二次不定方程
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2
解 设
x y, p 2 时 ( x, y ) (2,2)
2y p t
p 3 时, 设 2x p s
有
st
p s t
2
由
p 是素数, 可知
s 1, t p , s p, t p, 2 s p , t 1,
2
证 1) 且
x y (r s ) (2rs ) z
2 2 2 2 2
2
2
x, y, z 0, 设 ( x, z ) d , 则 d | 2r ,
2 2 2 2
d | 2s , d | 2(r , s ), d 1,2. 但 2 | x, d 1, ( x, y, z ) 1.
例1
r 5 时, 定理1 的本原解为
s
1 2 3 4rBiblioteka 2 (3,4,5)3
(5,12,13)
4 (15,8,17)
(7,24,25)
5
(21,20,29) (40,9,41)
例2 设 x 2 y 2 z 2 证明
1) 2)
3 | x, 3 | y 至少一个成立 5 | x, 5 | y, 5 | z 至少一个成立
2 2 2 2
定理2 单位圆周上的一切有理点可表为
2rs r s r s 2rs ( 2 2 , 2 2 ) ( 2 2 , 2 2 ) r s r s r s r s
2 2 2 2
其中
r, s 不全为零, 号可任意选取. m h 证 1) 设 x , y , xy 0, 由 n n 2 2 2 2 2 x y 1 得 m h n , 故 2 2 m k 2rs m k (r s ) 2 2 h k (r s ) h k 2rs 及 2 2 2 2 n 2k (r s ) n 2k (r s )
证 1) 设 u a u1 , v b v1 ,
2 2
a, b 0,
u1 ,v1 无平方因子, 则 a 2 | w2 , b 2 | w2 ,
a | w, b | w, ab | w,
有 u1v1 w . 若
2 1 2
设
w abw1 ,
w1 1, 则存在素数 p | w1 ,
习题
1 1 1 求 的正整数解 x y z 2 1 1 设 p 素数, 求 的整数解 p x y
解 设 则
x z s y z t s, t 0
z s t
2
所以
sa k 2 t b k , k Z , a, b 0 ( a, b) 1 z abk
(1) 的一切非显然解为: 2 2 2 2 x k (r s ), y k 2rs, z k (r s ),
及
注
x k 2rs, y k (r s ), z k (r s ), 其中 r s 0, (r , s) 1, 2 | r s, k Z .
求解 x y z
2 2
2
引理1
(1) 的本原解满足:
( x, y) ( y, z ) ( z, x) 1
2| x y 2 引理2 uv w , u, v, w 0, (u , v) 1
的一切正整数解为:
u a , v b , w ab,
2 2
a, b 0, (a, b) 1.
uv w 的一切非平凡正整数解为:
2
2 2
u ka , v kb , w kab, a, b 0, k 0.
定理1
(1) 的 y 为偶数的全体本原解为 2 2 2 2 x r s , y 2rs, z r s ,
其中
r s 0, (r , s) 1, 2 | r s.
x y z (Pythagoras方程)
2 2 2
设
x y z
2 2
2
(1)
(1) 的正整数解 x, y, z, 称为一组勾股数. (1) 的整数解 x, y, z, xyz 0, 称为非显然解. (1) 的正整数解 x, y, z, ( x, y, z ) 1,
称为本原解.
p | u1v1 , 但 (u1 , v1 ) 1 且 u1 ,v1 无平方因子,
这不可能. 因此
w1 1, u1 v1 1, 故 u a , 2 v b , w ab, a, b 0, (a, b) 1.
2
2) 反之代入成立.
求解 x y z
2 2
2
注
2 | y, ( x, y ) 1, 则 x, z 为奇数, 且 ( y ) 2 z x z x 2 2 2 zx zx 设 ( , ) d , d | x, d | z , d 1. 2 2
2) 若 x y z ,
2 2 2
由引理2,
zx zx y 2 2 r , s , rs, 2 2 2 r , s 0, (r , s) 1, 且由 x 0, 2 | x, 知 r s, r, s 一奇一偶.
解 设
x y, p 2 时 ( x, y ) (2,2)
2y p t
p 3 时, 设 2x p s
有
st
p s t
2
由
p 是素数, 可知
s 1, t p , s p, t p, 2 s p , t 1,
2
证 1) 且
x y (r s ) (2rs ) z
2 2 2 2 2
2
2
x, y, z 0, 设 ( x, z ) d , 则 d | 2r ,
2 2 2 2
d | 2s , d | 2(r , s ), d 1,2. 但 2 | x, d 1, ( x, y, z ) 1.
例1
r 5 时, 定理1 的本原解为
s
1 2 3 4rBiblioteka 2 (3,4,5)3
(5,12,13)
4 (15,8,17)
(7,24,25)
5
(21,20,29) (40,9,41)
例2 设 x 2 y 2 z 2 证明
1) 2)
3 | x, 3 | y 至少一个成立 5 | x, 5 | y, 5 | z 至少一个成立
2 2 2 2
定理2 单位圆周上的一切有理点可表为
2rs r s r s 2rs ( 2 2 , 2 2 ) ( 2 2 , 2 2 ) r s r s r s r s
2 2 2 2
其中
r, s 不全为零, 号可任意选取. m h 证 1) 设 x , y , xy 0, 由 n n 2 2 2 2 2 x y 1 得 m h n , 故 2 2 m k 2rs m k (r s ) 2 2 h k (r s ) h k 2rs 及 2 2 2 2 n 2k (r s ) n 2k (r s )
证 1) 设 u a u1 , v b v1 ,
2 2
a, b 0,
u1 ,v1 无平方因子, 则 a 2 | w2 , b 2 | w2 ,
a | w, b | w, ab | w,
有 u1v1 w . 若
2 1 2
设
w abw1 ,
w1 1, 则存在素数 p | w1 ,
习题
1 1 1 求 的正整数解 x y z 2 1 1 设 p 素数, 求 的整数解 p x y
解 设 则
x z s y z t s, t 0
z s t
2
所以
sa k 2 t b k , k Z , a, b 0 ( a, b) 1 z abk
(1) 的一切非显然解为: 2 2 2 2 x k (r s ), y k 2rs, z k (r s ),
及
注
x k 2rs, y k (r s ), z k (r s ), 其中 r s 0, (r , s) 1, 2 | r s, k Z .
求解 x y z
2 2
2
引理1
(1) 的本原解满足:
( x, y) ( y, z ) ( z, x) 1
2| x y 2 引理2 uv w , u, v, w 0, (u , v) 1
的一切正整数解为:
u a , v b , w ab,
2 2
a, b 0, (a, b) 1.
uv w 的一切非平凡正整数解为:
2
2 2
u ka , v kb , w kab, a, b 0, k 0.
定理1
(1) 的 y 为偶数的全体本原解为 2 2 2 2 x r s , y 2rs, z r s ,
其中
r s 0, (r , s) 1, 2 | r s.
x y z (Pythagoras方程)
2 2 2
设
x y z
2 2
2
(1)
(1) 的正整数解 x, y, z, 称为一组勾股数. (1) 的整数解 x, y, z, xyz 0, 称为非显然解. (1) 的正整数解 x, y, z, ( x, y, z ) 1,
称为本原解.
p | u1v1 , 但 (u1 , v1 ) 1 且 u1 ,v1 无平方因子,
这不可能. 因此
w1 1, u1 v1 1, 故 u a , 2 v b , w ab, a, b 0, (a, b) 1.
2
2) 反之代入成立.
求解 x y z
2 2
2
注
2 | y, ( x, y ) 1, 则 x, z 为奇数, 且 ( y ) 2 z x z x 2 2 2 zx zx 设 ( , ) d , d | x, d | z , d 1. 2 2
2) 若 x y z ,
2 2 2
由引理2,
zx zx y 2 2 r , s , rs, 2 2 2 r , s 0, (r , s) 1, 且由 x 0, 2 | x, 知 r s, r, s 一奇一偶.