高考数学 7.2空间几何体的表面积与体积课时体能训练 文 新人教A版

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 7.2空间几何体的表面积与体
积课时体能训练文新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
(A)23
π (B) 23π (C)
73
π (D)
73
π
2.（2012·杭州模拟)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
(A)2 (B)1 (C)2
3
(D)
1
3
3.如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图
3(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( )
(A)15π (B)18π (C)21π (D)24π
4.（易错题）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )
(A)3a 6 (B)3
a 12
(C)33a 12 (D)32a 12 5.已知，某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积是( )
(A)3π (B)
3π (C )23
π
(D)5π 6.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为( )
(A)
4
27π
(B)
2
27π
(C)
4
9π
(D)
2
9π
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均为矩形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的侧面积为______．
8.（预测题）已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，
底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为______.
9.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为
1.5 cm2，2 cm2，6 cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为______cm2．（注
S球=
4πr2，其中r为球半径）
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
11.如图甲,直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,F为AD的中点,E在BC上,且EF∥AB,已知AB=AD=CE=2,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙,使平面CDFE⊥平面ABEF.
(1)求证:AD∥平面BCE; (2)求三棱锥C-ADE的体积.
【探究创新】
（16分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为22.
（1）求证：D 1E ⊥A 1D ； （2）求AB 的长度.
答案解析
1.【解析】选D.上底面半径r=1,下底面半径R=
2. ∵S 侧=6π，设母线长为l ,则π（1+2）·l =6π,∴l =2, ∴高()2
2
h R r 3,=--=l
∴22173
V 3(1122).33
=
π⋅⨯+⨯+=π 2.【解析】选B.几何体是直三棱柱,如图,
且AC=A 1C 1=2, BC=B 1C 1=1.
∴几何体ABC-A 1B 1C 1的体积为 V=Sh=
1
2
·2·1·2=1. 【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
(A)
65πcm 3 (B)3πc m 3 (C)23πcm 3 (D)73
πcm 3
【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱上部去掉一个半径为1 cm 的半球，所以其体积为(
)
23
3
2
27V r h r 3cm 3
3
3
=πππππ－＝－＝．
3.【解析】选C.由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，
该组合体的表面积为：22
S r 2rh r (3)232332321.=πππππ⨯⨯π⨯⨯π＋＋＝＋＋＝l
4.【解析】选D.设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD=a 时，BE ⊥DE ，
∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D －ABC 的高为DE ＝
2
2
a ，23D ABC 1122V a a a 32212∴=⨯⨯－＝．【误区警示】
解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变化而导致错误． 5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键．
【解析】选D.由三视图可知该几何体为圆锥，底面圆的半径为1，高为2，故母线长为5．其侧面积为S=π×1×5=5π． 【方法技巧】三视图的常见题型 (1)已知几何体，画出三视图
解决这类问题时要注意选择合适的角度，观察几何体的特征，然后画出三视图． (2)已知三视图，还原几何体
解决这类问题首先要分析几何体是不是组合体，如果是，由几部分组合而成，每一部分是什么几何体，最
终得到几何体的结构特征． (3)根据三视图，研究几何体
研究几何体，包括研究几何体的表面积、体积以及几何体中的线面平行和垂直关系等．解决这类问题的关键是将三视图还原为几何体．
6.【解题指南】求出三视图对应的几何体的体积，转化为几何概型求概率． 【解析】选A.由三视图可得该三棱锥的体积为1116
V (42)4323
=
⨯⨯⨯⨯=三棱锥，
其外接球的直径为2
2
2
4426++=，
故外接球的体积为34V R 363=π=π球，所求概率为V 4
P V 27==π
三棱锥球． 【误区警示】解答本题时常因不能熟练地转化为求几何体的体积而导致解题思路受阻．
7.【解析】由题意得该几何体为直棱柱，且底面为两直角边分别为1,1的等腰直角三角形，高为2，故其侧面积为1×2+1×2+2×2=422+． 答案：422+
8.【解析】因为扇形弧长为2π， 所以圆锥母线长为3，高为22，
所求体积2122
V 122.3=
⨯π⨯⨯=π 答案：
223
π 9.【解题指南】当三线互相垂直时，联想构造长方体，长方体的对角线即为外接球的直径． 【解析】设P A =a ，PB=b,PC=c,则有
13ab 221
ac 22
1
bc 62⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，
解得a 1b 3c 4=⎧⎪=⎨⎪=⎩．22213426++=，所以外接球的表面积为()2
226S 4(
26cm 2
=π⨯=π． 答案：26π
【变式备选】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______.
【解析】根据三视图可知三棱柱的底面三角形的边长为2，棱柱的高为1.设球的半径为R ，则有2
2
21
2319R ()(2)2
3212
=+⨯⨯=，故球的表面积为2
19
S 4R 3
=π=π． 答案：
193
π 10.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q-A 1D 1P 的组合体． 由PA 1=P D 1=2，A 1D 1=AD=2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
()22
21
S 522222(2)2224 2 cm =⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，
所求几何体的体积
()3231
V 2(2)210cm 2
=+⨯⨯=．
11.【解析】(1)由题意知AF ∥BE,AF ⊄平面BCE,BE ⊂平面BCE, ∴AF ∥平面BCE,同理DF ∥平面BCE. 又AF ∩DF=F,AF ⊂平面ADF,DF ⊂平面ADF, ∴平面ADF ∥平面BCE.
∵AD ⊂平面ADF,∴AD ∥平面BCE. (2)∵平面CDFE ⊥平面ABEF,AF ⊥EF, ∴AF ⊥平面CDFE ，
∴AF 为三棱锥A-CDE 的高，且AF=1，
又AB=CE=2，CDE 1
S 2222∴=
⨯⨯=V ，
C ADE A CDE
12V V 21.33
--∴==⨯⨯= 【探究创新】
【解析】（1）连接AD 1，由长方体的性质可知：
AE ⊥平面AD 1，A 1D ⊂平面AD 1， ∴AE ⊥A 1D ，又∵AD =AA 1=1，
∴AD 1⊥A 1D ，又AE ∩AD 1=A ，∴A 1D ⊥平面AED 1，又∵D 1E ⊂平面AED 1，∴D 1E ⊥A 1D. （2）设AB=x,点A 到点C 1可能有两种途径，如图甲的最短路程为21AC x 4.=
+
如图乙的最短路程为
2
21AC x 11x 2x 2,=++=++（）
∵x>1,∴222
x 2x 2x 22x 4++>++=+,故从点A 沿长方体的表面爬到点C 12x 4+2
x 4+22x=2.
即AB 的长度为2.。