2019广东深圳一模-14页word资料

2019年深圳市高三年级第一次调研考试
数 学 2019．3
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共50分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回
参考公式：
(1)如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； (2)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；
一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数11i
+所对应的点位于
A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限 2．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知直线l 及三个平面αβγ、、，给出下列命题:
①若l //α，l //β，则//αβ ②若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥
③若,,l l αβ⊥⊥ 则//αβ ④若,//l l ⊂αβ，则//αβ 其中真命题是
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
4. 已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为
A. 24
B. 20
C. 16
D. 12
5. 已知R 上的奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调增加，且0)2(=-f ，则不等式
()0f x ≤的解集为
A. []2,2-
B. (][],20,2-∞-⋃
C. (][),22,-∞-⋃+∞
D. [][)2,02,-⋃+∞
6. 某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A ．7种 B ．8种 C ．9种 D ．10种
7. 按向量)2,6(π
=平移函数()2sin()3
f x x π
=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则
A. ()2cos 2g x x =-+
B. ()2cos 2g x x =--
C. ()2sin 2g x x =-+
D. ()2sin 2g x x =--
8. 函数()f x （x ∈R ）由ln ()0x f x -=确定，则导函数()y f x '=图象的大致形状是
A.
C.
D.
9. 曲线
214
x y =
上的点
P 到点
(1,3)
A --与到y 轴的距离之和为,d 则
d 的最
小值是
B.3
C.
D.4
10. 若点A B C 、、是半径为2的球面上三点,且2AB =，则球心到平面ABC 的距离之最大值为
A.
2
B.
2
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
注意事项:
第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．
二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．
11
则第3组的频率为 ▲ .
12. 14lim
14n
n
n →∞-=+ ▲ . 13. 圆2
2
:2270C x y x y +---=的圆心坐标为 ▲ ，设P 是该圆的过点
(3,3)的弦的中点,则动点P 的轨迹方程是 ▲ .
14．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若 每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列 的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表 正中间一个数a 33＝1，则表中所有数之和为
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)
已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π
=
x ，求向量a 、c 的夹角；
（Ⅱ）当]8
9,2
[
π
π∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.
16．(本小题满分13分)
已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.
(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；
(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差. 17． (本小题满分13分)
如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.
(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离. 18．（本题满分14分）
已知函数()f x x b =+的图象与函
数
23)(2
++=x x x g 的图象相切,记
（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求
实数k 的取值范围.
19.（本题满分13分）
已知椭圆2
21:36(0)x c y t t
+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c ,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点坐标原点(如图所示). （I ）求实数t 的值；
M P
D
C
Ａ
（II ）若3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S PAQ =-⋅∠， 求直线l 的方程. 20．（本题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *
++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *
=-∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；
（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，
使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.
2019年深圳市高三年级第一次调研考试（数学）答案及评分标准
说明：
一．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题：本大题每小题5分，满分50分．
1. D
2. A
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. C
9. B 10. D 二．填空题：本大题每小题5分，满分20分．
11. 24.0 12. 1- 13. (1,1)；2
2
(2)(2)2x y -+-= 14. 25 三．解答题：本大题满分80分． 15．(本小题满分13分)
已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π
=
x ，求向量a 、c 的夹角；
（Ⅱ）当]8
9,2
[
π
π∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.
解: （Ⅰ）当6
π
=
x 时，
2cos ,cos a c a c a c ⋅=
=
⋅ …………………2分 6
cos cos π
-=-=x ……………………………3分
5cos 6
π
= ……………………………4分
∴6
5,π
=
c a
…………………………6分 （Ⅱ） 1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x b a x f ……………………8分
)4
2sin(22cos 2sin π
-
=-=x x x (10)
分
∴]2,4
3[
4
2ππ
π
∈-
x ，故]22,
1[)42sin(-∈-πx ………………………11分 ∴当434
2ππ
=
-
x ,即2
π
=x 时, 1)(max =x f ………………………13分 16．(本小题满分13分)
已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.
(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；
(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差.
解：(Ⅰ) 依题意，ξ的可能取值为2,3，4 ……………………………1分
52
)2(2624===A A P ξ； ……………………………3分
52
)()3(3
6
13221412===A C A C C P ξ； ……………………………5分
51
)()4(4
6
13331422===A C A C C P ξ； ……………………………7分 故取球次数ξ的数学期望为
14
.5
…………………………8分 (Ⅱ) 依题意，连续摸4次球可视作4次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为3
2，则
η )3
2,4(B ……………………………10分
故共取得红球次数η的方差为8.9
……………………………13分 17． (本小题满分13分)
如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.
(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离.
解法1：(Ⅰ) 取CD 的中点E ，连结PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD
∴PE ⊥平面ABCD …………………3分 ∵四边形ABCD 是矩形
∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM=3，AM=6，AE=3
∴2
2
2
AE AM EM =+……………………………5分
∴∠AME=90°
∴AM ⊥PM ……………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM
∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分
M
P
D
C
Ａ
E
Ａ
B
C
D
P
M
∴tan ∠PME=
13
3
==EM PE ∴∠PME=45°
∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)设D 点到平面PAM 的距离为d ，连结DM ，则
PAM D ADM P V V --=……………………………11分
而222
1
=⋅=
∆CD AD S ADM 在Rt PEM ∆中，由勾股定理可求得PM=6. 所以：d ⨯⨯=
⨯⨯33
1
32231, 即点D 到平面PAM 的距离为
3
6
2.……………………………13分 解法2：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC ⊥CD
∵平面PCD ⊥平面ABCD
∴BC ⊥平面PCD ……………………………2分 而PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC 同理AD ⊥PD
在Rt △PCM 中，PM=62)2(2
22
2
=+=+PC MC
同理可求PA=32，AM=6
∴2
2
2
PA PM AM =+…………………………5分 ∴∠PMA=90°
即PM ⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD 的中点E ，连结PE 、EM ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD
E
Ａ
B
D
P
M
由(Ⅰ) 可知PM ⊥AM ∴EM ⊥AM
∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=
22
6
3=
=PM PE ∴∠PME=45°
∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)同解法(Ⅰ)
解法3：(Ⅰ) 以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为
x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,
依题意，可得
)0,2,2(),0,0,22(M A ……2分
)0,2,2()0,0,22()0,2,2(-=-=AM …4分
即⊥,∴AM ⊥PM. ……………………………6分 (Ⅱ)设),,(z y x =，且⊥平面PAM ，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
PM n 即⎪⎩⎪⎨⎧
-⋅-⋅)0,2,2(),,()3,1,2(),,(z y x z y x 取1=y ，得)3,1,2(=取)1,0,0(=，显然⊥平面ABCD
结合图形可知，二面角P －AM 45°；……………………………10分
(Ⅲ) 设点D 到平面PAM 的距离为d ，由()3,1,2(=n 与平面PAM 垂直，则
即点D 到平面PAM 的距离为3
6
2.……………………………13分 18．（本题满分14分）
已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2
++=x x x g 的图象相切,记
（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得
∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(- ……………2分 将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b . ……………5分 或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222
=-++b x x 有唯一实数解………2分
故0)2(422
=--=∆b ，即1=b …………………5分 故)3
5
)(1(3583)(2
2
++=++='x x x x x F , 令0)(='x F ,解得1-=x ,或3
5
-=x . ………………………8分 列表如下 : 从上表可知)(x F 在3
-=x 处取得极大值
27
,在1-=x 处取得极小值. ……10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数)(x F y =大致图象如下图所示.
……………………………12分
作函数k y =的图象,当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时, 关于
x
的方程k
x
F=
)
(恰有三个不等的实数根.
结合图形可知：)
27
4
,0(
∈
k……………………………14分
19.（本题满分13分）
已知椭圆
2
2
1
:36(0)
x
c y t
t
+=>的两条准线与双曲线22
2
:536
c
x y
-=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l
与双曲线
2
c的右支相交于,P Q两点(其中点P在第一象限)，线段OP与椭圆
1
c交于点,A O
为坐标原点(如图所示).
（I）求实数t的值；
（II）若3
OP OA
=⋅，PAQ
∆的面积26
S=-⋅
求直线l的方程.
（I）解：由题意知椭圆
2
2
1
:36(0)
x
c y t
t
+=>
上，0 1.
t
∴<<……1分
椭圆
1
c的两条准线的方程为y=y=
=……3分
双曲线22
2
:536
c x y
-=的两条准线的方程为x=x=，这两条准线相
距
5
. …………4分
上述四条准线所围成的四边形是矩形,
5
=
1
.
5
t=故实数t的值是
1
5
.……………………………5分
（II）设(,),
A m n由3
OP OA
=⋅及P在第一象限得(3,3),0,0.
P m n m n
>>
12,,A c P c ∈∈∴2222536,54,m n m n +=-=解得2,4,m n ==
即(2,4),(6,12).A P ……………………………8分 设(,),Q x y 则2
2
536.x y -= ① 由26tan ,S PAQ =-∠得
1
sin 26tan 2
AP AQ PAQ PAQ ⋅⋅∠=-∠， 52AP AQ ∴⋅=-，即(4,8)(2,4)52,230.x y x y ⋅--=-++= ②
……………………………10分
联解① ②得5119
319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，或3.3x y =⎧⎨=-⎩
因点Q 在双曲线2c 的右支，故点Q 的坐标为(3,3)-. ……………………11分 由(6,12),P (3,3)Q -得直线l 的方程为
33
,12363
y x +-=+-即5180.x y --= ……………………13分 20．（本题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *
++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *
=-∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；
（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点
(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.
解：（I ）
121(),n n S S n N *++=-∈
两式相减得212120,2().n n n n a a a a n N *
+++++==-∈…………………………2分
又111,a S ==-211221231,2.S S a a a a +=+=-=-
111,2(),n n a a a n N *+∴=-=-∈即数列{}n a 是首项为1,-公比为2-的等比数列,
其通项公式是1(2)().n n a n N -*
=--∈ (4)
分
另解一:
111,21(),n n S S S n N *+=-+=-∈
111211,2()(),3333n n S S S n N *+∴+=-+=-+∈即数列13n S ⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2,
3-公比为2-的等比数列,其通项公式是1(2)
().33
n
n S n N *-+=
∈…………………………2分
当2n ≥时, 111(2)1(2)1(2),3
333n n n n n n a S S ---⎡⎤⎡⎤--=-=---=--⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 又111,(2)().n n a a n N -*
∴=-∴=--∈ ……………………………4分
（II ）(1)1122441,1;2,2;8,8.a b a b a b =-=-====
∴当1,2,4n =时,.n n a b = ……………………………6分
(2)当21()n k k N *
=+∈时, 22121(2)0,610,.k k k n n a b k a b ++=--<=->∴<
……………………………7分
(3)当2(,3)n k k N k *
=∈≥时,
2660180,n n a b k ∴-≥-≥>即.n n a b > ……………………………9分
（III ）不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点
,,n m k A A A 落在圆C 上. …………10分
假设存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m k
A A A 即11(34,(2)),(34,(2)),n n n m A n A m --------1(34,(2))k k A k ----落在圆C 上.
不妨设,n m k >>设圆C 的方程为:2
2
0x y Dx F +++=.
从而21
924164
(34)0n n n n D F --+++-+= ①
21924164(34)0m m m m D F --+++-+= ② 21924164(34)0k k k k D F --+++-+= ③
由①-②, ②-③得
即11
449()2430n m n m D n m
---+-+
+=- ④ 11
449()2430m k m k D m k
---+-++=- ⑤
由④-⑤得 整理得
441,.n k m k
n m k n k m k
-->>≥∴<-- (12)
分
作函数4()(1),x f x x x =≥由224ln 444(ln 41)
()0(1),x x x x x f x x x x ⋅-⋅-'==>≥ 知函数4()(1)x
f x x x
=≥是增函数. 441,1,
,n k m k
n m k n k m k n k m k
-->>≥∴->-≥>--产生矛盾. 故不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m k
A A A 落在圆C 上. ……………………………14分。