人教版高中数学选择性必修第一册1.4.2第一课时距离问题

n·H→G＝－x＝0， 则n·H→E＝y＋6z＝0，
取 y＝1，得 n＝(0,1，－6)，
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∴A1D1 到平面 EFGH 的距离：
d＝|H→An1·n|＝|－347|＝4
37 37 .
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1．知识清单：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离． (2)点到平面的距离、与平面平行的直线与平面之间的距离、两个平行 平面之间的距离． 2．方法归纳：向量法、几何法、等体积法．
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课时作业 巩固提升
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必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升
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预习教材，思考问题 问题1 推导并熟记空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式？ 问题2 相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？ 问题3 用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
点 B 到直线 OA 的距离 d＝
|OB|2－
222＝
34 2.
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用向量法求点到直线的距离时需注意：(1)不必找点在 直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较容 易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取．
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时 距离问题
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[学习目标] 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行 的平面的距离问题． 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
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50－
1232＝
2.
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3 ． 在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 ， 平 面 OAB 的 一 个 法 向 量 为 n ＝ (2 ， － 2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝____2______.
→ 解析：点 P 到平面 OAB 的距离 d＝|OPn·n| ＝|－1，232，＋2－·22， 2＋－122，1|＝63＝2.
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[解析] 由已知得：a＝(0,1，－1)，b＝(2,2,1)，
则|O→B|＝|b|＝ 4＋4＋1＝3，
则 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ 62. O→B在O→A上的投影向量的长度为|O→B|cos〈a，b〉，
|O→B|cos〈a，b〉＝3× 62＝ 22，
分析：本题主要考查利用空间向量求点、线、面之间的距离．建立空 间直角坐标系，写出各点坐标，分别表示出A→E，A→C1向量，从而计算 平面 AEC1 的一组法向量 n，由点到平面间距离公式即可求解．
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[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，E0，12，0， A→E＝－1，12，0，A→C1＝(－1,1,1)．
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[预习自测]
1．已知平面 α 的一个法向量 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在平面 α
内，则点 P(－2,1,4)到平面 α 的距离为( D )
A．10B．3810C.3D. 3
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解析：由已知得P→A＝(1,2，－4)， 故点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→An·n|＝|－2－34－4|＝130.
1.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为平面 A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
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解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
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A1(1,0,1)，E12，1，0，O1，12，21， ∴A→1O＝0，12，－12，
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4 ． 已 知 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ＝ (1,0,1) ， 点 A(1,2 ， － 1) 在 l 上 ， 则 点 P(3,1,1)到l的距离为____1______． 解析：根据题意，得P→A＝(－2,1，－2), a＝(1,0,1),
∴cos〈a，P→A〉＝－22＋×0－92＝－2 3 2， ∴sin〈a，P→A〉＝13；
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2．已知直线 m 过点 O(0,0,0)，其方向向量是 a＝(1,1,1)，则点 Q(3,4,5)
到直线 m 的距离是( B )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析：m 的方向向量 a＝(1,1,1)，O→Q＝(3,4,5)，
∴由点线距离公式，得 d＝
|O→Q|2－O→Q·aa2＝
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→ A1E
＝
－12，1，－1
，
取
a
＝
→ A1O
＝
0，12，－12
，
u
＝
→ A1E A→1E
＝
2 3
－12，1，－1，
∴a2＝12，a·u＝23，
∴点 O 到直线 A1E 的距离为
a2－a·u2＝
2 6.
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点到平面的距离
1．平面 α 的法向量为 n，点 A 是 α 内的定点，点 P 是 α 外一点，设A→P
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[例 1] 已知点 A(0,1，－1)，B(2,2,1)，向量 a＝O→A，b＝O→B，求点 B 到直线 OA 的距离． 分析：本题考查空间向量坐标的基本计算，向量夹角、点线距离的坐 标计算，注意空间向量的坐标计算以及距离的算法．根据题意，求出O→B 在O→A上的投影向量的长度，进而计算可得答案．
|a·n|
＝a，则点 P 到平面 α 的距离为
n
.
2．与平面平行的直线与平面间的距离可转化为直线上一点到平面的距 离，即 点面距 ．
3．两个平行平面间的距离可转化为一个平面上一点到另一个平面的距 离，即 点面距 ．
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[例2] 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点， 求点D1到平面AEC1的距离．
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设平面 AEC1 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
A→E·n＝0， 则有A→C1·n＝0
⇒－x＋12y＝0， －x＋y＋z＝0.
令 y＝2，则 x＝1，z＝－1.
∴n＝(1,2，－1)．
又D→1A＝(1,0，－1)，
→
∴点
D1 到平面
AEC1 的距离
d＝|D1nA·n|＝
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又∵|P→A|＝3, ∴点 P(3,1,1)到直线 l 的距离为 |P→A|sin〈a，P→A〉＝3×13＝1.
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点到直线的距离 1．直线 l 的单位方向向量为 u，点 A 是 l 上的定点，点 P 是 l 外一点， 设A→P＝a，则点 P 到直线 l 的距离为 a2－a·u2 . 2．两条平行直线间的距离可转化为一条直线上一点到另一条直线的距 离，即 点线距 ．
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3．常见误区：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一 点，转化为点到直线的距离．(2)求平行的直线与平面之间的距离、两 个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为 点到平面的距离．(3)找点应注意选取适当，以方便求解为主．
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解析：由题意 AH＝13AA1，A1D1∥平面 EFGH，
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以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系Dxyz，
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A1(1,0,1)，H1，0，13，G0，0，13，E1，1，12， H→A1＝0，0，23，H→G＝(－1,0,0)，H→E＝0，1，16， 设平面 EFGH 的法向量 n＝(x，y，z)，
2＝ 6
36.
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求点到平面距离的主要方法 (1)几何法．(2)等体积法．(3)向量法．
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2.如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，C1C 的中点，DG＝13DD1，过 E，F，G 的平面交 AA1 于 点 H，求 A1D1 到平面 EFGH 的距离．