四川省成都市2022届数学高二第二学期期末监测试题含解析

四川省成都市2022届数学高二第二学期期末监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．用数学归纳法证明：“1(12)(123)(123)n +++++++++++L L (1)(2)
6
n n n ++=
”，由n k =到
1n k =+时，等式左边需要添加的项是（）
A ．
(1)
2
k k + B ．
(1)
12k k ++ C ．(1)(1)(2)122k k k k +++⎡⎤⎡⎤
+++⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
L D ．
(1)(2)
2
k k ++
2．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．方程22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A ．－3＜m ＜0
B ．－3＜m ＜2
C ．－3＜m ＜4
D ．－1＜m ＜3
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，
(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2
a f
b f
c f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系
是（ ） A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
5．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π
个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x =
B ．6
x π
=
C ．4x π=
D ．2
x π=
6．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升
B ．三升
C ．四升
D ．五升
7．求函数21y x x =-- ）
A ．[0，+∞）
B ．[
17
8
，+∞） C ．[
5
4
，+∞） D ．[
15
8
，+∞） 8．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）
A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．73,88ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦ C ．921,48ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．933,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
9．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 3
1
3
5
7
则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+必过 A ．()2,2 B ．()1.5,4
C ．()1,2
D ．()1.5,0
10．6
1(2)x x
-的展开式中的常数项是（ ） A ．192
B ．192-
C ．160
D ．160-
11．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分的含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得
8
1
52i
i x
==∑，81
228i i y ==∑，821
478i
i x ==∑，8
1
1849i i i x y ==∑，则y 对x 的回归方程是( )
A ．$y ＝11.47＋2.62x
B ．$y ＝－11.47＋2.62x
C ．$y ＝2.62＋11.47x
D ．$y ＝11.47－2.62x
12．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ） A ．
1
6
B ．
C ．
13
D ．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．如图所示是世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条
型区域，因此两个变量呈线性相关关系．利用散点图中的数据建立的回归方程为ˆ 3.19388.193y
x =+，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差_________．
15．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径 为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为__ _
16．若对一切实数x ，不等式2
20x a x -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知234
1()n
x x
+ 展开式中的倒数第三项的系数为45， 求：（1）含3x 的项； （2）系数最大的项．
18．设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求22
11
a b
b a +
++的最小值. 19．（6分）某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．
（含20）的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；
（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．
20．（6分）设函数2
1()2ln ()2
f x x ax x a R =-+∈在1x =时取得极值． （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间．
21．（6分）已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;
⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
22．（8分）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和n （*N n ∈）个人口低于200万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415
. （1）求n 的值；
（2）若一次抽取4个城市，则：①假设取出小城市的个数为X ，求X 的分布列和期望； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】
解：∵n k =时，左边最后一项为(1)
1232
k k k ++++⋯⋯+=
， 1n k =+时，左边最后一项为(1)(2)
123..(k 1)2
k k +++++⋯++=
，
故选：D ． 【点睛】
本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．C 【解析】
试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有5
5120A =种不同的取法，
若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有
211
321336A A A =种取法，∴363
12010
P =
= 考点：古典概型及其概率计算公式 3．A 【解析】
由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A. 4．B 【解析】
试题分析：由题意得：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，即f （x ）=f （2-x ）成立， 所以函数的对称轴为x=1，所以f （3）=f （-1）． 因为当x ∈（-∞，1）时，（x-1）f ′（x ）＜0，
所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（-∞，1）上单调递增．
故选B ．
考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。

点评：中档题，熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数。

自左向右看，函数图象上升，函数增；函数图象下降，函数减。

5．B 【解析】
试题分析：()12cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，所以函数()g x 对称轴方程
6．B 【解析】 【分析】
由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案． 【详解】
由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为42
32
+=，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】
=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x
【详解】
=t ，t ≥0，
则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）21515
88
+
≥， 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 8．D 【解析】 【分析】
利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】
根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则3
11534884
T πππ
=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388
ππ
π-=
【点睛】
本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题． 9．B 【解析】 【分析】
先求出x 的平均值 x ，y 的平均值 y ，回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），代入可得答案． 【详解】
解：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），
0123
1.54x +++=
=135744
y +++== ，
∴样本中心点是（1.5，4），
则y 与x 的线性回归方程y ＝bx+a 必过点（1.5，4）， 故选B ． 【点睛】
本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ）． 10．D 【解析】
分析：利用二项展开式的通项公式66622
16
6112r r
r r
r
r r r r
r T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），
令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得6
⎛
⎝
的展开式中的常数项．
详解：设二项展开式的通项为1r T +，
则66622
16
6112r r
r r
r
r r r r r T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），
令
6022
r r
--=得：3r = ，
∴6
⎛ ⎝
展开式中的常数项为3633
612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．
点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．
分析：根据公式计算ˆb
≈2.62，ˆa ≈11.47，即得结果. 详解：由1
2
2
1
,()ˆˆˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
a y bx x
n x ==-==--∑∑，直接计算得ˆb ≈2.62，ˆa ≈11.47，所以ˆy
＝2.62x ＋11.47.选A.
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量
的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b
$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y . 12．A 【解析】
试题分析：从4个数中任取2个数包含的基本事件有:()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个，其中两个都是偶数的基本事件有()2,4共1个，所以所求概率为1
6
P =．故A 正确． 考点：古典概型概率．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．31.93美元 【解析】 【分析】
设所受教育百分比分别为%,%a b ，且10a b -=，利用回归方程计算即可． 【详解】
设所受教育百分比分别为%,%a b ，且10a b -= 根据回归方程为 3.19388.193y x ∧
=+， 收入相差大约为：
()3.19388.193 3.19388.193 3.1931031.93a b ⨯+-⨯+=⨯=，
即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差约31.93美元． 故答案为：31.93美元． 【点睛】
本题考查了线性回归方程的应用问题，属于中档题． 14．[]
3,2-
直接去掉绝对值即可得解. 【详解】
由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]
3,2-. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题. 15．
【解析】
设正方形的边长为1,则扇形的面积为
1
4
π，所以，它落在扇形外正 方形内的概率为
14414
P π
π--=
=. 16．(
,22-∞ 【解析】 【分析】
当0x =时，不等式显然成立；当0x ≠时，不等式2
20x a x -+≥恒成立等价于222
x a x x x
+≤=+恒成立，运用基本不等式可得2
x x
+的最小值，从而可得a 的范围． 【详解】
当0x =时，不等式2
20x a x -+≥显然成立；
当0x ≠时，不等式2
20x a x -+≥恒等价于22
x a x
+≤恒成立，
由2222
222x y x x x x x
+==+≥⋅= 当且仅当2x =± 所以22a ≤(
,22.-∞ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立
或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1) 210x 3(2)
25
12252x 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由已知得：2
45n n
C -=，即2
45n C =，
∴2900n n --=，解得9n =-（舍）或10n =，
由通项公式得：102134110r
r
r r T C x x --+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
102r 1043104r r r C x --+-=， 令102
r 343
r --+=，得6r =， ∴含有3x 的项是633
710210T C x x ==.
（2）∵此展开式共有11项，∴二项式系数（即项的系数）最大项是第6项，
∴5
5
2125
53412610252T C x x x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
18． (1) m ＝1 (2)1
3
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b ＋1)＋(a ＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：
（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝
由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1． 所以m ＝1．
（2）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，
＋＝
(
＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ [a 2＋b 2＋＋
]
＝(a＋b)2
＝．
当且仅当a＝b＝时取等号．
即＋的最小值为．
19．（1）180；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数；
（2）由题意知的可能取值为，分别求出相应的概率，由此得到随机变量的分布列，求解数学期望；（3）分别求出甲组学生的平均保持率和乙组学生的平均保持率，由此得到临睡前背英语单词的效果更好. 【详解】
（1）因为1000×5%=50，由图可知，甲组有4+10+8+4+2+1+1=30（人）
所以乙组有20,人，又因为40×60%=24，所以识记停止8小时后，40个音节的保持率大于或等于60%的甲组有1人，乙组有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人）
所以（1+8）÷5%=180（人），估计1000名被调查的学生中约有180人.
（2）由图可知，乙组在范围内的学生有(0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人）
在范围内的有0.075×4×20=6（人），X的可能取值为0,1,2,3，
，
X 0 1 2 3
P
所以X的分布列为
（3）2×4+6×10+10×8+14×4+18×2+22×1+26×1=288
甲组学生的平均保持率为
（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432，乙组学生的平均保持率为，
所以临睡前背英语单词记忆效果更好.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答认真审题，合理分析，正确求解随机变量的取值及对应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
20．（1）3；（2）()f x 的单调递增区间为()()0,1,2,+∞；单调递减区间为（1，2）．
【解析】
【分析】
（1）根据极值的定义，列出方程'
(1)0f =，求出a 的值并进行验证； （2）利用导数的正负求单调区间.
【详解】
（1）'2()f x x a x =-+， 当1x =时取得极值，则'(1)0f =，
即：120a -+=，解得：3a =，
经检验，符合题意．
（2）由（1）得：21()32ln 2
f x x x x =
-+， ∴2(1)(2)()3,(0)x x f x x x x x --'=-+=>, 令'()0f x >解得：01x <<或2x >，令'
()0f x <0解得：12x <<，
∴()f x 的单调递增区间为(0,1),(2,)+∞；单调递减区间为(1,2)．
【点睛】
若一个函数存大两个或两个以上的单调递增区间或单调递减区间，则在书写时一般是用“，”隔开，或写一个“和”字，而不宜用符号“U ”连接.
21．（1）
（2） 【解析】
【分析】
【详解】
本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．
首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P 3的坐标，然后利用1l l ⊥，设出方程为x+2y+c=3,根据直线过点P 3得到结论．
解：（1）由y=x 3+x-2，得y′=3x 2+1，
由已知得3x 2+1=2，解之得x=±1．
当x=1时，y=3；
当x=-1时，y=-2．
又∵点P 3在第三象限，
∴切点P 3的坐标为（-1，-2）；
（2）∵直线 l ⊥l 1，l 1的斜率为2，
∴直线l 的斜率为-1/ 2 ，
∵l 过切点P 3，点P 3的坐标为（-1，-2）
∴直线l 的方程为y+2=14
-
（x+1）即x+2y+17=3． 22．（1）8；（2）①分布列见解析，3215；②13. 【解析】
【分析】
（1）先由题意，得到共7n +个城市，取出2个的方法总数是27n C +，其中全是小城市的情况有2
n C ，由题中数据，得到227415n n C C +=，求解，即可得出结果； （2）①先由题意，得到X 的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，进而可求出分布列，得出数学期望；
②分别求出四个城市全是超大城市，以及四个城市全是小城市的情况，进而可求出对应的概率.
【详解】
（1）由题意，共7n +个城市，取出2个的方法总数是27n C +，其中全是小城市的情况有2
n C 种， 故全是小城市的概率是()()()22714=7615n n n n C C n n +-=++，整理得211671680n n --=， 即()()112180n n +-=，n N *∈Q ，解得8n =；
（2）①由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，4.
()474151039C P X C ===；()138********C C P X C ===；()228741528265C C P X C ===；()3187415563195
C C P X C ===；()48415239
C P X C ==. 故X 的分布列为
012343939651953915
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ②若4个城市全是超大城市，共4735C =有种情况；
若4个城市全是小城市，共有4870C =种情况；
故全为超大城市的概率为47448735170353
C C C ==++. 【点睛】
本题主要考查简单随机抽样的概率，离散型随机变量的分布列与期望，以及古典概型的概率，熟记对应的概念及公式即可，属于常考题型.。