差为d ，则a 1＝18，a 4＝12，a 6＝8，∴2d ＝a 6－a 4＝－4，d ＝－2，则这个等差数列前n 项和为S n ＝18n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋19n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1922＋
1924，∴当n ＝10或n ＝9时，S n 有最大值90.
6．答案 A 解析 由作法规则可知O ′A ′＝2，在原图形中OA ＝22，O ′C ′∥A ′B ′，OC ∥AB ，选A.
7．B [解析] 两个选择框都是挑选较小的值．
8．B [解析] 当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.
9．A [解析] 截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B ，C ，F 方向上的．
10．A 解析 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x
＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，
0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．
11．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图像经过四个象限，则
f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316
.
12．[解析] 过两截面圆心和球心作球的截面，如图，设OO 1＝h 1，OO 2＝h 2，则
h 21＋1＝h 22＋3，根据余弦定理h 21＋h 22－2h 1h 2cos30°
＝1＋3－2×1×3cos150°＝7，消掉h 1得方程2h 22－5＝3h 2h 22＋2，两端平方整理得h 42－26h 22＋25＝0，解得
h 22＝1(舍去)，或h 22＝25，即h 2＝5，所以球的半径r ＝3＋25＝28，故球的表
面积是4πr 2＝112π.
13．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直
线平行，故此条件为：l ⊄α.
14.② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故为假命题．
15．24π【解析】 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该
正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝12
22＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.
16.4 003 [解析] 设x 8＝m ，则x 9＝m ＋2，x 10＝m ＋4，x 11＝m ＋6，且x 8＋x 11＝x 9＋x 10， ∴f (m )＋f (m ＋2)＋f (m ＋4)＋f (m ＋6)＝0，且f (m )<f (m ＋2)<f (m ＋4)<f (m ＋6)，
∴f (m )<0，f (m ＋6)>0.若m 与m ＋6关于原点不对称，则m ＋2与m ＋4也关于原点不对称， ∵f (x )是奇函数，即f (－x )＝－f (x )，∴f (m )＋f (m ＋2)＋f (m ＋4)＋f (m ＋6)≠0，矛盾，∴m 与m ＋6关于原点对称，则m ＋2与m ＋4关于原点对称，则m ＝－3，x 8＝－3，x 2011＝x 8＋(2011－8)×2＝4003.
17．[解答] (1)由P 点在切线上得f (1)＝0，即点P (1,0)，又P (1,0)在y ＝f (x )上，得a ＋b ＝－1，
又f ′(1)＝－3⇒2a ＝－6，所以a ＝－3，b ＝2.故f (x )＝x 3－3x 2＋2.f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )>0，
解得x >2或x <0，∴f (x )的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．
(2)当0<t ≤2时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )max ＝f (0)＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－2，当t >3时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2，f (x )min ＝f (2)＝－2.
18．(1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，NH .∴NH ∥DC ，NH ＝12
DC ，又∵M 为AB 中点，
∴AM ∥CD ，AM ＝12
CD ，∴NH ∥AM ，NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH ，又∵MN ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .
(2)连接AC 并取其中点为O ，连接OM ，ON ，则OM 平行且等于12
BC ，ON 平行且等于12
P A ，所以∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，P A ＝43得，OM ＝2，ON ＝23，所以∠ONM ＝30°，即异面直线P A 与MN 成30°的角．
19．[解答] (1)∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.
∴a 1＝S 1＝2，d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由已知，∵λ＝1，∴1S n
＋b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)
＝2n －1－⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝(1＋21＋22＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－2n 1－2－⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝(2n －1)－1＋1n ＋1＝2n －2n ＋1n ＋1
. 20. (1)证法一：取DF 中点G ，连接AG (如图)，DG ＝1
2
DF ， ∵CE ＝12
DF ，CE ∥DF ，∴EG ∥CD 且EG ＝CD .又∵AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴EG ∥AB 且EG ＝AB ，∴四边形ABEG 为平行四边形，∴BE ∥AG .∵BE ⊄平面ADF ，AG ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF .
证法二：由图(1)可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变，∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF ，同理CE ∥平面ADF ，∵BC ∩CE ＝C ，BC ，CE ⊂
平面BCE ，∴平面BCE ∥平面ADF .∵BE ⊂平面BCE ，∴BE ∥平面ADF .
(2)方法一：∵V F －BCE ＝V B －CEF ，由图(1)可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF ，由图(1)可知DC ＝CE ＝1，
S △CEF ＝12CE ·DC ＝12.∴V F －BCE ＝V B －CEF ＝13·BC ·S △CEF ＝16
. 方法二：由图(1)可知CD ⊥BC ，CD ⊥CE ，∵BC ∩CE ＝C ，∴CD ⊥平面BCE .∵DF ⊥DC ，点F 到平面BCE 的距离等于点D 到平面BCE 的距离为1，由图(1)可知BC ＝CE ＝1，S △BCE ＝12BC ·CE ＝12，∴V F －BCE ＝13·CD ·S △BCE ＝16
. 方法三：过E 作EH ⊥FC ，垂足为H ，由图(1)可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ， 平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF ，∵EH ⊂平面DCEF ，
∴BC ⊥EH ，∴EH ⊥平面BCF .由BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5，S △BCF ＝12BC ·CF ＝52
，在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15
，∴V F －BCE ＝V E －BCF ＝13EH ·S △BCF ＝16. 21．(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x
2，令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递
增．③当a >2时，Δ>0，g (x )的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42
，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，
在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2
－a (ln x 1－ln x 2)，所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2，又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2
， 若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2
＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)(*)， 再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2
－2ln x 2>1－11
－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .
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