一道高中学业水平考试题引发的思考

： ３．故 ｛。 ＋ｌ｝是首项为 。 ＋１：３，公 比为 ３的
等 比数 列 ，进而得到 ｎ ＋１＝３ ，０ ＝３ 一１．那 么我们需
要 的 ｛ ｝的通项 １ ＝
就得出了
．
现在我们来分析
想到降低 ３ 的幂指数且舍去 １， ＜ ，经过验证 当
ｎ∈Ｎ 时 ３ 一１＞３ 是成立的 ，我们尝试证明一下 ，得
÷ｃ 一 ） 既然是 “大于”，那 么我们初步可以确定答案是 由 ＞？进
０
行逐项 放缩 再利 用不 等式 的 同向可加性 得 到 的．那么 我
·一÷ ＝１一 ，和需要证明的结果完全一致！
们需要对分母进行扩大化，对去。 ，要扩大分母， 所以我们证得三３一 ： ≤Ｓ ＜１一言（当ｎ＝１时
基本 的证明思路 —— 放缩法证 明． ２．无 中生有 ，“淘气”的等号
上
＜ ２ ＝
即 ｎ－Ｉ
＜
，右边不等式 中不带等 号
有 了上面的基本 思路 ，我 们 先来 分析 左 边不 等式 的
大致结构－左边这个式子的基本结构是ｓ ≥手一 ， 故从第一项起开始放缩 ＝ ＋多＋ ＋…＋ ＝２
、
：一３ 一
１ ≤ Ｓｎ ＜ ． 一 １ ·
１．初 步 解题 此 处 我们 先 将 ｃ＝ ４代 人 所 给 关 系式 中得 到 ０ ．．＝
０ 十 ｎ
， 再 进 一 步 利 用 十 字 相 乘 法 进 行 因 式 分 解 ，
得 到 。 ：
¨
Ｔ 厶
ｎ
．因为 。 ＋２≠０，所以我们
嫩 ＝
数理化 解题研究
２０１８年第 １３期总第 ３９８期
因 为 ２
Ｄ ｍ 十 ０
＝
ｎ
），
所 以 ２ ，ｙｚ＋（ｎ＋。）ｙｚ＋（ 一。）ｙ ＝ （。一ｎ）ｙ
＋ （０＋ｎ）Ｙ２］．
设 （一ｏ，０），Ａ （。，０）（ｎ＞０）是 横 向型有心 圆锥 曲
线 Ｃ的左右 顶点 ，动直线 ＝ｍｙ＋ｎ（ｎ是不 为 ０的常数 ）
上述优美性质 的逆 命题 是否 成立 ？经过 探究 发 现仍 然成立．限于篇 幅 ，不再赘述．
总之 ，解析 几何 中像这 样可 以引 申，推广探究 的规律 有很多 ，只要 经常 总结 ，归纳 同类 问题 的解题 方 法 ，并注 意探究 和发 掘变化 中所蕴 含 的一般规 律 ，就会有 更 多惊 喜 的 收 获 ．
法求 出具体表 达式 ，我们陷入 了山穷 水复 的境 地．冷 静分 果上乘 以 来减少放 缩尺 度 ，这 样是 不是就 得到答 案 了
析一下 ，题 目并未让我们去求 Ｓ ，而是让我们 证 明一个 不
等式链 ，故想 到局部 分式放缩 进行证 明 ，这样 我们确 定 了 呢？所 以我们在 的基础上乘 以 即 １ ＝ ２ 事 实 ，
且要使 后续 的求和顺 利实现 ，我们 想到舍 去分母 中 的 １， 左边取等号 ）．
＝
＞ ，可直接放缩后求和得到 的却是 ｓ ＞ １
与 Ｃ交 于 Ｐ，Ｑ两点 ，则 Ａ．Ｐ与 Ａ：Ｑ的交点 ｓ在 一条定 方 程 为 ｙ ＝
（ ＋。）直线 Ａ：Ｑ 的
方 程 为 Ｙ ：
（ —ｏ）联 立 消 去 Ｙ得
０ ｌＹ２ ＋ ０ ２Ｙ１ ＋
０２ｙ２
一
２
ｒ上 ｙ１
ｌＹ２ 一 ２Ｙ１ ＋ ａｙｌ ＋ ａｙ２
（ｍｙ１＋ｎ）ｙ２＋口（ｍｙ２＋凡） ｌ＋０２ ２—０２ｙｌ
（ｍｙ１＋ｎ）Ｙｌ一 （ｍｙ２＋凡）Ｙｌ＋ａｙ１＋ａｙ２
ｎ［２ｍｙｌＹ２＋（ｒ工＋ｎ）ｙ２＋（ｎ—ａ）ｙ１］ 血
（０＋凡）Ｙ２＋ （０一凡）Ｙｌ
ｎ‘
即 ＡＰ与 ＡＱ的交点 Ｓ在一条定直线 ＝ 上．
四 、有 心 圆锥 曲线 的 一个 优 美 性 质
１
到ｓ ＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＋…＋ ＝＿｛ ＝
其前ｎ项和为ｓ ，Ｓ ＝ ＋ ＋吉＋…＋ 即ｓ ＝ 寻（１一专），这离我们要证明的结果有一些偏差，说明放
＋十
＋… ＋
． ‘问 Ｉ口Ｊ题来 禾 了Ｊ，依据 琚现 有知识无 尢 缩尺度 过大 导致 不等式 不够精 确 ，我们 可 以在 尝试 的结
（四川 师范 大学 附属 昆 明实验 学校 安 宁校 区 ６７５３００）
摘 要 ：云 南省 ２０１７年 １月普通 高 中学业水平考试数 学卷 中出现 了一道有趣 的题 目，笔 者试 图从 这个题
出发 ，去谈谈对普通 高中学业水平考试 （以下简称 “学考”）数 学科 目的一些思考．
关键词 ：考题 ；放缩 ；试题
很容 易得 出 ｏ ＝３ａ ＋２．下 面的 问题 是先求 出 ｛。， ｝的
通 项 ，才 能 表示 出 ｛ ｝的通 项 ．
０
ｎ ＝３ａ ＋２的形式为一阶线性递推式．该形式经 常出现 在我 省学 考数 学卷 及模 拟 卷压轴 题 中 ，２０１３年 ７
月 、２０１６年 １月 、２０１８年 １月 考 试 均 有 出现．处 理 该 形 式 的 数列求 通项 问题 的方 法有很 多 ，最简单 的可 以左 右 两边
收 稿 日期 ：２０１８一Ｏ１—１０ 作 者 简 介 ：陈晓 江 （１９８９．３一），男 ，本 科 ，初 级 教 师 ，主 要 从 事 高考 考试 题 型研 究
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２０１ ８年第１３期总第３９８期
数理化 解题研究
＝
同时加 １构造 等 比数 列 ，得 到 ｎ ＋１＝３（ｏ ＋１），即
参 考 文 献 ：
［１］彭朴．对一道 高三数 学试题 的探 究［Ｊ］．上海 中学 数学 ，２０１２（５）：２２．
［２］沈辉．对一道 高三联考试题 的深层 次的研 究［Ｊ］． 数 学教 育研究 ，２０１３（４）：６２．
［责任编辑 ：杨惠 民］
一 道高中学业水平考试题 引发 的思考
陈 晓 江
中 图分 类 号 ：Ｇ６３２
文 献标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）ｌ３—００１８—０２
一 、考 邀 剖 析 数学题节选 ：已知 ｃ是常数 ，在数列 ｛ｏ ｝中，。 ＝２，
。 ＝ ｒ上 十
，若 ｃ＝４，数列 ｛ ｝的前 项和为 ｓ ， ｎ
求 证 ２ —