福建省厦门外国语学校2023届高三上学期期末检测数学试题
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由已知条件得
将12人任意分成3组，不同的分组方法有 种，
3个种子选手分在同一组的方法有 种，
故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为 ，
故选： .
5.已知函数 ，若 在 上的值域是 ，则实数a的取值范围为（）
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：D
3.已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A.-2B. C.3D.9
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求得 ，结合诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求解即可．
【详解】 角 的终边经过点 ，则 ，
即 ，解得 ，
．
故选：B．
4.长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ）
因为 为奇函数，所以 ，
令 ，得： ，所以 ，所以 ，即为 ，所以 .
记 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减.
不等式 可化为 ，即为 .
所以 .
故选： .
8.已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ， 为 上一点，且 的内心为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明出 为周期为8的周期函数，把 转化为 .记 ，
利用导数判断出 在 上单调递减，把原不等式转化为 ，即可求解.
【详解】因为 为偶函数， 为奇函数，
所以 ， .
所以Байду номын сангаас， ，所以 .
令 ，则 .
令上式中 取 ，则 ，所以 .
令 取 ，则 ，所以 .
所以 为周期为8的周期函数.
9.给出下列说法，其中正确的是（ ）
A.若数据 ， ，…， 的方差 为0，则此组数据的众数唯一
B.已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等
D.经验回归直线 恒过样本点的中心（ ），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好
A. 最大值为 B. 最大值为1
C. 最大值是2D. 最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， ， ， ，设 ，
则 ， ， ，
由 ，得 且 ，
，故A错；
时 ，故B正确；
对于选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，C正确；
对于选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是回归直线上的样本点多，拟合效果就越好，D错误.
故选：AC
10.正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， ，则（）
【答案】AC
【解析】
【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.
【详解】对于选项A：由方差
可得 ，即此组数据众数唯一，A正确；
对于选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由 可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，B错误；
【分析】根据题意得 的周长为 ，内切圆的半径为 ，再结合等面积法得 ，再平方整理得 ，再求离心率即可；
【详解】解：由题知 为 上一点，
所以 ， ，
所以 的周长为 ，
因为 的内心为
所以， 内切圆的半径为 ，
所以，由三角形内切圆的性质知， ，即 ，
两边平方并整理得 ，即 ，
所以 ，离心率为
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，共20分
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法将 在 上的值域为 转化为 在 上的值域为 ，然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】 ，令 ，则 ， ，因为 ， ， 的值域为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
6.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 项分别为 、 、 、 、 、 、 ，则该数列的第 项为（ ）
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液.不按以上要求
一、单项选择题：本题共8小题，共40分
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出集合 ，再由并集的概念求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
2.已知复数 的实部与虚部的和为12，则 （ ）
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】
【分析】先利用复数的乘法运算化简复数 ，再利用实部与虚部的和为12求得 ，根据模长公式即可求解.
【详解】因为 且 的实部与虚部的和为12，
厦门外国语学校2023届高三上期末学科限时训练
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效.
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11.已知函数 ，其中实数 ，则下列结论正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设所求数列为 ，分析可得 ， ， ， ， ，利用累加法可求得 的值.
【详解】设数列 的前 项分别为 、 、 、 、 、 、 ，
由题意可得 ， ， ， ， ，
上述等式全加可得 ，
所以， .
故选：C.
7.已知定义在 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足 且 为偶函数. 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由已知条件得
将12人任意分成3组，不同的分组方法有 种，
3个种子选手分在同一组的方法有 种，
故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为 ，
故选： .
5.已知函数 ，若 在 上的值域是 ，则实数a的取值范围为（）
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：D
3.已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A.-2B. C.3D.9
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求得 ，结合诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求解即可．
【详解】 角 的终边经过点 ，则 ，
即 ，解得 ，
．
故选：B．
4.长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ）
因为 为奇函数，所以 ，
令 ，得： ，所以 ，所以 ，即为 ，所以 .
记 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减.
不等式 可化为 ，即为 .
所以 .
故选： .
8.已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ， 为 上一点，且 的内心为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明出 为周期为8的周期函数，把 转化为 .记 ，
利用导数判断出 在 上单调递减，把原不等式转化为 ，即可求解.
【详解】因为 为偶函数， 为奇函数，
所以 ， .
所以Байду номын сангаас， ，所以 .
令 ，则 .
令上式中 取 ，则 ，所以 .
令 取 ，则 ，所以 .
所以 为周期为8的周期函数.
9.给出下列说法，其中正确的是（ ）
A.若数据 ， ，…， 的方差 为0，则此组数据的众数唯一
B.已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等
D.经验回归直线 恒过样本点的中心（ ），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好
A. 最大值为 B. 最大值为1
C. 最大值是2D. 最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， ， ， ，设 ，
则 ， ， ，
由 ，得 且 ，
，故A错；
时 ，故B正确；
对于选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，C正确；
对于选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是回归直线上的样本点多，拟合效果就越好，D错误.
故选：AC
10.正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， ，则（）
【答案】AC
【解析】
【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.
【详解】对于选项A：由方差
可得 ，即此组数据众数唯一，A正确；
对于选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由 可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，B错误；
【分析】根据题意得 的周长为 ，内切圆的半径为 ，再结合等面积法得 ，再平方整理得 ，再求离心率即可；
【详解】解：由题知 为 上一点，
所以 ， ，
所以 的周长为 ，
因为 的内心为
所以， 内切圆的半径为 ，
所以，由三角形内切圆的性质知， ，即 ，
两边平方并整理得 ，即 ，
所以 ，离心率为
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，共20分
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法将 在 上的值域为 转化为 在 上的值域为 ，然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】 ，令 ，则 ， ，因为 ， ， 的值域为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
6.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 项分别为 、 、 、 、 、 、 ，则该数列的第 项为（ ）
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液.不按以上要求
一、单项选择题：本题共8小题，共40分
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出集合 ，再由并集的概念求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
2.已知复数 的实部与虚部的和为12，则 （ ）
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】
【分析】先利用复数的乘法运算化简复数 ，再利用实部与虚部的和为12求得 ，根据模长公式即可求解.
【详解】因为 且 的实部与虚部的和为12，
厦门外国语学校2023届高三上期末学科限时训练
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效.
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11.已知函数 ，其中实数 ，则下列结论正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设所求数列为 ，分析可得 ， ， ， ， ，利用累加法可求得 的值.
【详解】设数列 的前 项分别为 、 、 、 、 、 、 ，
由题意可得 ， ， ， ， ，
上述等式全加可得 ，
所以， .
故选：C.
7.已知定义在 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足 且 为偶函数. 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（ ）