高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第16讲 定积分与微积分基本定理(54张PPT)

双
向
固
基 础
点
面
讲 考
第16讲 定积分与微积分基本
向
多
定理
元
提
能
力
教
师
备
用 题
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考试说明
1．了解定积分的实际背景、了解定积分的基本思想，了 解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向 固 基
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上是连续的，用分点 a＝x0<x1<…
ex
2 x
dx＝________．
[答案] e2－2ln 2－e [解析] 2(ex－2x)dx＝[ex－2ln x]|21＝e2－2ln 2－e.
1
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•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 8:15:07 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/262021/10/26October 26, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/262021/10/262021/10/262021/10/26
第16讲 定积分与微积分基本定理
线 x＝a，x＝b(a<b)，y＝0 所围成的曲边梯形的面积 S＝
b
a
f
x g x dx.(
)
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√
础
[解析] 根据定积分的几何意义可得．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
3．定积分的性质
固 基
(1)如果 f(x)是[－a，a]上的连续的偶函数，则a f(x)dx
2 π
cos
2xdx)＝12(x
π
2 π
＋12sin
2x
π
2 π
)＝12[(π2－π6)＋12(sin
π
讲
6
6
6
6
考 向
－sinπ3)]＝π6－
3 8.
(4)根据定积分的几何意义，所求的定积分是圆 x2＋y2＝4
在第二象限部分的面积，其面积是π，故0 4 x2 dx＝π. －2
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第16讲 定积分与微积分基本定理
n b－a
作b
f
x dx ，即b f
xdx ＝____ln_im__i_＝_1___n___f_(ξ_i_)_．其中
f(x)称
a
a
为__被__积____函数，a 称为积分_下_______限，b 称为积分__上______
限．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
2．定积分的几何意义
固 基
(1－1n)，所以
lim
n
Sn＝15＋227＝527，所以4(3x＋2)dx＝527. 1
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第16讲 定积分与微积分基本定理
方法二(微积分基本定理法)：4(3x＋2)dx＝32x2＋2x
4 1
＝
1
点 面
32－72＝527.
讲 考
(2)根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 y＝
向
1－x2和 x 轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，
a
性质 2：代数和的积分等于积分的代数和，即b[f(x)±g(x)]dx
＝___性_abf_质(_x_3)_：d_x_(_定±__积_ab_分g_(_的x_)_可d_x_加．性)如果积分区间[a，ab]被点 c 分成
cf(x)dx＋bf(x)dx
两个小区间[a，c]与[c，b]，则bf(x)dx＝___a__________c____． a
一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即bf(x)dx＝bf(t)dt.
a
a
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
2．定积分的几何意义
固 基
(1)在区间[a，b]上的连续曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x
础
＝ b(a<b) ， y ＝ 0
所围成的曲边梯形的面积
S
＝
b
a
|f(x)|dx.( ) (2)在区间[a，b]上连续的曲线 y＝f(x)，y＝g(x)，和直
x)dx＝(x＋cos x)
)π2 0＝π2 －1.
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第16讲 定积分与微积分基本定理
[归纳总结] 定积分的计算方法有三种：定义法、几何
意义法和微积分基本定理法．定义法太繁琐，一般不用，
点 有些函数的定积分在中学阶段只能使用几何意义法(如
面 讲
(2))，微积分基本定理是计算定积分的主要方法，这个方法
础 <xi－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
间 [xi － 1 ， xi] 上 任 取 一 点 ξi(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) ， 作 和 式
n
i1
f
i x
n i1
ba n
f
i ，当
n→∞时，上述和式无限接近某个
__常__数____，这个常数叫作函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记
础
－a
＝2af（x）dx.(
)
x －a
＝0.( )
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√
础
[解析] 根据定积分的几何意义和运算性质可得．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向 固 基
40 3
[解析]
画出图形可知所求的面积
S
＝
4
2
x
dx
＋
[8
0
4
2xdx－8(x－4)dx]＝2
3
23 x2
4 ＋2
0
3
23 x2
8 4
－12(x－4)2
8 4
＝
4
40 3.
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基
1．定积分的概念
础
(1)定积分的概念中对区间[a，b]的分割具有绝对的任意
双
向
固
基 础
2．[教材改编] 3πsin xdx＝________． 0
[答案] 2
[解析]
3πsin
xdx＝－cosx
3π 0
＝2.
0
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
固
3．[教材改编] 由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x及 x 轴所围
基 础
成的图形的面积是________．
[答案]
考 向
根据定积分的几何意义把求解的面积转化为定积分．结论：
根据微积分基本定理计算定积分即得．
(3)分析：利用定积分求图形面积．推理：画出草图，
根据定积分的几何意义把求解的面积转化为定积分．结论：
根据微积分基本定理计算定积分即得．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
[答案] (1)C (2)8 (3)9
)
a
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√
础
[解析] 根据物理学知识和定积分的概念可得．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
►
点 面 讲 考 向
探例究1 点计算一下列定定积积分分： 的计算
(1)4(3x＋2)dx＝________； 1
(2)1 1 x2 dx＝________； －1
► 探例究2点(1)二[2013·北利京用卷]定直积线 分l 过求抛面物线积C：x2＝4y
点 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等 面 于( )
讲
考 向
A.43 B.2 C.83 D.16 3 2
(2)曲线 y＝x3－4x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积
是________．
考 向
π
(3)
2 π
cos2
x
dx＝________；
6
0
(4)
4－x2dx＝________．
2
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第16讲 定积分与微积分基本定理
[答案] (1)2
(2)ln 2＋ln22
(3)π6－
3 8
(4)π
π
π
点 面
[解析] (1) 2 (sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x) 2 ＝2.
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第16讲 定积分与微积分基本定理
[答案]
57 (1) 2
π (2)2
(3)e＋1e－2
(4)π2－1
点
[解析] (1)方法一(定义法)：把区间[1，4]分成 n 等份，
面 讲
每份长度是3n，取分点ξi＝1＋3ni(i＝0，1，…，n－1)，作
考
向
和 Sn＝3n·ni=－01 [3(1＋3ni)＋2]＝3n[5n＋9n·n（n－ 2 1）]＝15＋227
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
4．微积分基本定理
固
基 础
如果 f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有 F′(x)＝f(x)，则
bf(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_) __．
a
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1．[教材改编]
21
些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．
(2)当
n
n→∞时，和式
i1
f
i x
n ba f
i1 n
i 无限接近
某个唯一确定的常数，它不依赖于对区间[a，b]的分割方法，
也不
依赖于
在每
个小区
间[xi－
1，
xi]
上取
点的方
式．
即b
f(x)dx
a
是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯
[解析] 由题意得直线 l 的方程是 y＝1，代入抛物线
方程得 x＝±2，所以直线 l 与抛物线 C 所围成图形的面积
点
面
讲
考 向
S＝4－22 0
x42dx＝4－21x23
20)＝83.
(2)由 x3－4x＝0 得 x＝0，±2，函数图像如图所示，
其面积是π2，故1 1 x2 dx＝π2. －1
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第16讲 定积分与微积分基本定理
(3)1(ex－e－x)dx＝1(ex＋e－x)′dx＝(ex＋e－x)
0
0
10＝e＋
点 面
1e－2.
讲
考 向
(4)
π 2 0
cos
x 2
sin
x 2
2
dx＝
π
2 1 sin xdx＝
0
π 2 0
(x＋cos
0
0
讲
考 向
(2)21
1 x
2x
dx＝(ln
x＋ln2x2)
2 1
＝ln
2＋ln42－ln22＝ln
2＋
2 ln 2.
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第16讲 定积分与微积分基本定理
(3)
π
2 π
cos2
x
dx＝
π
2 π
1cos2x 2
dx＝12·
π
2 π
(1＋cos 2x)dx＝12
6
6
6
点 面
(
π
2 π
π
dx＋
性．( )
(2)当
n
n→∞时，和式
i1
f
i x
n i1
baf n
i 无限接近某
个唯一确定的常数．( )
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√
础
[解析] (1)在定义中我们将区间[a，b]进行等分是为了计算
上的方便，实际上对区间[a，b]的分割是任意的，这时只要这
(3)抛物线 y2＝4x 与直线 y＝2x－4 围成的平面图形
的面积是________．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
[思考流程] (1)分析：利用定积分求图形面积．推理：
根据定积分的几何意义得定积分，根据微积分基本定理求
点 定积分．结论：矩形面积减去定积分的值即为所求面积．
面 讲
(2)分析：利用定积分求图形面积．推理：画出草图，
如果在区间[a，b]上的函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么
础
定积分b f xdx 表示由直线 x＝__a______，x＝___b_____(a≠b)，
a
_y_＝__0____和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
性质
1
：
常
数
因
子
可
提
到
积
分
号
前
，
即
b
k
f
xdx
＝
k__ba_f(_x_)_d__x(k 为常数)．
4．定积分的物理意义 (1)作变速直线运动的物体经过的路程 S 等于其速度
础 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 S
＝bv（t）dt.(
)
a
(2)一物体受变力 F＝F(x)的作用，则变力在位移区间
[a，b]内所做的功是函数 F＝F(x)在[a，b]上的定积分，即
W＝bF（x）dx.(
(3)1(ex－e-x)dx＝________； 0
(4)
π 2 0
cos
x 2
sin
x 2
2
dx＝________．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
［思考流程］条件：被积函数、积分上下限．目标： 计算定积分．方法：根据定积分的定义、几何意义或微积 点 分基本定理计算．
面 讲 考 向
考 的要点是找到一个函数，使得这个函数的导数等于被积函
向
数，这是导数的一个逆运算，在计算中可以使用导数公式
进行验证．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
变式题 计算下列定积分：
π
(1) 2 (sin x＋cos x)dx＝________； 0
点 面 讲
(2)21
1 x
2x
dx＝________；