课件4：2.3.2 圆的一般方程

当 x1＝x2 时，点 A、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)， 这时点 P 的坐标为(0,0)也满足③，
所以点 P 的轨迹方程是 x2＋y－122＝14.
课时作业 1．方程x2＋y2＝a2(a∈R)表示的图形是( ) A．表示点(0,0) B．表示圆 C．当a＝0时，表示点(0,0)，当a≠0时表示圆 D．不表示任何图形 解析：注意分a＝0和a≠0两种情况讨论． 答案：C
2．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(0，－2)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
解析：x2＋(y－2)2＝5，圆心(0,2)，半径 5 .
答案：C
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5．指出下列圆的圆心和半径：
(1)x2＋y2－x＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.
解析：(1)(x－
1 2
)2＋y2＝
1 4
，圆心(
1 2
，0)，半径r＝
1 2
；
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|；
(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝ 1＋a2.
3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，在什么 条件下表示圆的方程. A=C≠0，B＝0且D2+E2-4AF＞0 练习2.圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为：_(_1_，__－_5_)_， 半径为：__5__2____.
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆；
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为
(x－
5 4
)2＋y2＝(
5 4
)2，
∴它表示以(
5 4
，0)为圆心，
5 4
为半径的圆．
跟踪训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－6x＝0； (2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)； (3)x2＋y2－2ax－2 3 y＋3a2＝0.
示的曲线关于y＝x对称，则必有( )
A．D＝E
B．D＝F
C．F＝E
D．D＝E＝F
解析：由题知圆心－D2 ，－E2在直线 y＝x 上，
即－E2＝－D2 ，∴D＝E.
答案：A
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取
值范围是( )
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
D＝－2 ∴E＝2
F＝－3
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y－3＝0 法二：线段 AB 的中垂线方程为 x＝1， 线段 AC 的中垂线方程为 x＋y＝0
由x＝1 x＋y＝0
得圆心坐标为 M(1，－1)，
半径 r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
题型三 求轨迹方程
2.3.2 圆的一般方程
基础梳理
1．圆的一般方程的定义 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 __x2_＋__y_2_＋__D_x_＋__E_y_＋__F_＝__0__称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程
条件
图形
D2＋E2 －4F<0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
题型一 圆的一般方程的概念 例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径： (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
解析：将其化成标准式再进行判断，并给出答案． (1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同， ∴它不能表示圆； (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项， ∴它不能表示圆；
2
22
解法三：设圆心为C,则CB⊥l,
∴CB的方程为y-6=3(x-8),即3x-y-18=0.
又AB的垂直平分线的方程为x+y-4=0,得圆心C（Fra bibliotek11 2
， 3 ）. 2
半径 r=（11-8）2 （- 3 -6）2 125.
2
2
2
∴所求圆的方程为 (x 11)2 ( y 3)2 125.
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为 (3,0)，半径为3. (2)原方程化为x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该圆的圆心为(0， －b)，半径为|b|. (3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为表示圆， 所以3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)， 半径为 3－2a2.
D＝2， ∴E＝4，
F＝－5.
∴圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
∴圆的方程为 x ＋y ＋2x＋4y－5＝0. 法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
2－a2＋－3－b2＝r2， －2－a2＋－5－b2＝r2， a－2b－3＝0.
a＝－1， ⇒b＝－2，
r2＝10
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
D2＋E2 －4F＝0
表示一个点2_.__－_D2_， __－__E2___－D2 ，－
F＝0
D2＋E2
表示以_2_._－__D2_，_－ __E2___为－圆D2 ，心－，E2以12 D2＋
2.－D2 ，－E2－ 4F>－0D2 ，－E2 _12___D_2_＋__E_2_－__4F__为半径的圆
解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得
k<1. 答案：B
4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为 ________________．
解析：圆的半径r＝ －3－52＋4－12＝ 73， ∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73， 展开整理得， x2＋y2＋6x－8y－48＝0为圆的一般方程． 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0
法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x－
2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝
10，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得
1－D＋F＝0 9＋3D＋F＝0 1＋E＋F＝0
自测自评
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，r＝16
B．(2，－3)，r＝4
C．(－2,3)，r＝4
D．(2，－3)，r＝16
解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3)， 半径 r＝12 42＋－62＋12＝4. 答案：C
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表
两式相减得x12－x22＋y12－y22＝0， 所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
当 x1≠x2 时，有 x1＋x2＋(y1＋y2)·yx11－ －yx22＝0，①
并且
x＝x1＋2 x2， y＝y1＋2 y2.
②
y－x 1＝yx11－ －yx22，
将②代入①并整理得 x2＋y－122＝14.③
例3 自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨
迹方程．
解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，
则有
＝4，且
∴x1＝x221＋x－y212 ，y1＝2y.∴x＝(2xx1－＋2 22)，2＋y＝(2yy1)＋22＝0.4，即(x－1)2＋y2＝1.
当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，
题型二 求圆的方程 例2 求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切 于点B(8,6)的圆的方程． 解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般方 程，有多种解法． 解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
－22＋－42－2D－4E＋F＝0，
82＋62＋8D＋6E＋F＝0，
则有
－ －DE22－ －68×－13＝－1，
∴所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
解法二： 设圆心C（a,b）且圆的方程为
（x-a）2+（y-b）2=r2.
∵|CA|=|CB|,CB⊥l,
解得a= 11 ,b= 3 ,从而r= 125
2
2
2
故所求的方程为（x-11）2 ( y 3) 125.
2
22
跟踪训练 2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直 线x－2y－3＝0上，求圆的方程． (2)求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，如利 用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径． (1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则
∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
跟踪训练
3．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O 是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹 方程．
解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．
因为A、B在圆上，所以x21＋y12 ＝4，x22＋y22＝4，