浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考 数学答案
2024届浙江省七彩阳光联盟高三下学期开学考数学试题及答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,M N 是I 的非空子集，M N M ∪=，则（ ） A.M N ⊆ B.N M ⊆ C.I N M ⊆ D.I M N ⊆2.若()1i 1z −=（i 是复数单位），则z =（ ）D.23.6611x x x x ++−的展开式中含2x 项的系数为（ ）A.-30B.0C.15D.304.设,a b 为正实数，则“a b >”是“22log ab >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从()2105,15X N ∼，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ） A.23 B.46 C.159 D.317附：若()2,N ξµσ∼，则()0.6827,(22)0.9545P P µσξµσµσξµσ−<<+=−<<+=. 6.已知,a b 是异面直线，P 是空间任意一点，存在过P 的平面（ ） A.与,a b 都相交 B.与,a b 都平行 C.与,a b 都垂直 D.与a 平行，与b 垂直7.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB 的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A.1 B.34 C.12 D.388.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1221,1,2,N n n n n S a a a a a n n ++===+∈，则下列结论不正确的是（ ）A.1n n a a +是递增数列 B.{}221n n a a +−是递增数列 C.101023S < D.13n na a +< 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,2,0a b ==−，则下列结论正确的是（ ）A.||||a b =B.a 与b 的夹角为3π4C.()a b a +⊥D.b 在a 上的投影向量是()1,1−−10.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω=−>图象关于点π,04中心对称，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期3π B.π12f=C.()f x 的图象关于直线πx =对称D.()f x 的图象向左平移π4个单位长度后关于y 轴对称 11.已知函数()(),f x g x 定义域为R ，且()()()()()()()()()(),f x g y f y g x f x y g x g y f x f y g x y −=−−=−，()00g ≠，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 为奇函数 B.()g x 为偶函数C.若()()111f g +=，则()()1001001f g −=D.若()()111f g −=，则()()1001001f g += 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数()()π2cos sin2R 4f x x x x=−+∈的值域为__________. 14.已知正四面体ABCD 的边长为1,P 是空间一点，若222253PA PB PC PD +++=，则PA 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S . 16.（15分）如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAC ⊥平面,ABCD PAC 为等边三角形，AD ∥BC ，,22,BC CD BC CD AD M ⊥==是棱PA 的中点.（1）证明：PB MC ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元. （1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，双曲线222:1(0).2x C y x P −=>是1C 的右顶点，过P 作直线1l 分别交1C 和2C 于点,A C ，过P 作直线2l 分别交1C 和2C 于点,B D ，设12,l l 的斜率分别为12,k k .（1）若直线AB 过椭圆1C 的右焦点，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=−，求四边形ABCD 面积的最小值. 19.（17分）设实数0a >，已知函数()()2ln xf x e ax a ax =−+. （1）当1a =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDACADC8.提示：由题意易得0n a >，由221n n n a a a n ++=+得21121112n n n n n n n n a a a a na a a a a a ++++++>≥，所以A 正确；且1121212n n n n n n a a a a a a a −−−−=⋅> ，所以91010122211023S >+++=−= ，故C 错误；由上面知{}n a 也是递增数列，所以2222122n n n n n a a an a a ++++<+=，即22222221112n n n n n n a a a a n a a ++++−>−+>−，所以B 正确；由上得211112111222n n n n n n n n n n n n n a a a a n n na a a a a a ++++−−++=+<+=+⋅，累加得()1223351112322222n n n a a n n a a +−−<+++++≥ ，用错位相减法可求得()352323123183122222992n n n n n −−−+++++=−≥⋅ ， 所以12383123992n n n a n a +−+=+−<⋅，故D 正确. 二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案BCDBCABD11.提示：由()()()()()f x g y f y g x f x y −=−得()()()()()f y g x f x g y f y x −=−， 所以()()f y x f x y −=−−，故()f x 是奇函数，所以A 正确； 由()()()()()g x g y f x f y g x y −=−得()()()()()g y g x f y f x g y x −=−， 所以()()g y x g x y −=−，故()g x 是偶函数，所以B 正确；由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −−−=−−+()()()()f y g y f x g x =+⋅− ，令1y =得()()()()()()1111f x g x f g f x g x −−−=+−由()f x 是奇函数得()00f =，且()()()()220]0]0,00g f g g −=≠ ，解得()01g =当()()111f g +=时，()()()()100100001f g f g −=−=− ，所以C 错误. 由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −+−=−+−()()()()g y f y f x g x =−⋅+ ，令1y =得()()()()()()1111f x g x g f f x g x −+−=−+ 当()()111f g −=时，()()()()100100100(1)001f g f g +=−+=，所以D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32； 13.3,32−；； 15.提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD，正四面体ABCD，则 22222222PA PB PC PD PA PB PC PD +++=+++2222()()()()PO OA PO OB PO OC PO OD =+++++++()22424PO PO OA OB OC OD OA =+++++22235404423PO PO +++=，即PO = 所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA的最小值为OA PA −==.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得，()1121252a d a d +=+，所以，3d = 故，{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+−=−.（2）由21n n n n a b a b ++=得，123135n n n n a b n b a n ++−==+，所以()()11221112113103231n n n n n n n n n b b b a a b a b b b b a a a n n −−−+−−=⋅=⋅=+− ， 所以()()103231n b n n =+−.由()()101011323133132nb n n n n==− +−−+得1110115101111313232323232558nnS n n n n =−+−++−=−−= −+++ . 16.【解折】（1）在梯形ABCD 中，由AD ∥,,22BC BC CD BC CD AD ⊥==，得AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面,PAC AC AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC 又等边,PAC M 是棱PA 的中点，所以MC PA ⊥， 所以MC ⊥平面PAB ， 故PB MC ⊥.（2）方法一：取AC 中点O ，易知OP AC ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，建立如图空间直角坐标系O xyz −，设4BC =，则()C()(()0,,,0,,A P M D ，由（1）知平面PAB的一个法向量是0,CM =，又)(,0,DCCP == 设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，则000n DC n CP ⋅= ⇒ ⋅=+= ， 令1z =，可得()n =，所以cos ,n CM n CM CMn ⋅===故，平面PAB 与平面PCD.方法二：延长BA 和CD 交于E 点，连接PE ，则平面PAB ∩平面PCD PE =因为由（1）MC ⊥平面PAB 所以过M 作MF PE ⊥于F 点，连接FC ，又因为CM PE ⊥，PE CM ⊥所以PE ⊥面MCF ，所以PE CF ⊥则MFC ∠为平面PAB 与平面PCD 所成角的平面角.又因为设4BC =则4,1,PB MF MC===CF =cos MFC ∠=故平面PAB 与平面PCD. 17.【解析】（1）由题意知，随机变量X 的取值为1,2,3,4，则()()()()231212214281,2,3,433393327327P X P X P X P X ==×========×= ， 即X 的分布列为所以()124865123439272727E X =×+×+×+×=. （2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381 =.，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181−=. 记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为()()65656526003010183010188127819E Y E X =××−×=××−×=，故摊主每天利润的期望为26009元.18.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为1x my =+，与椭圆方程联立，得 ()22121222212210,,,22m my my y y y y m m −−=+=−=++++ ()()()212122121224222,1122m x x m y y x x my my m m −++=++==++=++，所以12k k ⋅（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线,AC BD 方程分别为12121x n y x n y n n =+=−，联立1x n y =+与2212x y +=得1y =2y =，联立1x n y =+与2212x y −=得3y =，同理4y =， 所以四边形ABCD面积为412S AC BD y =⋅=−−令2212t n n =+，易知221202,02n n <<<<，且121n n =−，则52,,2t S ∈，因为S 关于t 单调递增，所以min 64212825169S ×==−， 当S 取最小值1289时，122,1,1t n n ===−，经检验满足题意. 19.【解析】（1）当1a =时，()()12ln ,2xxf x e x x f x e x=−+−+′= ()()12,11f e f e =−=−′所以所求切线方程为()()()112y e x e =−−+−，即()11y e x =−−. （2）由()0f x ≥得，()ln xe ax ax a ax −≥−（*）令()()ln ,x ag x x a x g x x′−=−=，易知()g x 在()0,a 上单调递减，(),a ∞+上单调递增当(]0,a e ∈时，因为[)1,x ∞∈+，所以,x e e a ax a ≥≥≥， 所以不等式（*）等价于()()xg eg ax ≥，也等价于xe ax ≥，即xe a x≤，又()'210x x e x e x x − =≥，所以x e x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，x e e x ≥， 故(]0,a e ∈满足题意.当(),a e ∞∈+时，由xe x 在[)1,∞+上单调递增知，x e ax =在[)1,∞+上有唯一实数解，设为0x ，且()()000001,,,ln x x e ax ax x ∞∈+==. 所以()00002ln 0xf x e ax a ax =−+=， 所以要使()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则()00f x ′=，另一方面，()()020000001220x a x a a f x e a ax a x x x ′−=−+=−+=>，矛盾.故(),a e ∞∈+不满足题意， 综合得，a 的取值范围为0a e <≤.（2）解法二：先证明()10f ≥对任意0a >恒成立，设()()()12ln (0),ln 1g a f e a a a a g a a ==−+>′=−，当()0,a e ∈时，()()0,g a g a ′<在()0,e 上单调递减，(),a e ∞∈+时，()()0,g a g a ′>在(),e ∞+上单调递增，所以()()0g a g e ≥=，即()10f ≥对任意0a >恒成立. 又()2xa f x e a x =−+′，设()2xa h x e a x =−+，则()2x a h x e x=−′， 易知()h x ′单调递增，所以()()1h x h ′≥′. 当(]0,a e ∈时，()()10,0h e a h x =−≥′≥′，所以()h x 单调递增，()()()()10,f x h x h e a f x =≥=−≥′单调递增， 所以()()10f x f ≥≥，符合题意. 当(),a e ∞∈+时，同解法一.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三上学期返校联考数学试题含答案
绝密★考试结束前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科 试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅．棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式()1213V h S S =，其中1S ，2S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．球的表面积公式24S R π=， 其中R 表示球的半径． 球的体积公式343V R π=， 其中R 表示球的半径．选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合{13}A xx =-<<∣，集合{1,0,1,2}B =-，则A B =（ ）A ．{13}xx -<<∣B ．{13}xx -≤<∣ C ．{13}xx -<≤∣D ．{13}xx -≤≤∣ 2．已知a R ∈，若()21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数，则a =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±3．已知等比数列{}1n a +，10a =，53a =，则3a =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．14．若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D ．35．已知空间中的三条不同直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0a >，0b > 1= ，则（ ）A ．baa b ≥B ．b aa b ≤C ．12a b a b +>D ．1a ba b +<7．已知(1,3)A -，(2,1)B -两点到直线l 的距离分别是2和3，则满足条件的直线l 共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则下列命题正确的是（ ）A ．当3n =时，不存在12k ≤≤，使得11k k k a a a -++≤B ．当3n =时，对任意12k ≤≤，都有11k k k a a a -++≤C ．当4n =时，必存在13k ≤≤，使得11k k k a a a -++>D ．当4n =时，对任意13k ≤≤，都有11k k k a a a -++>9．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（ ）（1）a c b d +>+，（2）ac bd >，（3）32a b >，（4）22294a c b +>A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．设集合S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ） A ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素 B ．若S 有2个元素，则ST 有3个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足ST 有4个元素非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．已知log lg100a b =．若10b =，则a =________，若2b a =+，则a =________．12．已知2sincos 1θθ=-，则sin θ=________，sin2θ=________．13．已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________．14．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y +-≤⎧⎨--≥⎩，则3z y x =-的最大值是________，22x y +的最小值是________．15．已知点3,1)A ，直线l 与圆224x y +=交于M ，N 两点，若AMN △的垂心恰为原点O ，则直线l的方程是________．16．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第ξ次被首次取到（0ξ=表示黄球未被取到），则()E ξ=________．17．已知边长为2的等边ABC △，点M 、N 分别为边AB 、AC 所在直线上的点，且满足1MN =，则BN CM ⋅的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 18．（本题满分14分）在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知cos 3a B =sin 3b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求22sin cos A C +的取值范围．19．（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面DBC ，60ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒，2AC =AD ．（Ⅰ）证明：AD BC ⊥； （Ⅱ）若2AD BC =，求直线DE 与平面DBC 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，()*12n n n nb c c n N b ++=⋅∈． （Ⅰ）若{}n a 、{}n b 为等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若{}n c 为等差数列，公差0d >，证明：233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--，*n N ∈，3n ≥．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，且满足4ab =，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交x 轴于点M ． （Ⅰ）若点(2,1)A ，求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（Ⅱ）若椭圆1C 的离心率为32，点A 的纵坐标记为t ，若存在直线l ，使A 为线段BM 的中点，求t 的最大值．22．（本题满分15分）若函数21()(1)ln 2F x x a x x x b =+--+，(,)a b R ∈既有极大值点1x ，又有极小值点2x ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：()()2121(1)214F x F x a b +<--++． 浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDAACCCBB二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11102； 12．0，0；13．2，314．4-，92； 15320x y ++=；16．5617．313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 试题详解 1．解析：选B ． 2．解析：选C ．3．解析：由题意得：()()()23151114a a a +=+⋅+=，由()231110a a q +=+⋅>，得312a +=，故31a =，选D ．4．解析：由已知得：a b =b a =，∴e ==，选A ．5．解析：若空间中的三条不同直线l ，m ，n 两两垂直，则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，故l ，m ，n 一定不共面．反之若l ，m ，n 不共面，可以两两成60度角，不一定两两垂直， 故选A ．6．解法一：排除法：易知01a <<，01b <<，当a b <时，b a a a a b <<，排除A 选项； 当a b >时，b a a a a b >>，排除B 选项，取14a b ==，得1a ba b +=>排除D 选项．故选C ． 解法二：由已知得：01a <<，01b <<，故：a a a >，bb b >，又222a b ⎛+≤ ⎝⎭， ∴12a b +≥，∴12a b a b a b +>+≥． 7．解析：分别以(1,3)A -，(2,1)B -为圆心，半径分别是2和3画圆，两园位置关系是外切，公切线有三条，故选C ．8．解析：当3n =时，323(21)16128x x x x -=-+-+，123a a a +<，A 错；012a a a +>，B 错；当4n =时，4234(21)18243216x x x x x -=-+-+，123a a a +>，C 对；012a a a +>，D 错；答案：选C ．另解：2012(21)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，系数必为正负交替，若记最小系数为0k a ，若3n ≥，则03k ≥，且0020k k a a -<<，010k a ->， 故00021k k k a a a --+>． 故选：C ．9．解析：显然0a <，又(0)00f c '>⇒>(1)00f a b c d a c b d -<⇒-+-+<⇒+>+，（1）正确； 222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，又0ac <，故（4）正确；又2()32f x ax bx c '=++，02(1)3b x a+-=-， 若001x <<，则203ba-<，又0a <，故0b <， 进一步，由(0)f d =知0d <，则（2）不正确；又由02(1)3b x a +-=-得：0213b x a=-， 又00x >，故2103ba->，又0a <，故32a b <，则（3）不正确； 综上，（1）、（4）正确，选B ．10．解析：若S 有2个元素，不妨设{},S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{},S a a =-； 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由得：m S -∈，则m a =±，{}0,T a =-或{}0,T a =． 当集合T 有多于2个元素时，不妨设{}0,,T m n =，m ，n ，m -，n -，m n -，n m S -∈， 由于m ，0n ≠，所以m m n ≠-，n n m ≠-， 又且m n ≠，故集合S 中至少3个元素，矛盾； 综上，{}0,,ST a a =-，故B 正确；若S 有3个元素，不妨设{},,S a b c =，其中a b c <<； 则{},,a b b c c a T +++⊆，所以c a -，c b -，b a -，a c -，b c -，a b S -∈， 集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{},,S a b c =矛盾，排除C 、D ．11．解析：lg1002=，若10b =，则a =，若2b a =+，则2a =． 12．解析：2sin cos 10cos 1θθθ=-≥⇒≤，故cos 1θ=，sin 0θ=，故2k θπ=，k Z ∈，∴sin02θ=．13．解析：几何体为一条侧棱垂直底面的四棱锥，易知最短棱长2，最长棱长 14．解析：4-，92．1520y ++=；OA k =，∵AMN △的垂心恰为原点O ，∴直线l 的斜率k =直线OA 与直线l 的交点记为H ，结合圆的垂径定理知AMN △为等边三角形，故32AH AO =，得122H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线l 20y ++=．16．解析：ξ的可能取值为0，1，2，1111(0)4433P ξ==+⋅=，111211(2)434326P ξ==⋅+⋅⋅=， 故1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==；或直接法： 212112112112111(1)11434324324324322P ξ==⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=()0123266E ξ=⋅+⋅+⋅=．17．解析：设AN AC λ=，AM AB μ=，则MN AC AB λμ=-，又1MN =，所以，22()1MN AC AB λμ=-= 化简得：2214λμλμ+-⋅=， 另一方面，()()24()2BN CM AC AB AB AC λμλμλμ⋅=-⋅-=-++， 因为，2214λμλμ+-⋅=， 令x y x yλμ=+⎧⎨=-⎩，则22134x y +=，()2224()2282BN CM x y x λμλμ⋅=-++=--+，将221123x y =-代入得：2811836BN CM x x ⋅=-+，对称轴32x =， 由22111012322x y x =-≥⇒-≤≤， 进一步知：2811836BN CM x x ⋅=-+在1122x -≤≤上单调递减， 所以，BN CM ⋅的取值范围是313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由正弦定理知：sin sin 3b A a B ==①又由已知条件：cos 3a B =②由①②知：tan 3B =3B π=．（Ⅱ）221cos 21cos 2sin cos 22A CA C -++=+11cos 2cos 2122C A =-+ 11cos 2cos 21223C C ππ⎡⎤⎛⎫=---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 112cos 2cos 21223C C π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 332cos 2144C C =++ 3213C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵ABC △是锐角三角形， ∴62C ππ<<，∴242333C πππ<+<．∴sin 2123C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫⎪⎝⎭． 方法二：22222sin cos sin cos 3A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222sin cos cos sin sin 33A A A ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭221sin cos 22A A A ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭22213sin cos sin cos 442A A A A A =++-231sin cos 224A A A =-+3(1cos 2)11sin 22224A A -=⋅-+12sin 212A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭213A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵ABC △是锐角三角形，∴62A ππ<<，得到242333A πππ<+<．∴213A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的范围为17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫⎪⎝⎭．19．（Ⅰ）证明：设AD =，则2AC a =，又45ACD ∠=︒，由余弦定理知：DC =．由勾股定理的逆定理知：AD DC ⊥， 又平面ACFD ⊥平面DBC ，平面ACFD平面DBC DC =，AD ⊂平面ACFD ，∴AD ⊥平面DBC ，∵BC ⊂平面DBC ，∴AD BC ⊥．（Ⅱ）方法一：解：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，由（Ⅰ）知∴AD ⊥平面DBC ，∴ABD ∠为所求角．AD =，则BC a =，又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =，∴在直角三角形ADB 中，sin3AD ABD AB ∠===， （Ⅱ）方法二：解：令AD =，则BC a =，又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =，∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥， ∴AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，∴BD a ==，如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系(0,2,0)C a ，33,,022B a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， 设点D 为(),,x y z ，则2222222222222222(2)23322AD x y z a AC x y a z a DB x a y a z a =++==+-+=⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎧⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎩得到：36,,33D a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∴31,,022CB a a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，∴36,,33CD a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z =111113102360CB ax ay n CD ax n ay ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 得到(1,3,2)n =，又33,,022AB a a ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ∴||236sin ||||32AB n a AB n aθ⋅===． （Ⅱ）方法三：令2AD a =，则BC a =，又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =，∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，∵AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，AD BC ⊥，∴BD a ==，∵AB BC ⊥，AD BC ⊥且AB AD A =，∴BC ⊥平面ABED ，故点D 在平面ABC 上的射影在直线AB 上． 如图以A 点为原点，建立空间直角坐标系(0,2,0)C a，3,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A，,33D a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴31,,022CB a a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，∴3,,33CD a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z=，11111310230CB ax ay n CD axn ay ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 得到(1,3,n =，又33,,022AB a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴||23sin ||||32AB n a AB n aθ⋅===． 20．解：（Ⅰ）∵1n n n c a a +=-，令1n =，∴121c a a =-，∴22a =，由{}n a 为等比数列，∴2112a q a ==，∴11112n n n a a q --==，令2n =，∴232422c a a =-=-=， 令3n =，∴343844c a a =-=-=，∵12n n n nb c c b ++=⋅，令1n =， ∵2311b c c b =⋅，∴322114c bq b c ===， ∴11124n n n b b q --==． （Ⅱ）证明：12n n n nb c c b ++=⋅，∴12n n n n b cb c ++=，令1n =，∴3211c b b c =； 令 2n =，∴3422b c b c =；令1n n =-，∴111n n n n b cb c +--=， 将以上各式相乘，得：12n n n c c b c +=， ∴2211111n n n n n c c b c c d c c ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭， ∵11c =公差0d >，∴10n c +>．∴22232121111111n n c c b b b d c c d c d+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭， ∵1n n n c a a +=-，且1(1)n c n d =+-，∴()()1211n n n a a a a a a -=-+⋅⋅⋅+-+， 进一步得：(2)(1)2n n n a n d --=+，显然3n ≥时，0n a n ->，∴33111133n a a n a d+⋅⋅⋅+≥=---， ∴3n ≥，n N *∈时，233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--． 21．解：（1）点(2,1)A 在抛物线22:2(0)C y px p =>上，代入得14p =，14p =，故抛物线22:2xC y =． 点(2,1)A 在椭圆1C 上，故22411a b+=， 又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=． （2）解法1：椭圆1C的离心率为2，故2c a =，又c a =12b a =．又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=． 由题意知点2,2t A t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又A 为线段BM 的中点，设(,0)M m ，则2,2t B m t p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点A 、B 在椭圆1C 上，故4221322t tp +=（1），()22224182t mp t p -+=（2）， （1）×4-（2）得：2222238pt m m p p -=， 即22222240m p mpt p -+=，关于m 得方程有解，故244Δ4960p t p =-≥，解得：4224t p ≤，故，422224322322t t t p +≥+，进一步得：212t ≤． t，当p =m =时取到．（2）解法2：椭圆1C的离心率为2，故2c a =，又c a =，故12b a =．又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=． 设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，联立椭圆1C 方程得：22182x y m x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入化简得：()2224280y m y m λλ+++-=，224A B m y y λλ+=-+，2284A B m y y λ-⋅=+， ()()222222Δ44486432160m m m λλλ=-+-=+->，由于A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ， 故22B A y y t ==，进一步得：2234m t λλ=-+，222824m t λ-=+，消t 得：()22272436m λλ+=+，代入222824m t λ-=+得：()()2222642364t λλλ=++， 又()()222226464641144402436440λλλλλ=≤=+++++， 所以212t t ≤⇒的最大值为2，当λ=，m =t 取到最大值．（第二问如果直接默认椭圆方程为22182x y +=扣2分） 22．解析：（1）21()(1)ln ()ln 2F x x a x x x b F x x x a =+--+⇒=--' 11()1x F x x x-''⇒=-=()F x '⇒在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，且当0x →时，()F x ∞'→+，当x ∞→+时，()F x ∞'→+， ∴(1)0F '<时()F x 有两个极值点，于是1a >． （2）()()2121(1)214F x F x a b +<--++，11ln 0x x a --=，22ln 0x x a --=()()()22121211221(1)ln ln 22x x a x x x x x x b ⇐++-+-++21(1)214a b <--++()()()222221212112211(1)(1)124x x a x x x ax x ax a ⇐++-+--+-<--+ ()()222121211(1)124x x x x a ⇐-+++<--+ ()()2221212(1)244a x x x x ⇐-<+-++()()2221212(1)2a x x x x ⇐-<+-+-，又11221212ln 0,ln 02ln ln 22x x a x x a x x x x a --=--=⇒+-=++-1212ln ln x x x x -=-，∴()()22221212(1)2(1)a x x x x a -<+-+-⇔-[]()221212ln ln 2(1)ln ln x x a x x <++-+-∴()()2221212(1)2a x x x x -++-<-22212123(1)4(1)ln 20ln 2ln a a x x x x ⇐-+-+>+，接下来证明：22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>，由于()()2221212Δ16ln ln 24ln ln x x x x =+-+，又1201x x <<<，∴()221212Δ32ln ln 8ln ln 0x x x x =-+<， ∴22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x ---++>恒成立，得证．法二：()()2222121211(1)1(1)24x x x x a a ⇐-+++<--+⇐-()()221212244x x x x <+-++()()()222121212(1)44a x x x x x x ⇐-<+-+++- ()()2212122x x x x =+-+-121x x a ⇐+>+由（1）知：1201x x <<<，()F x '在(0,1)递减，(1,)+∞递增， 11ln 0x x a --=，22ln 0x x a --=，故1212211ln 11ln 1x x a a x x a x x +>+⇐++>+⇐>->， 又()()12F x F x ''=，()(1,)F x '+∞递增，故()()()211211ln 1ln x x F x F x F x '''>-⇐=>-()()111111ln 1ln ln 1ln ln 1ln 1x x a x x a x x ⇐-->----⇐->-， 令()()111ln 1ln 1g x x x =+--，接下来证明：()10g x >，∵()()111ln 1ln 1g x x x =+--，∴()1111111ln01ln x x g x x +-'=<-， ∴()()111ln 1ln 1g x x x =+--在()0,1上递减，故()1(1)0g x g >=，得证．。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学试题含答案
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学试题（答案在最后）考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,21A B x x x =--=->∣，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.{}2,1,2-- D.{}2,2-【答案】A 【解析】【分析】先化简集合B ,再求交集.【详解】解一元二次不等式221x x ->,得1x <或1x >所以{|1B x x =<-或1x >+.因为{}2,1,0,1,2A =--,所以{}2,1A B ⋂=--.故选：A.2.已知复数z 满足()1i 2i z +=-，则z z ⋅=（）A.254B.2516 C.54D.52【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的性质结合模长公式求解.【详解】由()1i 2i z +=-可得()()()()2i 1i 2i 13i1+i 1+i 1i 2z ----===-，所以222135222z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D3.已知向量()(),1,1,a x b x ==，若()a b b +⊥ ，则x =（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果.【详解】易知()1,1a b x x +=++，由()a b b +⊥ 可得()()()1110a b b x x x +⋅=⨯+++=，即2210x x ++=，解得1x =-故选：C4.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的12后，得到函数()g x 的图象.则π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.2C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数图象变换结论求()g x 的解析式，再求π12g ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，可得函数ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 2y x =图象上所有点的纵坐标变为原来的12，横坐标不变，可得函数sin 2y x =的图象，所以()sin 2g x x =，故ππ1sin 1262g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重（kg ）除以身高（m ）的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.523.9~内属正常范围.已知,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3.,D E 两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为（）A.175B.145C.173 D.143【答案】A 【解析】【分析】根据方差的计算公式即可求解.【详解】由于,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故()()()22220202033A B C -+-+-=,则()()()2222020209A B C -+-+-=，由于182********2055A B C ++++⨯++==,故5个人的体质指数的平均数为20，故()()()()()222222020201820222094417555A B C -+-+-+-+-++==，故方差为175故选：A6.已知,A B 为抛物线24x y =上的动点，()00,P x y 为AB 中点，若6AB =，则0y 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线，即可求解.【详解】如图，F 为抛物线焦点，作AC m ⊥，PN m ⊥，BD m ⊥，连接AF ，BF ，其中m 为准线，由抛物线定义知，26PN AC BD AF BF AB =+=+≥=，所以||3PN ≥，当且仅当F 在AB 上时，等号成立，则点P 到x 轴的最小距离是2，故0y 的最小值为2，故选：B7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）A.20 B.36 C.54 D.108【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”.【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有18C 8=种选法;2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有27C 21=种选法;3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有36C 20=种选法;4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有45C 5=种选法;所以满足条件的不同排列方法的总数之和为82120554+++=.故选：C.8.已知函数()()()2ln 222,1,ln 22,1x x x f x a x bx c x ⎧-+>⎪=⎨-+++<⎪⎩，若对()()1,2x f x f x ∀≠-=-恒成立，则abc =（）A.16- B.16C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】()()1,2x f x f x ∀≠-=-分别代入解析式，求出,,a b c 即可.【详解】当1,21x x >-<，则()(2ln(22)2)2ln(22)2f x x x x x -=--+=---，(2)ln(2()2)(2)ln(22)2f x a x x b x c a x b bx c -=--++-+=-++-+，由于()()1,2x f x f x ∀≠-=-，则2,2,20a b b c =-=+=，则4c =-；经检验适合题意.故16abc =.故选：B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（）A.168a =B.若910S S =，则43d =C.若2d =-，则n S 的最大值为21SD.若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ⋅=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10.已知0a >，函数()1ln 1x f x ax x -+=++，()()211ag x a x x =--+.则以下结论正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()g x 的图象关于点()1,2a --对称C.当02a <<时，()f x 在其定义域上单调递增D.当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根【答案】BD 【解析】【分析】根据奇函数，偶函数的定义判断A ，证明函数()12g x a -+为奇函数，结合函数图象变换结论判断B ，计算可得()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭排除C ，化简方程()()f x g x =可得()11ln 11a x x x x --=++，令11x t x -=+，可得ln t a t =，利用导数判断()ln th t t=的单调性求其最值，判断D.【详解】函数()1ln 1x f x ax x -+=++的定义域为−1,1，故函数()f x 的定义域关于原点对称，又()()1ln 1x f x a x x +-=-+-+，所以()()11lnln 011x x f x f x x x -+++-=+=+-+，即−=−，所以函数()f x 为奇函数，不是偶函数，A 错误；因为()()211ag x a x x =--+，函数()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以()()221222a a g x a a x a ax x x-+=--+=+，函数()12g x a -+的定义域为{}0x x ≠，所以函数()12g x a -+的定义域关于原点对称，且()212ag x a ax x--+=--，所以()()12120g x a g x a -++--+=，故函数()12g x a -+为奇函数，即函数()12g x a -+的图象关于原点对称，所以函数()g x 的图象关于点()1,2a --对称，B 正确；因为()00ln10f =+=，11ln ln 32232aa f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，又02a <<，01ln 32a<<<，故102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在其定义域上不可能为单调递增函数，C 错误；方程()()f x g x =，可化为()12ln 111x aax a x x x -++=--++，且11x -<<，所以()11ln11a x x x x --=++，且11x -<<，令11x t x -=+，则0t >，则ln t at =，所以ln ta t=，令()ln t h t t =，则()21ln th t t -'=，所以t e >时，()0h t '<，函数()h t 在区间()e,+∞上单调递减，当0e t <<时，()0h t '>，函数()h t 在区间()0,e 上单调递增，所以当e t =时，函数()h t 取最大值，最大值为1e，所以当1e>a 时，方程ln ta t =无解，故当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根，D 正确.故选：BD .11.已知双曲线22:14x C y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,A B 两点，P 为C 的右支上一点（异于点B ），12PF F 的内切圆圆心为N .则以下结论正确的是（）A.直线PA 与PB 的斜率之积为4B.若124PF PF ⋅=，则12π3F PF ∠=C.以1PF 为直径的圆与圆224x y +=相切D.若120PF PF ⋅=，则点N 坐标为(【答案】BCD 【解析】【分析】由题意设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,0)y ，把点A ，B 坐标代入双曲线的方程，两式相减得PA PB k k ⋅，即可判断A ；利用余弦定理，结合；记2||PF t =，则双曲线定义即可判断B ，由于12PF PF ⊥，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C ；画出图形，利用M 是线段1PF 的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系即可判断D ．【详解】设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,00)()y x a ≥，则221114x y -=且220014x y -=，两式相减得222201014x x y y -=-，∴2201220114y y x x -=-，220101012201010114PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-，故A 错误，由于12|||4PF PF -=，124PF PF ⋅=，若12π3F PF ∠=，由余弦定理可得()2222212121212121212(2)2cos (2)22cos c PF PF PF PF F PF c PF PF PFPF PF PF F PF =+-⨯∠⇒=-+⨯-⨯∠，解得121cos 2F PF ∠=，由于()120,πF PF ∠∈，故12π3F PF ∠=，故B 正确，P 在双曲线右支上，12||||24PF PF a ∴-==，M 是线段1PF 的中点，111||||||2MF PM PF ∴==，O 是线段12F F 的中点，21||||2MO PF ∴=，∴1211|||222PF PF a -==，1||||2MF OM ∴-=，1||||2OM MF ∴=-，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系是内切，故C正确．记2||PF t =，则1||4PF t =+，12PF PF ⊥ ，222(4)44(41)20t t c ∴++==+=，解得2t =或2t =-（舍去），1||2PF ∴=+12PF F的面积为1211||||2)122PF PF =-+=，设三角12PF F 的内切圆半径为r，则1(2212⨯+-+=，所以r =-，设圆N 与12PF F 三边相切于,,M Q T ，则1122,,,FT F M F T F Q PM PQ ===设1,FT x =则1122,2,FT F M x F T F Q c x ====-故()222PM x PQ c x =+==--，解得2x c =+，所以2OT =,故(N -,D 正确，故选：BCD．非选择题部分三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在72x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为__________.【答案】84【解析】【分析】利用二项展开式的通项令72r 3-=即可求得3x 的系数.【详解】设展开式的第1r -项772772C 2C rrrr r rx xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭含有3x 项，令72r 3-=，解得2r =，所以223372C 84x x =，即3x 的系数为84.故答案为：8413.若曲线e x a y +=过坐标原点的切线与圆22(1)(1)2x y -++=相切，则实数a =__________.【答案】1-【解析】【分析】首先,我们需要求出曲线e x a y +=过坐标原点的切线方程。
2021浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考 数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科参考答案一、选择题：本大题具10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．｜题号｜ 1 I 2 I 3 I 4 I s I 6 I 1 I s I 9 I10 I ｜答案｜ B I C I D I A I A I C I C I C I B I B I二、填空题：本大题具7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.币，2;12. 0, 0 13. 2, 2-fj; 14. -4，；：“F3x＋川＝0;5 16.-6试题详解3 13 17.卜，］－2 21.解析：选B,2，解析：选C,3，解析：由题意得：（α3+l)2=(a1+l）·（α5+ 1) =4'由α3+ 1=a1 + 1) · q2 > 0，得，α3+1 =2，故问＝1，选D销区α b l'J /_ b豆叶／'J4，解析：由己知得：=.J王故＝旦、：e二岸二之三，选Abα 3 35，解析：若空间中的三条不同直线l,m, n i吨垂直，则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，故l,m, n一定E）反之若l,m, n不共面，可以两两成60度角，不一定两两垂直，故选A.Y.. /)V', :f=j�除A酬6，解法一：排除法：易知0＜α ’即让政b<l，当α ＜ b时，αb ＜αα ＜ b a当α＞b时，旷＞a a > b a，排除B选项，取α二b二1，得αa+b b二J2.> 1排除D选项故边C4’解法二由己知得：0＜α＜1,0 < b < 1，故：a a＞α，b b > b,fa+Jb 2α＋b 1又（一丁一一）豆2一，．．α＋b注2''.a a +b b ＞α＋b注37，解析：分别以A(-1,3）’B(2，一1）为圆心，半径分别是2和3画圆，两圆位置关系是外切，公切线有三条，故选C.8，解析：当n=3时，（2x1)3= 1+6x 12χ2+8川，α1＋α2＜吨，A错：α。
2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三(上)返校数学试卷(学生版+解析版)
2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.（4分）已知集合4={知1<1},集合5={加好+31+2=0},则AAB=（）A.空集B.（-8,1]C.（-2,-1）D.{-2,-1）2.（4分）复数泮21的虚部是（）A.iB.-iC.1D.-13.（4分）已知直线y=\与直线hz*-my-1=0相互垂直，则实数m的值是（）A.0B.1C.-1D.±14.（4分）已知a,p,y是三个不同的平面，aG0=m邛0丫=儿则下列命题成立的是（）A.若加“则a“丫B.若a“Y，则加““C.若机_！_“，则aJ_yD.若a_1_丫，则加_1.“5.（4分）如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，如图中，△A3C,BrC均为等腰直角三角形，直角边长度分别为6孩cm和3&cm,两斜边距离为1cm.现将该三角板绕斜边8C进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（）（单位：ctz?）6.（4分）函数丫=嗯护的图象可能是（）7.（4分）如图，在梯形.CD中，AB=2DC,E,产是DC的两个三等分点，G,H是AB的两个三等分点，4c分别交EG,FH于M,N,若而=后,则实数人的值是（）8.（4分）已知小加R,则％+制20”是“函数，（%）=小+”+加一、”存在最小值”的（）A.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件*2V2 ,9.（4分）已知双曲线C：———=1（。
>0,Z?>0）的两条渐近线为/1,/2,若双曲线Ca2b2的右支上存在一点尸，使得点尸到/2的距离之和为4则双曲线。
离心率的取值范围是（）A.[曰+oo）B.（1,V2]C.[2,+8） d.（1,2]10.（4分）设。
=加1.01"=蜷，C=y^,（其中自然对数的底数6=2.71828…），则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.（6分）已知角a的终边经过点P（l,V3）,则cosa=,cos （a- ----------- -12.（6分）已知依R,若直线/：y=k*+l被圆/-右+9-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线I的方程为.13.（4分）若“=log23,Iog2a+log20=l,则3"=.14.（6分）已知多项式（1-2*）+（1+*+*2）3=ao+a\*+a2*1+"+a6*6,贝Ua\=,。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学参考答案及解析
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学参考答案及解析一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.【答案】A【解析】因为A={-2,T,0,1,2},其中-2EB,-1EB,所以AC\B=—2,—1,故选 A.2.【答案】D【解析】由题，2=号,故团=舄=樽=籍所以z3=|z|2=§故选D.3.【答案】C【解析】((Q+b)・b=x+l+%(%+1)=必+2*+1=0,解得x=-1,故选 C.4.【答案】C【解析】由题，g(x)=sin(2x+2x%-^)=sin2的所以g(制)=sin：=§故选C.5.【答案】A【解析】设A,B,C三人的体质指数分别为a,b,c,则a+b+c=3X20=60,故5人体质指数的平均值M j(6。
+18+22)=20,又：[(a—20)2+(b—20)2+(b—20)2]=3,所以(q—20)2+(b—20)2+0—20)2=9,所以5人的体质指数的方差为?[(Q—20)2+(b—20)2+0—20)2+(18 -20)2+(22-20)2]=p故选 A.6.【答案】B【解析】设人31，无)伊3叩2),焦点F(0,1),则y Q=么号，由\AF\=无+1,\BF\=y2+l f则\AF \+\BF\^y1+y2+2>\AB\^6,所以=峥N2,当A,F,B三点共线时，yflZ得最小值2.微信公众号：浙江省高中数学故选B.7.【答案】C【解析】当有1个红球时，有侃=8种；当有2个红球时，有能=21种；当有3个红球时，有«=20种；当有4个红球时，有建=5种；当有5个及以上个红球时，不合题意，所以满足条件的不同排列方法的总数之和为54.故选C.8.【答案】B【解析】由V%球l,f(2—二)=—f(x)得f(—x+1)=—f(x+1),所以f(x+1)为奇函数，令g(x)= /'3+1)=[?弋2：)：2二F2，次当x>0时,-%<0,^(-%)=aZn(2x)-bx+b+c=-g(aln(-2x)+bx+b+c,x<0,(%)=—2ln(2x)—2x—2,所以a——2,b—2,b+c——2…即c=-4,所以abc=16,故选 B.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.【答案】ABD【解析】12。
2024-2025学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校数学试卷(含答案)
2024-2025学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|x 2−2x >1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. {−2,−1,2}D. {−2,2}2.已知复数z 满足z(1+i)=2−i ，则z ⋅−z =( )A. 254B. 2516C. 54D. 523.已知向量a =(x,1),b =(1,x)，若(a +b )⊥b ，则x =( )A. 1B. 2C. −1D. −24.将函数f(x)=2sin(2x−π6)图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的12后，得到函数g(x)的图象.则g(π12)=( )A. 3 B. 32 C. 12 D. 15.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.5∼23.9内属正常范围.已知A ，B ，C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3.D ，E 两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为( )A. 175B. 145C. 173D. 1436.已知A ，B 为抛物线x 2=4y 上的动点，P(x 0,y 0)为AB 中点，若|AB|=6，则y 0的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为( )A. 20B. 36C. 54D. 1088.已知函数f(x)={2ln(2x−2)+2x,x >1aln(−2x +2)+bx +c,x <1，若对∀x ≠1，f(2−x)=−f(x)恒成立，则abc =( )A. −16B. 16C. −4D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
七彩高三数学答案及评分细则_4801(1)
3 2 3 a 浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科 参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDAACCCBB11． ， 2 ； 12．0，0 13． 2 ， 2 ； 14． - 4 ， 9； 15． 23x + y + 2 = 0 ；16． 5； 17．[- 3 , 13] ．6 2 2试题详解1. 解析：选 B ，2，解析：选 C ，3，解析：由题意得： (a 3 +1)2 = (a +1)⋅ (a 5 +1) = 4 ，由 a 3 +1 = (a 1 +1) ⋅ q 2 > 0 ，得a +1 = 2 ，故a 3 = 1，选 D ，4，解析：由已知得： = b 3,故 b = a 3 ,∴e = 3 = ，选 A3 5，解析：若空间中的三条不同直线 l ，m ，n 两两垂直，则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，故 l ，m ，n 一定不共面。
反之若 l ，m ，n 不共面，可以两两成 60 度角，不一定两两垂直，故选 A .6，解法一：排除法：易知0 < a < 1,0 < b < 1，当a < b 时， a b< a a< b a，排除 A 选项当 a > b 时， a b > a a > b a ，排除 B 选项，取a = b = 1, 得a a + b b= 4解法二：由已知得：0 < a < 1,0 < b < 1,故：a a > a , b b > b ,> 1排除 D 选项.故选 C又 (a +b )2 ≤ a + b ，∴a + b ≥ 1 ,∴a a + b b > a + b ≥ 1 2 2 2 27，解析：分别以 A (-1,3) ， B (2,-1) 为圆心，半径分别是2和3 画圆，两圆位置关系是外切，公切线有三条，故选 C .8，解析：当n = 3 时， (2x -1)3 = -1+ 6x -12 x 2 + 8x 3 ， a a 2< a 3 ，A 错； a 0a1> a 2 ，B 错；当 n = 4 时，(2x -1)4 = 1- 8x + 24 x 2 - 32 x 3 +16 x 4 ，a a 2> a 3 ，C 对；a 0 a 1< a 2 ，D 错； 答案：选 C10 1+ ( b )2 a2 1 11 30 0 0 0 0 02b 另解： (2x -1)n = a + a x + a x 2 + + a x n ，系数必为正负交替，若记最小系数为a ，12nk 0若 n ≥ 3 ，则k 0 ≥ 3 ，且a k < a k -2 < 0 ， a k -1 > 0 ，故a k -2 + a k -1 > a k故选：C9，解析：显然a < 0 ，又 f '(0) > 0 ⇒ c > 0f (-1) < 0 ⇒ -a + b - c + d < 0 ⇒ a + c > b + d ，(1)正确f '(-1) = 0 ⇒ 3a + c = 2b ⇒ 9a 2 + c 2 + 6ac = 4b 2 ，又ac < 0 ，故(4)正确又 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c ， x + (-1) = - 2b 3a若0 < x 0< 1 ，则- 2b< 0 ，又a < 0 ，故b < 0 ，进一步，由 f (0) = d 知d < 0 ，则(2)不正确； 3a又由 x + (-1) = - 得： x = 1- 2b ，又 x > 0 ，故1- 2b> 0 ，又a < 0 ，故3a < 2b ，则(3)0 3a 0 3a 03a不正确；综上，(1)、(4)正确，选 B10，解析：若 S 有 2 个元素，不妨设 S = {a , b } ，由②知集合 S 中的两个元素必为相反数，故可设S = {a ,-a }；由①得0 ∈T ，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m ∈T ，当集合T 有 2 个元素时，由②得： - m ∈ S ，则m = ±a ， T = {0,-a } 或T = {0, a } .当集合T 有多于 2 个元素时，不妨设 T = {0, m , n } ， m , n ,-m ,-n , m - n , n - m ∈ S ，由于 m , n ≠ 0 ， 所 以m ≠ m - n , n ≠ n - m ，又且m ≠ n ，故集合 S 中至少 3 个元素，矛盾；综上， S T = {0, a ,-a } ，故 B 正确；若 S 有 3 个元素，不妨设 S = {a , b , c } ，其中a < b < c ；则{a + b , b + c , c + a } ⊆ T，所以c - a , c - b , b - a , a - c , b - c , a - b ∈ S ，集合 S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合 S 中至少4 个元素，与 S = {a , b , c } 矛盾，排除 C ，D 。
高三试卷数学-浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2022届高三上学期8月返校考试数学试卷及参考答案
绝密★考试结束前2021学年第一学期浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校考高三数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}|1A x x =，集合{}2|320B x x x =++=，则A B = （）A.空集B.(,1]-∞C.(2,1)--D.{2,1}--2.复数2021i 的虚部是（）A.iB.i- C.1D.-13.已知直线1l ：1mx y -=与直线2l ：10x my --=相互垂直，则实数m 的值是（）A.0.B.1C.-1D.±14.已知α，β，γ是三个不同的平面，m αβ= ，n βγ= .则下列命题成立的是（）A.若//m n ，则//αγB.若//αγ，则//m nC.若m n ⊥，则αγ⊥D.若αγ⊥，则m n⊥5.如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，下图中，ABC △，A B C '''△均为等腰直角三角形，直角边长度分别为和，两斜边距离为1cm .现将该三角板绕斜边BC 进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（）（单位3cm ）A.144πB.126πC.108πD.102π6.函数()2ln 1cos x y x+=的图象可能是（）A. B.C. D.7.如图，在梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 是DC 的两个三等分点，G ，H 是AB 的两个三等分点，AC 分别交EG ，FH 于M ，N ，若MN AC λ=，则实数λ的值是（）A.310B.13C.25D.128.已知a ，b ∈R ，则“||0a b +≥”是“函数()|1||1|f x a x b x =++-存在最小值”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件9.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是（）A.)+∞B.C.[2,)+∞ D.(1,2]10.设ln1.01a =， 1.0130b e =，1101c =，（其中自然对数的底数 2.71828e = ）则（）A.a b c << B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知角α的终边经过点P ，则cos α=___________，πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.12.已知k ∈R ，若直线l ：1y kx =+被圆22230x x y -+-=所截，则截得的弦长最短为___________.，此时直线l 的方程为___________.13.若2log 3a =，22log log 1a b +=，则3b=___________.14.已知多项式()32260126(12)1x x x a a x a x a x -+++=++++ ，则1a =________，23456a a a a a ++++=___________.15.抛掷三枚质地均匀的硬币，则事件“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为___________，记正面朝上的硬币枚数为随机变量ξ，则ξ的数学期望是___________.16.设ABC △的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若ABC △的面积为212c ，则23b a c a b ab +-的最小值是___________.17.已知平面向量a ，b ，c满足221a b += ，||||c a a b b =+ ，且2||2c ≤ ，则当||||a b 取到最小值时，222a b c -+= ___________.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）18.（本小题满分14分）已知函数()sin f x x x =-.（Ⅰ）求函数2[()]y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）若函数π()3y f x f x m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（m ∈R ）在[0,π]上有两个零点，求m 的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB AD ⊥，PBD △为等边三角形.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为棱PA 的中点，求直线CM 与平面PBD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，112a =，且对一切*n ∈N 均有11n n n n a a T T ++-=-.（Ⅰ）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：ln 1n n S T +>.21.（本小题满分15分）如图，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为(1,0)F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF ，AD 交抛物线C 于M ，N .（Ⅰ）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（Ⅱ）求三角形AMN 面积的最小值.22.（本小题满分15分）已知a ∈R ，()axf x x e-=⋅，（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.高三数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）12345678910D CABCAACCD试题解析：第5题：大的三棱锥体积1V 减去挖空部分2V （可以看做2个圆台体积减去1个圆柱体积）1136π12144π3V =⨯⨯=，()22221π14432π1642π6π36π3V =⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯=-=12108πV V V =-=.第6题：()f x 是偶函数，排除B ，当0x +→时，()2ln 10x+>，cos 0x >，()0f x >；第7题：14CN CF AN AH ==，212CM CE AM AG ===，不妨设CN k =，则4AN k =，5AC k =52CM AM k ==，5322MN k k k =-=，310MN AC =，选A.第8题：(),1()(),11(),1a b x a b x f x a b x a b x a b a b x ++-≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪-+-+≤-⎩，函数()|1||1|f x a x b x =++-存在最小值0a b ⇔+≥（也可从图像角度看，当x →+∞时，直线斜率非负），0||0a b a b +≥⇒+≥，反之，可举反例1a =，3b =-，故选C.第9题：两条渐近线方程为：by x a =±，设()00,P x y，12d d b+=P 在双曲线C 的右支上一点，故000bx ay +>，000bx ay ->，0122bx d d b c +==，02cx a =≥，2ca≥，故选C.第10题：令 1.01x =，则ln a x =，30x b e =，11c x =-，考虑到ln 1x x ≤-，可得1ln 1x x-≤-，化简得1ln 1x x≥-等号当且仅当1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除A ，B ，下面比较a ，b 大小，由ln 1x x ≤-得， 1.01ln1.010.0130e<<，故b a >，故选D.高三数学学科答案第2页共11页二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.1226412.1y x =+13.414.12315.383216.-17.12试题解析第14题：考虑一次项系数：1221322C C 11a =-+⨯=；下面赋值法：令0x =，得：02a =；令1x =，得23612712a a a -+=+++++ ，故2345623a a a a a ++++=.第15题：223113C 228⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ服从二项分布）13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，故，13()322E ξ=⨯=.第16题：ABC △的面积为2c ，得21333sin sin sin sin sin 21266ac B a B c A B C=⇒=⇒=原式22222222322sin 2cos 2cos sin sin b a c b a c c C C C C ab ab ab A B+-+-==-=-=-2cos )C C C ϕ-=+≥-，其中tan ϕ=，当πC ϕ=-时取到最小值-.（当31tan 2A +=，31tan 2B =，tanC =-时取到最小值）第17题：由221a b += ，||||c a a b b =+ 得：()224422222212cos 2(1cos )2c a b a b a ba b θθ=++=+--≤ ，进一步得到：2211cos 4a b θ-≥ ，又21cos θ≥-，故2218a b ≥ ，2||||4a b ≥当且仅当cos 1θ=-，221a b += ，2||||4a b =，2||2c ≤解得：2224a = ，2224b += ，(1a b =-⋅；或224a += ，224b = ，(1a b =-⋅时取等号，当224a -= ，224b = ，(1a b =⋅时，()2||||1(1||2)||c a a b b b b b b =+=--=-，22||2)2)42c b =-=⋅=.∴22212a b c --+=当224a += ，224b =，(1a b =-⋅ 时，()2||||1(1||(2)||c a a b b b b b b =+=-+=--，22||2)2)42c b -=+=⋅=.∴222122a b c +-+=综上222122a b c ±-+=三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（7+7=14分）（Ⅰ）π()2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2分）22π2π()4sin 22cos 233y f x x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭（4分）（代入给1分）函数2()y f x =的单调递增区间即是函数2πcos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间（5分）由2π2π22ππ3k x k ≤-≤+，得π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z （6分）所以2()y f x =单调增区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （7分）（Ⅱ）记π()()3g x f x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，函数π()3y f x f x m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（m ∈R ）在[0,π]上有两个零点，即是函数()y f x =，[0,π]x ∈的图像与直线y m =有两个交点（8分）由（1）的解答知π()2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故π2sin()3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π()sin 2sin6g x x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭（10分）∵[0,π]x ∈，∴ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()y g x =的图像如图所示，（12分）数形结合，可知m ∈（14分）（结论端点开闭错误扣1分）19.（7+8=15分）【参考答案】：（I ）证明：设1AB =，则BD =取PB 中点为H ，连接AH ，DH ，（1分）∵PBD △为等边三角形，∴PD PB BD ===，DH PB ⊥（2分）又AD PB ⊥，DH AD D = ，∴PB ⊥面ADH （3分）∴PB AH ⊥，H 为PB 中点，∴1PA AB ==（4分）∴222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥（5分），同理由222PA AD PD +=，得PA AD ⊥（6分）又AB AD A = ，∴PA ⊥平面ABCD （7分）（Ⅱ）方法一：如图，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接PO ，CM ，交点记为F ，由（Ⅰ）可知PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥（8分）又BD AC ⊥，∴BD ⊥面PAC ；∴面PBD ⊥面PAC ，（9分）∴CF 在平面PBD 的射影在直线PO 上，CFO ∠为直线CM 与平面PBD 所成角的平面角．（10分）在Rt PAC △中，22CO =，32CM ==，213CF CM ==，62PO ==，136OF PO ==（12分）（线段长度有错酌情给1分）∴11162cos 366CFO +-∠==（14分）∴sin 3CFO ∠=（15分）方法二：底面ABCD 是是正方形，由（I ）可知AB ，AD ，AP 两两垂直，分别以AB ，AD ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．（8分）设PA AD AB a ===，则有(,0,0)B a ，(,,0)C a a ，(0,0,)P a ，(0,,0)D a ，0,0,2a M ⎛⎫⎪⎝⎭（10分）设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∵(,,0)BD a a =- ，(,0,)BP a a =- （11分）则有：0000n BD ax ay ax az n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩∴(1,1,1)n = （13分）又有,,2a CM a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设直线CM 与平面PBD 所成角为∴sin 3||||n CM n CM θ⋅==（15分）备注：用等体积法求角，对应评分标准酌情给分。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}29,NA x x x =<∈∣，{}3,1,1,2,5,7B =--，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1,2- C.{}1,2 D.{}3,1,0,1,2,5,7--【答案】C 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，再由集合交集的运算法则得到结果.【详解】∵29x <，∴33x -<<，∴{}0,1,2A =∴{}1,2A B = .故选：C2.若函数()11f x x =-，则其定义域为（）A.(],4∞- B.(),4-∞ C.()(),11,4∞-⋃ D.()(],11,4-∞⋃【答案】D 【解析】【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，则其定义域为()(],11,4-∞⋃.故选：D.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.11y x =+ B.2y x = C.y x= D.22,0,0x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质和二次函数的性质逐一判断即可；【详解】对于A ，()()11y x y x x -=≠--+，所以不是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()22y x xx y x -=-==，为偶函数，故B 错误；对于C ，()()y x x x y x -=-==，为偶函数，故C 错误对于D ，定义域为R ，关于原点对称，当0x >时，2y x =；0x -<，2y x =-；所以()()y x y x =--，且由二次函数图像的性质可得函数y 为增函数，故D 正确；故选：D.4.已知命题p ：R x ∃∈，()210x -≤，命题q ：0x ∀>，2x x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】代入0x =或1并结合全称命题的否定判断即可；【详解】当 海f 时，()210x -≤成立，所以命题p 为真命题；当0x =或1时，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题；故选：C.5.已知)12fx +=+，则()f x 的解析式为（）A.223x x -+B.()2231x x x -+≥C.223x x -- D.()2231x x x --≥【答案】B 【解析】【分析】利用换元法即可得到答案.1t+=，则1t≥，且()21x t=-，则()()221223f t t t t=-+=-+，1t≥，则()()2231f x x x x=-+≥.故选：B.6.“0a b>>”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当0a b>>时，11a b>>，即0a b>>能推出11a b>，取1,2a b==，满足11a b>，而a b<，即11a b>不能推出0a b>>，所以“0a b>>”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A7.函数()()212,11,1a x a xf xx ax x⎧-+<=⎨++≥⎩，满足：对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，则a 的取值范围是（）A.11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,22⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】A【解析】【分析】利用函数为增函数且1x<的函数值不大于1x≥时的函数值列不等式组求解即可；【详解】因为对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，所以()f x在定义域上为递增函数，所以120121112a a a a a ⎧⎪->⎪-+≤++⎨⎪⎪-≤⎩，解得1122a -<≤，所以a 的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A.8.已知()f x 是二次函数，且对于任意的实数x 、y ，函数()f x 满足函数方程()()()2f x f y f x y xy +=+++，如果()512f =.下列选项错误的是（）A.()02f = B.()y f x x =+在()0,∞+上单调递增C.()y f x x =-为偶函数 D.()1y f x =+为偶函数【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B ，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C 、D ，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案.【详解】对于A ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令0x y ==，则()()()00002f f f +=++，解得()02f =，故A 正确；对于B ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令y x =-，则()()()202f x f x f x +-=-+，化简可得()()24f x f x x +-=-，设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则2224ax bx c ax bx c x +++-+=-，化简可得22224ax c x +=-，可得2124a c =-⎧⎨=⎩，所以()2122f x x bx =-++，由()151222f b =-++=，解得1b =，所以()2122f x x x =-++，由函数()21222y f x x x x =+=-++，则其对称轴为直线22122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =+在 ‸㐶上单调递增，在()2,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，由B 可知()2122y f x x x =-=-+，则其对称轴为00122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =-是偶函数，故C 正确；对于D ，由B 可知()()()221151112222y f x x x x =+=-++++=-+，则其对称轴为122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()1y f x =+为偶函数，故D 正确.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列计算正确的是（）A.11313-= B.()()2350a a a =>C.4π=-D.()0a a =>【答案】CD 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.【详解】对A ，11113331030-+=+=，故A 错误；对B ，()()2360a a a =>，故B 错误；对C ，4π=-，故C 正确；对D()1112360a a a ++==>，故D 正确.故选：CD.10.已知正数a ，b 满足22a b +=，下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为12B.21a b +的最小值为92C.224a b +的最小值为4D.4aa b+的最小值为4+【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.【详解】正数a ，b 满足22a b +=，对于A ，22a b =+≥12≤ab ，当且仅当21b a ==时取等号，A 正确；对于B ，2112112219(2)()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23b a ==时取等号，B 正确；对于C ，2222224(2)(2)(2)22a ab a b a b b ++-+=+≥=，当且仅当21b a ==时取等号，C 错误；对于D ，42(2)2444a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥++当且仅当2b aa b =，即a ==时取等号，D 正确.故选：ABD11.已知20ax bx c ++<的解集为{0}xx αβ<<<∣，则()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭的解可以是（）A.1,∞β⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,βα⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,0α⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集得到,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可；【详解】由题意可得0a >，0c >，且,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，因为0αβ<<，所以110ab>>，则,b c a aαβαβ+=-=，又()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭等价于()21110ax c bg x x x a x a a 骣骣-琪琪=++<琪琪桫桫，等价于()()21110ax g x x x a xab a b 骣-轾琪=-++<琪臌桫，等价于()()()11110ax g x x x a xa b 骣-琪=--<琪桫，等价于()()()()11110g x x ax x x a a b =---<，所以不等式的解为11x βα<<或10x a<<，故选：BD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数()()21mf x m m x =--在第一象限单调递增，则m =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出2m =或1-，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案.【详解】因为()()21mf x m m x =--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1-，当2m =时，()2f x x =，在(0,)+∞上单调递增，满足题意，当1m =-时，()1f x x -=，在(0,)+∞上单调递减，不合要求，舍去；故答案为：213.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x =__________.【答案】32x x -+【解析】【分析】根据偶函数特点()()f x f x =-即可得到答案.【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()3322f x f x x x x x =-=---=-+.故答案为：32x x -+.14.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =，一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有()()()()card =card +card -card A B A B A B .例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合A 表示田径运动会参赛的学生，用集合B 表示球类运动会参赛的学生，就有A ={xx ∣是田径运动会参赛的学生}，B ={x x ∣是球类运动会参赛的学生}，那么A B = {x x ∣是两次运动会都参赛的学生}，A B = {x x ∣是所有参赛的学生}，则()()()()card card card card 812317A B A B A B =+-=+-= ，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合{}1,2,3,,300A = ，集合{},3,N B xx A x k k =∈=∈∣，集合{},4,N C x x A x k k =∈=∈∣，集合{},5,N D x x A x k k =∈=∈∣，则()card B C D = __________.【答案】180【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】依题意，card()100,card()75,card()60B C d ===，而card()25,card()20,card()15B C B D C D === ，card()5B C D = ，所以card()card()card()card()card()card()card()B C B C d B D D C B D C ++--=- card()10075602520155180B C D +=++---+= .故答案为：180四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{12}A xx =-<<∣，{22}B x a x a =-<<+∣.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -<<；（2）3a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用并集的定义直接求解.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系求出a 的范围.【小问1详解】当1a =时，{13}B xx ∣=<<，而{12}A x x =-<<∣，所以{|13}A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，因此2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥.16.已知函数()2x b f x x a +=+是定义在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数且()113f =-.（1）求()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t 的不等式()()1340f t f t -+-->.【答案】（1）2()4xf x x =-（2）答案及解析（3）41{|}34t t -<<-【解析】【分析】（1）对于奇函数，有(0)0f =，再结合1(1)3f =-，可以求出函数中的参数a 和b ，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量1x ，2x ，然后作差12()()f x f x -，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式(1)(34)0f t f t -+-->即可.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，定义域为(2,2b a--，所以(0)0f =，即0b a =，所以0b =.又因为1(1)3f =-，1(1)1b f a+=+，把0b =代入得1113a =-+，解得4a =-.所以2()4xf x x =-，经验证此时为奇函数.【小问2详解】()f x 在(2,2)-上单调递减.理由如下：设1222x x -<<<.221212211222221212(4)(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----2212121212212122221212(4)(4)()4()(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x x x x x x x x x ----+-==----21122212()(4)(4)(4)x x x x x x -+=--因为1222x x -<<<，所以210x x ->，214x <，224x <，1240x x +>，2212(4)(4)0x x -->.所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减.【小问3详解】解关于t 的不等式(1)(34)0f t f t -+-->，因为()f x 是奇函数，所以(1)(34)0f t f t -+-->可化为(1)(34)(34)f t f t f t ->---=+.又因为()f x 在(2,2)-上单调递减，所以2122342134t t t t -<-<⎧⎪-<+<⎨⎪-<+⎩，解212t -<-<得13t -<<.解2342t -<+<得5144t -<<-.解134t t -<+得43t >-.综上，取交集得1{|1}4t t -<<-.17.已知函数()2122a f x x x ab a -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，0a ≠，0b ≠.（1）当1b =，且0a <时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若2a >，2b >，若()10f =，求a b +的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】【分析】解含参数的一元二次不等式，分102a -<<和102a -<<和12a =-求解即可；代入 f 海 ，再变形为()()223a b --=，结合基本不等式求解即可；【小问1详解】当1b =，且0a <时，不等式()0f x <即21220a x x a a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，等价于()21220ax a x +-->，等价于()()120ax x +->当12a ->即102a -<<时，12x a <<-；当12a -<即12a <-时，12x a -<<；当12a =-时，12a -=，解集为∅；所以不等式的解集为：当102a -<<时，1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当12a <-时，1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12a =-时，解集为∅；【小问2详解】()122101a f ab a -==+-，即1220ab a b +--=，即()()223a b --=因为2a >，2b >，所以322b a =+-，所以332244422a b a a a a +=++=-++≥+=+--，当且仅当322a a -=-即2a b ==+所以最小值为4+.18.已知函数()2425a f x x x=-+-，()2g x x ax a =-+.（1）当1a =时，若[]1,2x ∈，求()f x 的最大值；（2）若[]1,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若[]1,2x ∀∈，使得()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5-；（2）()2min 1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；（3）[)5,+∞【解析】【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论a 的范围结合二次函数的性质计算即可；（3）令2t x x =+并分离参数将不等式转化为2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，利用对勾函数的性质计算即可.【小问1详解】当()224221191524a f x x x x ⎛⎫=⇒=-+-=--- ⎪⎝⎭，令2t x =，即()211924f x t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由[][]1,21,2x t ∈⇒∈，则()2max1191524f x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】易知()2224a a g x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，对称轴为2a x =，若12a <，即2a <时，()g x 在[]1,2上单调递增，则()()min 11g x g ==；若22a >，即4a >时，()g x 在[]1,2上单调递减，则()()min 24g x g a ==-；若212a ≥≥，即42a ≥≥时，()g x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()2min 24a a g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；综上()2min1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；【小问3详解】由()()224250f x g x x a x a x x ⎛⎫≥⇒+-+++≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上恒成立，令2t x x=+，由对勾函数的性质知t在⎡⎣时单调递减，2⎤⎦上单调递增，易得t ⎡⎤∈⎣⎦，则222242225110x a x a x a x a t at a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++=+-+++=-++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分离参数得211t a t +≥-在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令2121211t y y t t t +=⇒=-++--，t ⎡⎤∈⎣⎦，由对勾函数的性质知y在t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，即2max 31531y +==-，所以5a ≥，即a 的取值范围[)5,+∞.【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函数进行计算，换元需注意所换元的范围即可.19.对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点；若()()00ff x x =，则称0x 为()f x 的稳定点；若0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠则称0x 为()f x 的周期点.已知函数()21f x x a =+-，()()221g x x a x =++-.（1）若2a =，求()f x 的不动点；（2）若2a =，求()g x 的稳定点；（3）若()()y g x f x =-存在周期点，求a 的取值范围.【答案】（1）-1（2）3132x -=，1x =-，4x =-（3）3a <-或1a >【解析】【分析】（1）由函数新定义求出即可；（2）由函数新定义先求不动点，再求稳定点即可；（3）由函数新定义，先求不动点，再由不动点一定是稳定点得到方程()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，然后再由存在周期点的情况得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零，再分类讨论即可；【小问1详解】2a =时，()21f x x =+，由题意可得21x x +=，即1x =-，所以()f x 的不动点为-1；【小问2详解】2a =时，()241g x x x =+-，先求不动点()241g x x x x =+-=，因为不动点一定是稳定点，故2310x x +-=，3132x -±∴=，则()()()()222414411g g x x x x x x =+-++--=()()222314311x x x x x x x ⇒+-+++-+-=；()()()222223123143141x x x x x x x x x x ∴+-+++-++-+-=，化简可得()()2231540x x x x +-++=，由于2310x x +-=的解是不动点，故2540x x ++=的解，即1x =-或4x =-为周期点，32x -±∴=，1x =-，4x =-为稳定点.【小问3详解】()()()()222121y g x f x x a x x a x ax a =-=++--+-=+-，令2x ax a x +-=，则()210x a x a +--=的解1x =和x a =为不动点，同时不动点一定是稳定点，则()()222x ax aa x ax a a x +-++--=，()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤∴+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，化简可得()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，由于()210x a x a +--=的解是不动点，故()()y g x f x =-存在周期点的情况为：()2110x a x +++=有解，且至少有一个解不是()210x a x a +--=的解，故()22Δ14230a a a =+-=+-≥，解得3a ≤-或1a ≥，同时，当1x =是()2110x a x +++=的解时，3a =-，此时()2110x a x +++=的解只有1x =，与题意不符合，故舍去；当x a =-是()2110x a x +++=的解时，1a =，此时()2110x a x +++=的解只有1x a =-=-，与题意不符合，故舍去；综上，3a <-或1a >.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于求稳定点的时候先求不动点；第三问关键在于由不动点一定是稳定点得到方程()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，再由周期点的定义得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零.。
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题(解析版)
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2{|04},|230M x x N x x x =<<=-++>，则M N ⋃=（ ） A ．()(),10,-∞-+∞B ．(0，3)C ．(-3，4)D ．(-1，4)【答案】D【分析】解一元二次方程求集合N ，应用集合的并运算求M N ⋃即可. 【详解】由题意，{|13}N x x =-<<，而{|04}M x x =<<， ∴{|14}M N x x ⋃=-<<. 故选：D2．已知i 是虚数单位，复数()3a ia R i-∈的虚部为1，则复数2z ai =+的模为（ ）ABCD ．3【答案】B【分析】根据复数的除法运算，化简3a ii-，由题中条件，求出a ，再由模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为22333a i ai i ai i i--+==---，又其虚部为1，则1a -=，所以1a =-， 因此22z ai i =+=-，所以z ==.故选：B.3．已知实,x y 满足约束条件121050x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值是（ ） A ．-4 B ．-1C ．2D ．-5【答案】A【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2z x y =-+化为2y x z =+，观察图形可得，当直线2y x z =+过点C 时，z 最小，联立方程21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得()3,2C ，则min 2324z =-⨯+=-.故选：A.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由//m n 能根据面面垂直的判定定理推出αβ⊥，但由αβ⊥，不能确定m ，n 的位置关系.【详解】若//m n ，则由m α⊥，可知n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥ 若,m n αβ⊥⊂，αβ⊥，则m ，n 位置关系不确定. “αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．某几何体的三视图如图所示，若棱长为a 的正方体的外接球表面积为12π，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．10C ．143D ．263【答案】A【分析】有三视图还原几何体的直观图，由正方体外接球表面积，求棱长a ，进而求几何体的体积即可.【详解】由三视图可得几何体为正方体中的ABD ECF -部分，如下图示：由题意知：图示正方体的外接球表面积2412ππ==S r ，即3r =，∴223412a r ==，即2a =，∴几何体体积为32315102322123a a a a V =-⋅==.故选：A6．函数()sin 1a xx xf x a ⋅=-的图像不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合题中所给的函数解析式，对选项中所给的函数图象逐一分析，得到在什么情况下可取，利用sin [1,1]x ∈-，得到C 项不可能，得到答案. 【详解】当a 为正偶数时，()f x 为奇函数，图象关于原点对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以A 项可以； 当1a n=，且n 为偶数时，其定义域为(0,)+∞， 此时01a <<，所以10x a -<，而0a x >，所以当sin 0x >时，()0f x <，当sin 0x <时，()0f x >，所以B 项可以； 当a 为不等于1的正奇数时，()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以D 项可以；因为只要a 的值确定了，1a x xa -的符号就可以确定，而sin x 的符号是不确定的，所以()f x 的图象不会都落在x 轴的上方，所以C 项不可以； 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关图象识别问题，解题思路如下：（1）观察题中所给的函数解析式，对选项中的图象逐一分析，得到对应参数取哪些值时可以得到相应的图，即可认为是可以的；（2）对参数的值进行对比，得到部分式子的符号，结合正弦函数的值域，得到其应该有零点，且函数值即有正值也有负值，分析得到结果； （3）对比得到答案.7．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N--===+≥∈，记其前n 项和为n S ，若2020(a m m =为常数)，则2018S 的值为（ ）A ．2m -B ．1m -C ．mD ．1m +【答案】B【分析】由()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈关系，可得202022018aa S =+，结合已知条件即可求2018S .【详解】202020192018a a a m =+=，201920182017a a a =+，201820172016a a a =+，…，3212a a a =+=，∴20202123201822018...a a a a a a a S m =+++++=+=，而21a =， ∴20181S m =-. 故选：B9．在正三棱台111ABC A B C -中，1113362AB AA A B ===，D 是BC 的中点，设1A D 与1,,BC BB BA 所成角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αγβ<<B ．αβγ<<C ．βγα<<D ．γβα<<【答案】D【分析】设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案. 【详解】如图正三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C 、均为正三角形，设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为1113362AB AA A B ===，所以1116243AB AA A B BD ====，，， ，2226933AD AB BD =-=-=，取11B C 中点F ，则2211116423A F A B B F =-=-=，因为1O O ，为正三角形111ABC A B C 、的中心，所以111:2:1:2:1AO OD AO O F ==，，所以233AO OD ==，，1114323AO O F ==，，作1A G AD ⊥交AD 于G ，则11GO A O =，234323AG AO GO ==-=-，所以222112326433AG AA AG ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()()14326023,0,03,0,33,0,33,0,0,33A D B C A ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 所以173260,A D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()60,0BC =-，，13261,BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，-，()333,0BA =--，，所以11cos 0A D BC A D BCα⋅==⋅，11111519cos 419194A D BB A D BB β⋅===⨯⋅⨯， 11212119cos 2196A D BA A D BAγ⋅===⨯⋅⨯， 综上所述，cos cos cos αβγ<<，αβγ>>. 故选：D.【点睛】本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.10．已知实数,x y 满足221,01,01x y x y +=<<<<，当41x y +取最小值时，x y的值为（ ）A B C D ．1【答案】A 【分析】先设(0)x m m y =>，即x my =，结合题的条件，得到2211y m =+，将题中式子进行变形41414m x y my y my ++=+==到22816()817f m m m m m=++++，利用导数研究函数的最值即可得结果. 【详解】设(0)xm m y=>，即x my =，因为221,01,01x y x y +=<<<<， 所以2221m y y +=，所以2211y m =+，所以41414m x y my y my ++=+== 令22222222(4)(1)(816)(1)816()817m m m m m f m m m m m m m +++++===++++， 23338328(4)8'()282(4)(2)(4)m f m m m m m m m m +=+--=+-=-+，因为0m >，所以当0m <<'()0f m <，当m >'()0f m >()f m 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当m =时，()f m 取得最小值，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关与最值相联系的问题，在解题的过程中，(0)xm m y=>，将其转化为求关于m 的函数的最值问题解决是解题的关键.二、填空题11．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________. 【答案】93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=，∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 12．已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【分析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-， 令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：分类讨论参数a 的取值范围，根据函数不等式恒成立求代数式范围，其中综合应用二次函数、三角函数的性质研究复合函数的单调性，进而确定代数式的最大值.13．已知||||1OA OB ==，若存在,m n R ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60，且()()12mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为___________. 【答案】132【分析】设a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+可得,,,A A B B ''共线，又1||||2a b B A ''-==，当1||2B A ''=为最小时AB 最小，而此时A '、B '关于y 轴对称，结合已知即可求AB 的最小值. 【详解】由题意，AB OB OA =-，∴令(1)a OA mAB OA m OA mOB '==+=-+，(1)b OB nAB OB n OB nOA '==+=+-，故有,,,A A B B ''共线，∵12a b B A '='-=，故当且仅当1||2B A ''=为最小时，AB 最小， ∴有A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，此时O 到AB ||3324B A ''=， ∴||3131216AB =-=，即132AB =.13. 【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+、OA 、OB 的终点共线，且1||||2a b B A ''-==可分析得A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，进而求最小值即可.三、双空题14．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且12a =，若124,,a a a 成等比数列，则公差d =___________，n a =___________. 【答案】2 2n【分析】由等差数列通项及等比数列的性质可得2(2)2(32)d d +=+，即可求d ，并写出通项公式n a .【详解】由题意，2141,3a a d a a d =+=+，又12a =且124,,a a a 成等比数列， ∴2(2)2(32)d d +=+，即220d d -=且0d ≠，故2d =， ∴1(1)2n a a n d n =+-=. 故答案为：2，2n15．圆22:430C x y x +-+=的半径为___________，若直线1y kx =+与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】1 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）把圆的一般方程化成标准式即得圆的半径； （21≤即得解.【详解】（1）由题得圆的方程为22(2)1x y -+=，所以圆的半径为1； （2）因为直线10kx y -+=与圆C 有公共点， 221,4411k k k ≤∴++≤+，所以24340,(34)0,03k k k k k +≤∴+≤∴-≤≤. 故答案为：1；4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：判断直线和圆的位置关系常用的有两种方法：（1）判别式法（利用二次方程的判别式∆判断）；（2）几何法（比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．二项式7x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和为___________，含3x 项的系数是___________.【答案】1- 280-【分析】令1x =，可得各项系数和；写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为3，解出参数r 的值，代入计算，即可得出含3x 项的系数． 【详解】令1x =，则各项系数和为()7121-=-设()()14773317722rr r r r r rr T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令4733r -=，解得3r =，即()3333472280T C x x =⋅-⋅=-， 故答案为：1-；280-17．在ABC 中，()cos 2cos 0a C c b A +-=，2b =，,43B ππ≤≤则A =___________边长c 的取值范围为___________.【答案】3π1⎡⎤+⎣⎦ 【分析】首先根据正弦定理边化角公式得到()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=，再利用正弦两角和公式即可得到1cos2A=，从而得到3Aπ=，利用正弦定理得到2sin1sinCcB==+，再求边长c的取值范围即可.【详解】因为()cos2cos0a C cb A+-=，所以()sin cos sin2sin cos0A C CB A+-=，即sin cos cos sin2sin cos0A C A CB A+-=，()sin2sin cos0A CB A+-=，sin2sin cos0B B A-=，因为sin0B>，所以1cos2A=，0Aπ<<，所以3Aπ=.由正弦定理得：2sin sincB C=，解得22sin2sin31sin sinBCcB Bπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+，因为43Bππ≤≤，所以1tan B≤211tan B≤+≤，即1c⎡⎤∈⎣⎦.故答案为：3π；1⎡⎤+⎣⎦四、解答题18．已知()()()0,3sin,cos,cos,cos,a x xb x x f x a bωωωωω>=-==⋅，12,x x是()12y f x=-的其中两个零点，且12minx xπ-=（1）求()f x的单调递增区间；（2）若10,,2210fπαα⎛⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin2α的值.【答案】（1）(),63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2450+.【分析】（1）化简可得()1sin262f x xπω⎛⎫=--⎪⎝⎭，由12minx xπ-=可得Tπ=，则可得1ω=，令222,,262k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈可解得单调递增区间；（2）由题可得3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则可求出sin α和cos α的值，即可求出所得.【详解】解：（1）()21cos2cos cos 2xf x x x x x ωωωωω+=-=-111cos2sin 22262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 12,x x 是函数()1sin 2126y f x x πω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的两个零点， 即12,x x 是方程sin 216x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两个实根，且12min x x π-= T π∴=，222πωπ∴==，则1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭令222,,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得,.63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为(),.63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）113sin ,sin 2621065f αππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=∴-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.40,,cos 266365πππππααα⎛⎫<<∴-<-<∴-= ⎪⎝⎭4sin sin sin cos cos sin 66666610ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4334332473sin22sin cos 2101050ααα+-+∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，解题的关键是正确利用二倍角公式、辅助角公式、和差化积公式进行化简.19．如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得3PB =，如图2.（1）求证：面PCE ⊥面ABCE ； （2）求PC 与面ABP 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）22211. 【分析】（1）连结BE ，可得BE EC ⊥，结合两图，可得BE EC ⊥，BE PE ⊥，又EC PE E ⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥面PEC ，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE ，由图1可得BE EC ⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE ===∴⊥又EC PE E BE ⋂=∴⊥面PECBE ∴⊂面ABCE ∴面PCE ⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132,,,1,0,0222AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =-11,,222PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 222sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角的正弦值为11. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直； （2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*2(2),n n S a n n N =--∈（1）求证：数列{}21n a n +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：*8,3n T n N <∈.【答案】（1）证明见解析，221nn a n =-+；（2）证明见解析.【分析】（1）构造等式2112(3)n n S a n --=--(2)n ≥，利用两式相减可得()12252n n a a n n -=+-≥，再根据等比数列的定义和通项公式可得解；（2）当1,2n n ==时，不等式显然成立，当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28n n n n n n a =<=-⨯--放大后，根据等比数列的求和公式求和，然后再放大即可得证.【详解】（1）22(2),n n S a n =--当1n =时，1111211S a a a ==-⇒=2n ≥时2112(3)n n S a n --=--.两式相减，得221122(2)(3)n n n n n S S a a a n n ---==---+-得()12252n n a a n n -=+-≥，则()()11111223212252122112323n n n n n n a n a n a n n a n a n a n -----+-+-+-+-===+--+-+-为常数 ∴数列{}21n a n +-是等比数列，首项为1212a +-=，121222n n n a n -∴+-=⋅=，所以221n n a n =-+，（2）当1n =时，111813T a ==<， 当2n =时，2121181123T a a =+=+=<， 当3n ≥时，11121221212n n n n n a n ==--+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令212n nn b -=，则11212n n n b +++=，1121212212(21)2n n n nn b n n b n ++++==--， 因为3n ≥，所以212(21)320n n n +--=-<，所以212(21)n n +<-，所以11n nb b +<，所以1n n b b +<，所以当3n ≥时，数列{}n b 单调递减， 所以当3n ≥时，3212315228n n n b -⨯-=<=， 所以当3n ≥时，1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--， 所以当3n ≥时，348111113222n nT ⎛⎫≤+++++⎪⎝⎭21118288182221338312n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯<+⨯⨯=-，综上所述：*8,3n T n N <∈. 【点睛】关键点点睛：当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--放大后再求和是解题关键.21．已知椭圆221:12y C x +=，拋物线22:2(0)C y px p =>，点()1,0A -，斜率为k的直线1l 交拋物线于B C 、两点，且12AC CB =，经过点C 的斜率为12-k 的直线2l 与椭圆相交于P Q 、两点.（1）若拋物线的准线经过点A ，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）标准方程为24y x =，焦点(1，0)；（2）存在，面积最大为226451p =. 【分析】(1)由抛物线的准线方程,2px =-根据条件可得1,2p -=-可求出p 的值，从而得到答案.(2) 设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y ，由12AC CB =，即得到211,3y y =设点A 到2l 的距离d ，则四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==，然后方程联立求出弦长PQ ，由点到直线的距离公式求出d ，从而求出答案.【详解】解：（1）抛物线的准线方程,2p x =-焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 则1,2,2pp -=-=抛物线的标准方程为24,y x =焦点(1，0) （2）设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y由1,2AC CB =得点()1,0A -在直线1l 上，且121112,1312y y y ==+ 设点A 到2l 的距离d ，四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==. ()()1233:1,:2kl y k x l y x x y =+=--+由()212y k x y px⎧=+⎨=⎩,得2220py y p k-+= 则2224Δ80,2p pp k k =-><,则 12122,2p y y y y p k +== 因为123,y y =所以2222221,,323y y p x p === 所以21,,3C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 22222233,822y y p k p x === 由12,l l 的斜率分别为1,2k k -、可设221:,23k l y x y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有2231413AC y yk k ===+ 故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =- 则直线2:3l x ty =+代入椭圆方程2212y x +=，得()221212160t y ty +++=()23434221216Δ1640,,1212t t y y y y t t =->+=-=++34PQ y y =-=点A 到2l 的距离d =四边形的面积289S t ==≤=-+当且仅当21764,251t p==时面积最大为【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和求四边形面积的最值问题，解答本题的关键是用点的坐标表示出故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =-，进一步表示出34PQ y y =-=，再求出点A 到2l 的距离d =，得到S =，属于难题.22．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果.【详解】（1）由题意()1x e ax g x x--=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x-≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x ⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x →→-==，所以1a =， 此时()()()()1,22xxx x h x eex h x e e x '=--=--令()22,xx e x τ=--则()21xx e τ='-当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增 ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下： （1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确定出导函数的符号，进而求得函数的单调区间；（2）首先利用导数研究恒成立问题，像最值靠拢，利用极限的思想，结合洛必达法则求得参数的值；（3）将参数的值代入函数解析式，利用导数研究其极值点，结合其范围证得结果.。
2023届浙江省浙南名校、七彩阳光联盟高三下学期2月返校联考数学试题(解析版)
2023届浙江省浙南名校、七彩阳光联盟高三下学期2月返校联考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{1A xx =≤-∣或3}x ≥，{}2log (3)B x y x ==-∣，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()1,3-B ．(3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(1,3]-【答案】A【分析】化简集合B ，根据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】{}2log (3)(,3)B xy x ∞==-=-∣，(,1][3,)A =-∞-+∞， (1,3)A =-∴R ，由图可知阴影部分表示的集合是()(1,3)A B =-R ， 故选：A.2．复数1132z =-，复数2z 满足121z z ⋅=，则下列关于2z 的说法错误的是（ ）A ．2132z =-B ．21z =C ．2z 3D ．2z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】C【分析】由已知求出2132z =-，根据复数的概念，即可判断各项.【详解】对于A ，由已知可得，21113i z z ==+-()()213i 13i 13i 13i==++- ()213i4=-132=-，故A 正确.对于B，因为212z =-，所以21z ==，故B 正确； 对于C ，根据复数的概念可知2zC 错误； 对于D ，根据复数的概念可知2z在复平面内对应的点为12⎛- ⎝⎭，故D 正确.故选：C.3．2022年11月30日，我国神舟十五号载人飞船圆满发射，并成功对接空间站组合体，据中国载人航天工程办公室消息，神舟十六号等更多的载人飞船正在测试准备中，第**号载人飞船将从四名男航天员A ，B ，C ，D 与两名女航天员E ，F 中选择3人执行飞天任务（假设每位航天员被选中的可能性相同），则其中有且仅有一名女航天员的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．45【答案】C【分析】根据古典概型及组合数求解即可.【详解】根据题意，随机选取3人共有36C 种选法，其中有且仅有一名女航天员的选法有1224C C 种，根据古典概型可得122436C C 3C 5P ==，故选：C4．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到的函数()y g x =图像与()cos(2)||2h x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像重合，则有（ ）A ．()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．3x π=是函数()h x 的对称轴D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 的对称中心【答案】B【分析】根据题意可得：12ω=，π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的变换即可求解.【详解】由题意，12ω=，所以π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又πππππsin 2cos 2cos 2cos 232366x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()cos 26h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，π12x =为对称轴.故选：B .5．已知p ，q 是关于x 的一元二次方程2(2)40ax b x a -++=的两根，其中,a b ∈R ，则()()2244apbp a aq bq a -+-+的值（ ）A ．仅与a 有关B ．仅与b 有关C ．与ab 均有关D ．是与ab 无关的定值【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，及,p q 满足方程化简后可求解. 【详解】因为p ，q 是关于x 的一元二次方程2(2)40ax b x a -++=的两根， 所以由韦达定理得4pq =，又2(2)40ap b p a -++=，所以242ap bp a p -+=， 同理242aq bq a q -+=，所以()()2244416ap bp a aq bq a pq -+-+==.故选：D6．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，,G I 分别为12PF F △的重心和内心，则PI PG ⋅=（ ）A ．12B ．43C D ．2【答案】B【分析】由题意设12PF F △的内切圆与三边分别相切于,,A B C ，可推出||||PB PC a c ==-，根据向量的数量积的运算律结合数量积的几何意义，化简求值，可得答案.【详解】由椭圆22143x y +=可得2,1a b c ===， 如图，设12PF F △的内切圆与三边分别相切与,,A B C ， ,G I 分别为12PF F △的重心和内心，则||||PB PC =，11||||F A FC =，22||||F A F B =， 所以1212|||||||||2|P PB F PF F F C a c P =+-==-,所以()()1212113332PI PG PG PI PO PI PF PF PI PF PI PF PI ⋅⋅⋅=+⋅=⋅+⋅==12|||||1(|3||)PF PC PF PB =+()121||3PB PF PF =+ 114()2(21)4333a c a =-⋅=⨯-⨯=， 故选：B7．设12022a =，120221tan e 2022=⋅b ，120231sin e 2023=⋅c ，则（ ） A ．c b a << B ．c<a<b C ．a c b << D ．a b c <<【答案】B【分析】先构造函数()()e 1xf x x =-+，()sin F x x x =-和()tan G x x x =-并分析单调性得出e 1x x ≥+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，并取特殊值得出1120232022111e e 202320222023<<，根据构造函数单调性分析即可得出结果. 【详解】设()()e 1x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，在(0,+)∞时，()0f x '>，在(,0)-∞时，()0f x '<，所以min ()(0)0f x f ==，即()e 10xx -+≥，所以e 1x x ≥+对任意x ∈R 均成立.取12022x =， 有1202212023e 120222022>+=，所以1202211e 20232022>. 再取12023x =-，可得1202312022e 120232023->-=，两边取倒数，即120232023e 2022<，所以1202311e 20232022<， 又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin F x x x =-，()tan G x x x =-，则()1cos 0F x x =->'，2222sin 1cos sin ()()10cos cos cos x x xG x x x x'-=-'==>，即()F x 和()G x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭均递增，所以()(0)0F x F >=，()(0)0G x G >=，即π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，所以1111202320232022202211111sin e e e tan e 20232023202220232023⋅<<<<⋅， 由tan x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，可得112022202211tan e tan e 20232022⋅<⋅，即c a b <<.故选：B【点睛】方法点睛:(1)对于实数比较大小我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数单调性分析. (2)作差法是比较两个数值大小最常用的方法，看其值是正还是负，从而确定所比较的大小. (3)当直接无法比较的时候，往往需要取适当的“媒介”数（通常以“0”，或“1”为媒介）， 分别与要比较的数比较，从而间接得出两数的大小.8．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c -和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=-； ②12F PF △面积最大值为212c ；③022c c y -≤≤；④PO 的最大值为2c ．其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c ， 即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++-=，整理可得()()22222200002x y c x y +=-，所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=-，故①正确； 对于②，1212121sin 2F PF SPF PF F PF ∠=221211sin 22c F PF c ∠=≤，故②正确； 对于③，因为12212001122F PF SF F y c y c =⨯=≤，所以022c c y -≤≤，故③正确；对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠， 所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+. 又因为122PO PF PF =+，所以()()22122PO PF PF =+2212122PF PF PF PF =++⋅221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠.所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++-⋅⋅∠()22122PF PF =+，即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确.故选：D.二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -中，1BD 与平面1AB C ，平面11AC D 的分别交于点E ，F ，则有（ ）A ．11BDBC ⊥B ．1BE EF FD ==C ．1B C 与1DD 所成角为60︒ D ．1B C 与平面11B BDD 所成角为30︒【答案】ABD【分析】利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直判断A 项；根据等体积转换11B ACB B ACB V V --=，即可求点B 到面1ACB 的距离，进而判断B 项；把异面直线平移到同一个平面即可判断C 项；可证CO ⊥平面11BB D D ，则直线1B C 与平面11B BDD 所成的角为1CB O ∠，即可判断D 项． 【详解】对A 选项，∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB ⊥1B C ，又11B C BC ⊥，且1BC ABB ，1BC ⊂平面11ABC D ，AB ⊂平面11ABC D ，∴1B C ⊥平面11ABC D ，又1BD ⊂平面11ABC D ，∴11B C BD ⊥，故A 正确；对B 选项，由选项A 知，11B C BD ⊥，又AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11ABC D ，∴1AC BD ⊥，且1B C AC C ⋂=，1B C ⊂平面1ACB ，AC ⊂平面1ACB ，∴1BD ⊥平面1ACB ，即BE ⊥平面1ACB ，同理1D F ⊥平面11AC D ，故点B 到面1ACB 的距离为BE .设正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，因为1ACB 为正三角形， 所以111πsin 2323ACB SAC AB =⨯⨯⨯=122ABCS AB BC =⨯⨯=. 根据等体积转换可知：11B ACB B ACB V V --=，即111133ACB ACBBE SBB S ⨯⨯=⨯⨯，即11232233BE ⨯⨯=⨯⨯，所以23BE =123D F =，又123D B =， ∴123BE EF FD ===B 正确； 对C 选项，∵11//DD CC ，∴11B CC ∠（或其补角）即为异面直线1B C 与1DD 所成角， ∵四边形11BCC B 为正方形，∴1145B CC ∠=︒，∴1B C 与1DD 所成角为45︒，故C 错误；对D 选项，∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB ⊥AC ，又BD AC ⊥，且1BB BD B ⋂=， 1BB ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，∴AC ⊥平面11BB D D ，设BD AC O ⋂=，则CO ⊥平面11BB D D ，连接1B O ，如图由线面角的定义知，1CB O ∠为1B C 与平面11B BDD 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，则2CO 122=BC ，∴1121sin 222CO CB O B C ∠===， ∵1090CB O ︒≤∠≤︒，∴130CB O ∠=︒，∴1B C 与平面11B BDD 所成角为30︒，故D 正确； 故选：ABD.10．定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数325()(0)3f x ax bx ab =++≠的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（ ）A ．13a =，1bB ．函数()f x 既有极大值又有极小值C ．函数()f x 有三个零点D ．过11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可以作三条直线与()y f x =图像相切【答案】AB【分析】根据“拐点”的定义与()f x 的对称中心，建立方程求出,a b 可判断A ，再由导数与函数单调性的关系即可判断()f x 的极值，从而判断B ，根据()f x 的单调性及()f x 的极值可判断C ，根据导数的几何意义求出()f x 的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D. 【详解】2()32f x ax bx '=+，()62f x ax b ''=+，∴()()1011f f ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即620513a b ax b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A 正确； 3215()33f x x x =-+，2()2f x x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当,()0x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 既有极大值又有极小值，故B 正确；由选项B 可知()f x 在0x =与2x =处取得极大值与极小值， 又5(0)03f =>，1(2)03f =>，即()f x 的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3个零点，故C 错误；设切点为()00,T x y ，则切线方程为()()3220000015233y x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，又切线过11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()3220000011521333x x x x x ⎛⎫--+=--- ⎪⎝⎭，化简得300320x x --=，即()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D 错误. 故选：AB.11．如图，过抛物线2:4C x y =焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，过A ，B ，M 分别作准线1l 的垂线，垂足分别为1A 、1B 、N ．则有（ ）A ．以AB 为直径的圆与1l 相切于点N B ．NF AB ⊥C ．111||||FA FB += D ．2||164||NF AB +的最小值为8 【答案】ABC【分析】由于||||2AB MN =可判断A ，设l 的方程为1y kx =+与2:4C x y =联立可得1NF k k ⋅=-即可判断B ，根据焦半径公式及均值不等式可判断C ，D ． 【详解】11||||||||222AA BB AF BF AB MN ++===，说明N 在以AB 为直径的圆上， 又1MN l ⊥，所以A 正确；设l 的方程为1y kx =+与2:4C x y =联立可得2:440C x kx --=，所以4A B x x k +=，4A B x x ⋅=-，22144A B A Bx x y y ⋅=⋅=，()0,1F ，,12A B x x N +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则11102NF A B k x x k --==-+-，所以1NF k k ⋅=-，所以NF AB ⊥，B 正确； 211111||||111A B A A B A B B y y FA FB y y y y y y +++=+==+++++，C 正确； 111||||FA FB +=，则||||||||FA FB FA FB +=⋅， Rt ANB △中，AN NB ⊥，NF AB ⊥，由射影定理可得2NF AF FB =⋅，则2||16||||16||||16||||16244||4||||4||||4||||NF AF FB AF FB AF FB AB AF FB AF FB AF FB ⋅⋅⋅+=+=+≥⨯=+⋅⋅当且仪当||||8FA FB ⋅=时取到，而||||[4,)FA FB ⋅∈+∞，D 错误． 故选：ABC12．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '．若()()42f x g x --=，()(2)g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()()354g g +=-C ．20231()0k f k ==∑D ．20231()0k g k ==∑【答案】BC【分析】由()(2)g x f x ''=-得()()2g x f x a =-+，结合()()42f x g x --=得()()22f x f x a =-++，即可令1x =求得2a =-.对A ，由()(2)f x f x =-可判断其对称性；对C ，由()2f x +为奇函数可得()y f x =的周期、对称性及特殊值，从而化简； 对BD ，由()()22g x f x =--，结合C 即可判断.【详解】对A ，∵()(2)g x f x ''=-，则()()2g x f x a =-+，则()()42g x f x a -=-+， 又()()42f x g x --=，所以()()22f x f x a =-++，令1x =，可得20a +=，即2a =-. 所以()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，A 错；对C ，∵()2f x +为奇函数，则()y f x =图像关于()2,0对称，且()()220f x f x ++-=， ∴()00f =，()20f =，()()130f f +=，()()400f f +=，∴()40f =.又()()()22f x f x f x +=--+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()y f x =的周期4T =， ∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，C 对；对B ，()()22g x f x =--，则()g x 是周期4T =的函数，()()()()3512324g g f f +=-+-=-，B 对； 对D ，2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()220234046k k g k f f f f f k ===--+-+-+⋯+-=-⨯=-∑∑，D 错.故选：BC.三、填空题13．已知()21nx x ++的展开式中各项系数和为27，则含4x 项的系数为________．（用具体数字作答） 【答案】6【分析】利用赋值法可求得3n =，再将三项拆分成两项根据4x 项的组成分别计算即可得其系数. 【详解】令1x =，可得327n =，所以3n =，则()321x x ++的展开式中只有()2232C x x +和()3332C x x +中含4x 项，分别为()22204322C C 3x x x =和()122431333C C x x x =，故其系数为336+=.故答案为：614．已知()1,1P 为圆22:4O x y +=内一点，AB ，CD 是过点P 且互相垂直的两条弦，则四边形ABCD 面积S 的最大值为________． 【答案】6【分析】根据圆的半径、半弦长、弦心距的关系及矩形的面积公式得到矩形面积的表达式，再利用均值不等式求最值即可.【详解】设圆心O 到直线AB ，CD 的距离分别为12,d d ，则21||24AB d =-，22||24CD d =-，所以()2222221212121||||24421642S AB CD d d d d d d =⋅=-⋅-=-++， 又22212||2d d OP +==，()22212221214d d d d +⋅≤=，当且仅当22111d d ==时等号成立.所以6S ≤. 故答案为：615．三棱锥A BCD -内接于半径为30的球O ，且214AB =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________． 【答案】9863【分析】设O 到CD 的距离为0d ，点M 到直线CD 的距离为d ，则 0d d OM ≤+，所以()0142MCDSCD d ≤⨯⨯+，利用函数导数求出面积最大值，从而根据锥体的体积公式即可求解． 【详解】如图，取AB 的中点为M ，则30144OM =-=，设O 到CD 的距离为0d ，点M 到 直线CD 的距离为d ，A ，B 两点到平面MCD 的距离分别为12,h h ，则20230CD d =-，04d d ≤+，所以()()()2220000123043042MCDSd d d d≤⨯-+=-⨯+令()22()30(4)f x x x =-⨯+，则()4(5)(4)(3)f x x x x =+'-+-，所以当3x =时，()()32149max f x f ==⨯，所以721MCDS≤()12111986||7212143333A BCD MCDMCDV Sh h SAB -=⋅+≤⋅≤⨯⨯=， 当且仅当70MC MD ==，且AB ⊥平面MCD 时取等号． 故答案为：986316．已知曲线e ax y =与1ln y x a =的两条公切线的夹角正切值为34，则3a =________． 【答案】32e 【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性质及正切函数倍角公式，可求得两条公切线的夹角一半的正切值，即可求得直线AD 的斜率.设点A 的横坐标为1x ，切点D 的横坐标为2x ，由导数法分别就A 、D 两点求同一条切线方程，从而建立方程，化简求值. 【详解】e ax y =与1ln y x a=互为反函数，图像关于直线y x =对称，如图所示，由题意，两条公切线的夹角正切值为22tan 3tan 21tan 4θθθ==-，解得1tan 3θ=或tan 3θ=-，又θ为锐角，所以1tan 3θ=.由对称性，不妨取AD 直线进行研究，则直线AD 的倾斜角π4αθ=+，π1tan tan tan 241tan k θαθθ+⎛⎫==+== ⎪-⎝⎭.设点A 的横坐标为1x ，切点D 的横坐标为2x ，则()11,e ax A x ，1e 2ax AD k a ==，∴()11:e 2ax AD l y x x -=-，即112e 2axy x x =++.所以221,ln B x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，212AD k ax ==，()221:ln 2AD l y x x x a -=-，即2212ln 2y x x x a =+-. ∴11221e 2ln 2axx x x a-=-，则1122e 2ln 2ax a ax x ax -=-，即1222ln 1ax x -=-，则122ln 3ax x +=，所以122ln 3ee ax x +=，即()1122232212e2=ee ax ax x x a a ⎛⎫=⨯ ⎪=⎝⎭，所以332e a =.故答案为：32e . 【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用两切线为同一条切线得出方程，从而进一步求解.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1,1n n n S a n n n *-+=∈+N ，记1(1)n n b a n n =++．(1)证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最大值．【答案】(1)证明见解析，112(1)=-+n n a n n ； (2)1180.【分析】（1）根据n a 与n S 之间的关系可得，1122(1)(1)n n n n a a n n n n ---=+-+-，进而可推得1212(1)(1)n n a a n n n n -+=++-，即12n n b b -=，求出10a =，可得出112b =，即可得出n b ，进而得出n a ；（2）作差可得()()11212n n n n S S n n n n -++--=⋅，通过研究函数2()(1)nf n n n =+的性质，即可得出5n ≥时，n S 单调递减，进而求出12345,,,,S S S S S 的值，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，1(1)n n n S a n n -+=+①，当2n ≥时，有112(1)n n n S a n n---+=-②，①-②整理可得，1122(1)(1)n n n n a a n n n n ---=+-+-，所以22(1)n a n n ++1212(1)(1)(1)n n n a n n n n n n ---=++-++-11(1)n a n n -=+-，即12n n b b -=，又11120a S a =+=，所以10a =， 所以111122b a =+=，112n n b b -=， 所以{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n nb =，则111(1)2(1)n n n a b n n n n =-=-++；（2）由（1）可知，111(1)12n n n n S a n n n -=-=-++，所以，当2n ≥时，有()()1112111112212nn n n n n S n n S n n n n ----=+-⎛⎫--= ⎪++⋅⎝⎭， 所以要求n S 的最大值，先比较2n 与()1n n +的大小，令2()(1)nf n n n =+，则(1)242()22f n n f n n n +==-++， 根据函数的单调性，可知当2n ≥时，(1)42()2f n f n n +=-+单调递增. 且2n =时，有()()312f f =，所以()()2323f f ==. 当3n ≥时，有()()11f n f n +>，所以()f n 单调递增. 又4(4)15f =<，16(5)115f =>， 所以5n ≥时，()1f n >，所以5n ≥时，有10n n S S --<，即n S 单调递减， 又10S =，2112S =，318S =，41180S =，51396S =， 所以4S 最大，此时41180S =. 18．如图，平面四边形ABCD 中，5AD =，3CD =，120ADC ∠=︒．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-．(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R ； (2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围． 【答案】(1)73R =(2)r ⎛∈ ⎝⎦【分析】(1)利用余弦定理求出7AC =，再利用正弦定理和余弦定理求得3B π=，进而得到A ，B ，C ，D 四点共圆，利用正弦理即可求解. （2）结合（1）的结论和正弦定理可得：7)r a c =+-，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.【详解】（1）在ACD 中，2222cos12049AC AD DC AD DC =+-︒⋅⋅=， 所以7AC =，由正弦定理，sin sin sin sin a b A C a cc A B a b+--==--，可得222b a c ac =+-， 再由余弦定理，1cos 2B =，又(0,)B π∈，所以3B π=.因为120ADC ∠=︒， 所以180ABC ADC ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆， 则四边形ABCD 的外接圆半径就等于ABC 外接圆的半径.又2sin b R B ==，所以R =（2）由（1）可知：2249a c ac +-=，则2()493a c ac +=+.11sin ()22ABCSac B a b c r ==++⋅，则2()497)7a c r a c a c +-=+-++. 在ABC 中，由正弦定理，sin sin sin a c b A C B ===a A =，c C =，则()sin )sin sin 120a c A C A A ⎤+=+=-︒+⎦1sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，π14sin (7,14]6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以r ⎛∈ ⎝⎦. 19．已知四边形ABCD 中，90ABC CAD ∠=∠=︒，AB BC AD ===O 是AC 的中点，将ABC沿AC 翻折至APC △．(1)若6PD =，证明：PO ⊥平面ACD ；(2)若D 到平面P AC 的距离为3，求平面P AC 与平面ACD 夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)π3【分析】(1)由题目已知可得出AD ⊥平面P AC ，从而得到AD PO ⊥，再由等腰三角形性质可得PO AC ⊥，进而得出结论.(2)取CD 中点F 并连接OF ，PF ，可得出所求二面角，再利用已知条件，构建直角三角形，即可计算两平面的夹角.【详解】（1）PAD 中，2PA =，2AD =，6PD =，所以222PD PA AD =+， 则PA AD ⊥，又AD AC ⊥，所以AD ⊥平面P AC ，PO ⊆平面P AC ，所以AD PO ⊥. 又因为PA PC =，O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥，ACAD A =，所以PO ⊥平面ACD .（2）取CD 中点F ，连接OF ，PF ，在POF 中过F 作FG 垂直于PO ，垂足为G ，OF AD ∥，则OF AC ⊥， 又因为AC PO ⊥，所以∠POF 为平面P AC 与平面ACD 夹角，所以AC ⊥平面POF ，又FG ⊆平面POF ， 所以AC FG ⊥，又FG PO ⊥，所以FG ⊥平面P AC ，所以FG 就是点F 到平面P AC 的距离， 因为点D 到平面P AC 的距离为3，又由F 为CD 中点，所以F 到平面P AC 的距离为32. Rt OFG △中，3sin 2GOF ∠=，因为点G 可能在PO 上，也可能在PO 的延长线上， 所以π3POF ∠=或2π3，所以平面P AC 与平面ACD 所成角不会是钝角，所以大小为π3.20．近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,, 25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++【答案】(1)①51100；②57(2)有【分析】（1）利用对立事件性质与条件概率公式即可求解； （2）代入公式即可求出值，再与表格数据对比即可求解.【详解】（1）①由题意该团队不能通过审查的概率为：413151111125485100⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；②假设该团队通过审查的事件为A .通过技术技能检测的事件为B ，则由题意， 49()100P A =，35()100P AB =，则()355()()497P AB P B A P A |===； （2）根据题意得22100(2835712)11.76510.82885154060χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联.21．已知点F 为双曲线22Γ:1412x y -=的右焦点，过F 的任一直线l 与Γ交于A ，B 两点，直线1:1l x =．(1)若(),M x y 为曲线Γ上任一点，且M 到直线1l 的距离为d ，求||MF d的值； (2)若()4,6M -为曲线Γ上一点，直线MA ，MB 分别与直线1l 交于D ，E 两点，问以线段DE 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)过定点，()2,0P -或()4,0P【分析】（1）得到焦点()4,0F ，计算出MF 与d ，相比后得到答案；（2）方法一：设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，得到直线MA 的方程，求出D 点坐标，同理得到E 点坐标，由对称性可知，定点P 一定在x 轴上，设为(),0P a ，由0PD PE ⋅=得到2(1)9a -=，求出2a =-或4a =，故线段DE 为直径的圆过定点()2,0P -，或()4,0P ；方法二：在第一问基础上，作出辅助线，得到||||||||AF AD MF DM =，由正弦定理求出AFD MFD ∠=∠，FD 是AFM ∠的角平分线，同理可得BFE MFE ∠=∠，FE 是BFM ∠的角平分线，.所以90EFD ∠=︒，即FD FE ⊥，故以DE 为直径的圆经过点()4,0，由对称性可知，()2,0-也满足条件.【详解】（1）由题意得：()4,0F ，故||2MF d ===．（2）方法一：设直线l 的方程为4x my =+，与双曲线方程22312x y -=联立得：()223124360my my -++=，设()(),,,A A B B A x y B x y ，则22431A B m y y m -+=-，23631A By y m ⋅=-. 直线MA 的方程为66(4)4A A y y x x --=++， 令1x =，可得()56(56)18648A A D A A y m y y x my -++=+=++，所以(56m)181,8A A y D my ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，同理(56m)181,8B B y E my ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭.由对称性可知，定点P 一定在x 轴上，不妨设为(),0P a ，则(56)181,8A A m y PD a my ⎛⎫++=- ⎪+⎝⎭，(56m)181,8B B y PE a my ⎛⎫++=- ⎪+⎝⎭，则2(56)18(56)18(1)88A B A B m y m y PD PE a my my ++++⋅=-+⋅++()()2222(56)18(56)18(1)864A B A B A B A B m y y m y y a m y y m y y ++⨯+++=-++++222222223624(56)18(56)183131(1)36248643131m m m m m a m m m m m +-⨯+⨯+--=-+-⨯⋅+--()()22222236(56)1824(56)1831(1)368246431m m m m a m m m m +-⨯⨯++⨯-=-+-⨯+⨯-222291681(1)(1)90916m a a m ⨯-=-+=--=-， 所以2(1)9a -=，则2a =-或4a =.所以线段DE 为直径的圆过定点()2,0P -，或()4,0P .方法二：分别过点,A B 作1AA ⊥直线1x =于点1A ，1BB ⊥直线1x =于点1B ，过M 作MN ⊥直线1x =于点N ，连接,FE FD ，由（1）结论可知：1||||2||AF MF AA MN ==，则有1||||||AA AF MF MN =， 再由1AA D MND ~，可得1||||||AA AD DM MN =，所以||||||||AF AD MF DM =， 在ADF △中，由正弦定理得：sin sin AD AF AFD ADF =∠∠，即sin sin AD AFD AF ADF∠=∠， 在MDF △中，由正弦定理得：sin sin MD MF MFD MDF =∠∠，即sin sin MD MFD MF MDF ∠=∠， 故sin sin sin sin AFD MFD ADF MDF∠∠=∠∠， 因为πADF MDF ∠+∠=，所以sin sin ADF MDF ∠=∠，sin sin AFD MFD ∠=∠，显然πAFD MFD ∠+∠≠，所以AFD MFD ∠=∠，说明FD 是AFM ∠的角平分线，同理可得BFE MFE ∠=∠，FE 是BFM ∠的角平分线，.所以()1902EFD AFM BFM ∠=∠+∠=︒，即FD FE ⊥. 故以DE 为直径的圆经过点()4,0，由对称性可知，()2,0-也满足条件.【点睛】圆过定点问题常见策略，方法一：通法，引入参变量，建立曲线方程，通常要求出两交点的横坐标或纵坐标的和与积，再利用直径所对的角为直角，采用向量数量积为0列出方程，求出定点，这当中可由对称性猜测出定点所在的位置，从而简化计算；方法二：根据题目条件，挖掘出隐含的几何关系，从而找到圆过得定点，难度较大.22．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--．(1)当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a ≥时，令()()()212g x f x a x a =+--+，记()g x 的唯一零点为0x ，若11sin x a x +=，证明：10e <x x ．【答案】(1)()21y x =-(2)2a ≤(3)证明见解析【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)将不等式等价转化为(1)ln 01a x x x -->+在(1,)+∞上恒成立，令(1)()ln 1a x h x x x -=-+，二次求导，分类讨论导函数的正负确定函数的单调性，根据单调性进而求解；(3)对函数二次求导，判断函数的单调性，利用零点存在性定理得出存在0(,1)x m ∈，使得()00g x =，然后根据条件证明唯一性即可求解.【详解】（1）当0a =时，()(1)ln f x x x =+，1()ln 1f x x x'=++，(1)2f '=， ()10f =，则切线方程为()021y x -=-，即()21y x =-.（2）当1x >时，()(1)ln (1)0f x x x a x =+-->恒成立， 即(1)ln 01a x x x -->+恒成立， 令(1)()ln 1a x h x x x -=-+，则22212(22)1()(1)(1)a x a x h x x x x x +-+=-=++'， 记2()(22)1x x a x μ=+-+，Δ4(2)a a =-①当02a ≤≤时，Δ0≤，()0x μ>恒成立，即()0h x '>恒成立，所以()h x 递增，则()()10h x h >=.②当a<0时，220a ->，()0x μ>恒成立，即()0h x '>恒成立，所以()h x 递增，则()()10h x h >=.③当2a >，Δ4(2)0a a =->，设()0x μ=的两根为12,x x ，则12220x x a +=->，121x x ⋅=，则1201x x <<<，所以()21,x x ∈时，()0x μ<，即()0h x '<，则()h x 递减，()10h =，则()21,x x ∈时，()0h x <，矛盾.综上所述，2a ≤.（3）()()2(1)2(1)ln (2)2g x f x a x a x x a x =+--+=++-+，则1()ln 1g x x a x +'=+-，22111g ()x x x x x-''=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x ''<，()g x '在(0,1)递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ''>，()g x '在(1,)+∞递增：()(1)0g x g a ''≥=≥，所以()g x 在(0,)+∞递增，因为()1g a =，当0a =时，()g x 存在唯一零点01x =；当1a >时，()11g a =>，取2e 1a m --=<.此时，()(1)ln (2)2g m m m a m =++-+=2ln ln 22ln 2ln e 20a m m m am m m a a --++-+<++=++=，所以由零点存在定理可知，存在0(,1)x m ∈，使得()00g x =.综上，()g x 存在唯一零点.()()00001ln (2)20g x x x a x =++-+=，01x ≤，所以()0001ln 22x x a x -+-=+， 因为11sin x a x +=，所以11sin a x x =-，则()001101ln 22sin x x x x x -+-+=-， 令0ln t x =，则0e t x =，0t ≤，所以()11e 122sin e t t t x x -+-+=-，下面证明1t x >.设()sin F x x x =-，则()cos 10F x x '=-≤，所以()F x 在R 上递减，又()00F =，所以当0x ≤时，()0F x ≥，所以10x ≤.设()e 122()22e e x x xx x G x x -+-+=+=--+，0x ≤，则()e (1)1x G x x -=+-'，()e 0x G x x -=-'≥'，所以()G x '在(,0]-∞递增，()(0)0G x G ''≤=，所以()G x 在(,0]-∞递减. 再设2()()()2sin ex x H x G x F x x +=-=-+-，0x ≤，所以()e (1)cos x H x x x -'=+-， ()e sin e 0x x H x x x x x --'=-'-+≥≥，所以()H x '在(,0]-∞递增，()(0)0H x H ''≤=，()H x 在(,0]-∞递减，所以()()00H x H ≥=，所以()()G x F x ≥，当0x =时取等号。
浙江七彩阳光高考联盟2023-2024学年高二上学期返校联考数学试题及参考答案
绝密★考试结束前高二数学学科 试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知集合{π}A x x =<，{}2,B y y =>则集合A B = ( )A .∅B .π2(，)C .,2∞(-)D .π∞(-，)2.“α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件3.右图是H 城市某路段监测到的上午007：至008：通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图,若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在[)60,50的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（ ）辆 A .10 B .20C .30D .404.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以4rad s π的速度爬行，黑蚂蚁以12rad s π的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）A .1BC .3πD .6π5.已知a b ，是实数，且满足0a b >>，则（ ） A.ln()ln()a b a b −>+ B.3a b a b π−−<C.2a bb a +<<< D.11a b a b−<−1cm 第3题图6.若对任意实数a ，b 规定||(,)2a b a b F a b +−−=，则函数2(3,2)F x x −的最大值为（ ）A .1B .2C .3D .47.设x R ∈，若函数()f x 为单调函数，且对任意实数x ，都有(()2)1x f f x −=，则(2)f −的值等于（ ） A .12−B .14−C .12D .148.已知长方体1111ABCD A B C D −中3AB =，4AD =，15AA =，用过该长方体体对角线1AC 的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）A .B C . D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学学科 参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
C
D
A
A
C
C
C
B
B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
=
−
2b 3a
得：
x0
=1−
2b 3a
，又
x0
0 ，故1−
2b 3a
0
，又 a
0
，故 3a
2b ，则(3)
不正确；综上，(1)、(4)正确，选 B
10，解析：若 S 有 2 个元素，不妨设 S = {a, b} ，由②知集合 S 中的两个元素必为相反数，故可设
S = {a,−a}；由①得 0 T ，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素 m T ，当集
所以， MN 2 = ( AC − AB)2 = 1化简得： 2 + 2 − = 1 4
另一方面， BN CM = ( AC − AB) ( AB − AC ) = 2 − 4( + ) + 2
因为， 2
+
2
−
=
1 4
，令
= =
x+ x−
y y
，则
x2
+ 3y2
=
1 4
BN CM = 2 − 4( + ) + 2 = 2(x2 − y2 ) − 8x + 2
2 1排除 D 选项.故选 C
又( a + b )2 a + b ，a + b 1 ,aa + bb a + b 1
2
2
2
2
7，解析：分别以 A(−1,3) ， B(2,−1) 为圆心，半径分别是 2和3 画圆，两圆位置关系是外切，
公切线有三条，故选 C.
8，解析：当 n = 3 时， (2x −1)3 = −1+ 6x −12 x2 + 8x3 ， a1 + a2 a3 ，A 错； a0 + a1 a2 ，B 错；
由①②知： tan B = 3 B = ............................5 分 3
（Ⅱ） sin2 A + cos2 C = 1− cos 2A + 1+ cos 2C ...........................7 分
2
2
= 1 cos 2C − 1 cos 2A +1
将 y2 = 1 − x2 代入得： BN CM = 8 x2 − 8x + 11 ，对称轴 x = 3
12 3
3
6
2
由 y2 = 1 − x2 0 − 1 x 1
12 3
2
2
高三数学学科 参考答案 第3页 共 12 页
进一步知： BN CM = 8 x2 − 8x + 11 在 − 1 x 1 上单调递减
由 a3 +1 = (a1 +1) q2 0 ，得 a3 +1 = 2 ，故 a3 = 1，选 D，
4，解析：由已知得：a = 3,故 b = 3 ,e = 1+ (b )2 = 2 3 ，选 A
b
a3
a
3
5，解析：若空间中的三条不同直线 l，m，n 两两垂直，则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两 条线所在平面的情况，故 l，m，n 一定不共面。反之若 l，m，n 不共面，可以两两成 60 度角，不一 定两两垂直，故选 A.
由（Ⅰ）知 AD ⊥ 平面 DBC， ABD 为所求角.....................11 分
AD = 2a ，则 BC = a ，又 AC = 2a ，∠ACB＝60°，由余弦定理知： AB = 3a
..........................................13 分
合T 有 2 个元素时，由②得： − m S ，则 m = a ，T = {0,−a} 或T = {0, a} .当集合T 有多于 2
个 元 素 时 ， 不 妨 设 T = {0, m, n} ， m, n,−m,−n, m − n, n − m S ， 由 于 m, n 0 ， 所 以
m m − n, n n − m ，又且 m n ，故集合 S 中至少 3 个元素，矛盾； 综上， S T = {0, a,−a} ，故 B 正确；
3
62
2
所以， BN CM 的取值范围是 [− 3 , 13] . 22
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：（Ⅰ）由正弦定理知： b sin A = a sin B = 3 ①............................3 分
又由已知条件： a cos B = 3 ②
又平面 ACFD⊥平面 DBC，平面 ACFD 平面 DBC=DC，AD 平面 ACFD
AD ⊥ 平面 DBC .....................6 分
BC 平面 DBC
AD ⊥ BC
..........面 DBC 所成角即为直线 AB 与平面 DBC 所成角.....................9 分
2
3
ABC是锐角三角形 C 2 2C + 4 ...................12 分
6
23
33
3 sin(2C + ) +1的取值范围是 (1 , 7 )
2
3
44
即 sin 2 A + cos2 C 的取值范围是 ( 1 , 7 ) ...................14 分 44
当 n = 4 时，(2x −1)4 = 1− 8x + 24 x2 − 32 x3 +16 x4 ，a1 + a2 a3 ，C 对；a0 + a1 a2 ，D 错；
答案：选 C
高三数学学科 参考答案 第1页 共 12 页
另解： (2x −1)n = a0 + a1x + a2 x2 + + an xn ，系数必为正负交替，若记最小系数为 ak0 ，
2
3
44
即 sin 2 A + cos2 C 的取值范围是 ( 1 , 7 ) ...................14 分. 44
19.（Ⅰ）证明：设 AD = 2a ，则 AC = 2a ，又∠ACD＝45°，
由余弦定理知： DC = 2a .....................2 分
由勾股定理的逆定理知： AD ⊥ DC ，
2
2
=
1 2
cos
2C
−
1 2
cos
2(
−
3
−
C)
+1
...............8
分
= 1 cos 2C − 1 cos(2 + 2C) +1
2
23
= 3 sin 2C + 3 cos 2C +1 ...................9 分
4
4
= 3 sin(2C + ) +1...................10 分
11，解析： lg100 = 2 ，若 b = 10 ，则 a = 10 ，若 b = a + 2 ，则 a = 2 12，解析：sin 2 = cos −1 0 cos 1，故 cos = 1,sin = 0 ,故 = 2k , k Z ，sin = 0
2
高三数学学科 参考答案 第2页 共 12 页
2
2
22
4
= − 3 ( 3 cos 2A + 1 sin 2A) +1
22
2
= − 3 sin(2A + )+1 ...................10 分
2
3
△ ABC 是锐角三角形， A ，得到 2 2A + 4
6
2
3
33
...................12 分
− 3 sin(2A + )+1 的范围为 (1 , 7)
方法二： sin2 A + cos2 C= sin2 A + cos2 ( 2 − A) ...........................7 分 3
= sin2 A + (cos 2 cos A + sin 2 sin A)2 ...............8 分
3
3
= sin2 A + (− 1 cos A + 3 sin A)2
13，解析：几何体为一条侧棱垂直底面的四棱锥，易知最短棱长 2 ，最长棱长 2 3 14，解析： − 4 ， 9 。
2 15，解析： 3x + y + 2 = 0 ；
kOA =
1 ， AMN 的垂心恰为原点 O ，直线 l 的斜率 k = − 3
3，
直线 OA 与直线 l 的交点记为 H ,结合圆的垂径定理知 AMN 为等边三角形，
f (−1) = 0 3a + c = 2b 9a2 + c2 + 6ac = 4b2 ，又 ac 0 ，故(4)正确
又
f
( x)
=
3ax2