10.1.2 事件的关系和运算课件

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时
不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件
都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥
讲
课
人
：
邢
启 强
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课本练习
2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于 2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点 数为奇数”，F=“点数为偶数”。
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥√； (3)C3⊆D2; √ (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;√ (7)E=C1∪C3∪C5;√ (9)D2∪D3=D2√;
空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得
A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
A={(0,0),(0,1)}, B ={(0,0),(1,0)}.
(3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,
5.某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名 同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互 斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生与全是男生； (3)至少有 1 名男生与全是女生； (4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生．
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？ 请用集合的形式表示这些事件
借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
事讲课 实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研
究人：邢 随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.
启 强
3
学习新知
1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为 奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}. 显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这 种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G. 这 时我们说事件G包含事件C1.
10.1.2事件的关系和运算
1．当几个集合是有限集时,常用列举法 列出集合中的元素,求集合A∪B与A∩B 中集的 合元A与素B个中数．A元∩B公素中共的的个元数素；个而数当即为
A集∩合B中＝元Ø时素,个A∪数B中的；元而素之当个和A数∩即B为≠Ø两个
时个数,A∪之B和中的元A素∩个B中数的减即元为去素A、个B数中．元．素
(2)C2,C3为对立事件×;
(4)D3 ⊆D2√;
(6)D3=C5∪C6;
√
(8)E,F为对立事件√；
(10)D2∩D3=D3√.
讲
课
人
：
邢
启 强
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巩固练习
1.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,
向上面至少有一枚是正面为事件N,则有( A )
A.M ⊆ N B. M⊇N C.M=N D.M<N
则P∪Q＝{向上的点数是 1 或 3 或 4} , M∩Q＝_{_向__上__的___点__数__是__3_}_______.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,
从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件
讲 课 人 ： 邢
A则, A的对立事件是_至_少_有__一_件__是．二级品
启 强
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巩固练习
球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不
同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及
上述各事件；
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
讲 课 人 ：
事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
邢
启 强
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典型例题
解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1 是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样 本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),
2.一个射手进行一次射击，试判定下列事件
哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
1）事件A：命中环数大于7；
2）事件B：命中环数为10环；
3）事件C：命中环数小于6；
讲 课
4）事件D：命中环数为6、7、8、9、10。；
人
：
邢
启 强
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巩固练习
3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝ {向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是 3或4},M＝{向上的点数是1或3},
讲
课
人
：
邢
启 强
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巩固练习
6．如果事件
A 、B
互斥，记－A ，－B 分别为事
件 A，B 的对立事件，那么( B )
A．A∪B 是必然事件
B.－A ∪－B 是必然事件
C.－A 与－B 一定互斥
D.－A 与－B 一定不互斥
讲
课
人
：
邢
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课堂小结
1.事件的各种关系与运算,可以类比集合的关 系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延 具有包含关系,即{对立事件}⊆{互斥事件}.
(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生，
那么事件B一定发生，则称事件B包含事
件A，（或称事件A包含于事件B）
记作：B A(或A B)
注: 1）不可能事件记作
讲 课 人 ：
2）任何事件都包含不可能事件
邢
启 强
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学习新知
若事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，
则称这两个事件相等。记：A=B 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等。
(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是 R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}; 事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是 R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
讲 课 人
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
：
邢
启 强
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课本练习
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件 “至少一次中靶”互为对立的是( ).
(A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
A∩ B表示电路工作不正常；
A∪B和 A∩ B互为对立事件.
讲课人来自：邢启 强
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典型例题
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中
有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3
和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事
件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红 球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿
讲
课
人
：
邢
启 强
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从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多 随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的 概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运 算.
在掷骰子实验中,可以定义许多事件,
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事 件G互斥；
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅 有一A个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与 事件B互为对立.
事件A的对立事件记为 A ,可以用图表示为.
其含义是：事件A与事件B在任何一
次试验中有且仅有一个发生．
讲
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人
：
邢
启 强
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学习新知
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样 本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与 事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色
区域和黄色区域表
讲 课 人
示这个并事件.
：
邢
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学习新知
3.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2={2}. 可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或 3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系 用集合的形式表示,就是{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2. 我们称事件C2为事件E1和E2的交事件.
事件的关系或运算
包含 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立
含义
符号表示
A发生导致B发生
A⊆B
A与B至少一个发生
AUB或A+B
A与B同时发生
A∩B或AB
A与B不能同时发生
A∩B=Φ
A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当
可以用图表示这两个事件互斥.
讲
课
人 ： 邢
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
启 强
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学习新知
5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为 奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}. 在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且 也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以 表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且 {2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对 立事件.事件D1与D2也有这种关系.
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邢
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学习新知
2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件 E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,它们分别是 D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}. 可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1 发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是 (1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为 事件E1和事件E2的并事件.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包 括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事 件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件(A+B）或(A∪B）,表示事件A与事
件B至少有一个发生,事件(AB）或A∩B,表示
事讲 件A与事件B同时发生.
课
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邢
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课堂小结
(1)包含关系、相等关系的判定
且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当
且仅当A,B,C同时发生,等等.
讲
课
人
：
邢
启 强
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典型例题
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每
个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正
常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既 在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与 事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
讲
课
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邢
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学习新知
4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件 C4=“点数为4”. 它们分别是C3={3},C4={4}. 显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的 形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ, 即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥. 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是 说AnB是一个不可能事件,即AnB=0,则称事件A与 事件B互斥(或互不相容）.
件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说
明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元
件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2) 表元样本点.这样,确定事件A,B所包
讲
含的样本点时,不仅要考虑甲元件的
课 人 ：
状态,还要考用乙元件的状态.
邢
启 强
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典型例题
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的 状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状 态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本