层流边界层的流动与换热

2、温度边界层
•与速度边界层相似，有温度边界层或热边界层。当流体和 温度不同的固体表面进行对流换热时，这一温差只有在于 表面附近一层很薄的流体层内，因而温度场在这一很薄的 流体层内沿表面法线方向存在很大的速度梯度，这一表面 附近的流体薄层就称为温度边界层或热边界层。热边界层 厚度用 t 表示。通常规定其边界在垂直于流动方向流体温 tw 差t∞－t等于0.99（t∞－ t）处， t∞表示主流温度， 表示 w 壁面温度。 在温度边界层内，温度梯度很大，而其外部温度梯度很小， 可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处理
h～
( t / t )
t
～
（7-2-23）
21
t
第七章 层流边界层的流动与换热
考虑边界层能量方程各项的数量级： 对流项～导热项
u t , v tt ～ a 2t L
t
•若热边界层厚度远大于速度边界层厚度
h～ L Pr Nu～ Pr


1
2
Re L , Pr 1
§7-1 对流换热中的根本问题
1 对流换热中的根本问题 对流换热与热对流不同，既有 热对流，也有导热；不是基本 传热方式。我们工程中经常遇 到典型的外部问题如图所示， 流体以均匀的速度 U 温度 T 流 过温度为 T0的平板。这种换热 表面可以是建筑围护结构、电 子器件冷却表面，也可以是换 热器的表面或肋表面。 工程中需要了解以下两个问题： （1）介质中平板的受力情况 （2）平板与介质的换热情况
（7-2-15）
类似地分析可以得到边界层能量方程
t t 2t u v a x y y 2
（7-2-16）
第七章 层流边界层的流动与换热
19
边界层流动与传热分析
流动摩擦阻力
～
U
dp 对于具有均匀压力的自由流， dx 0 ，根据边界层的动量 方程（7-2-15）有 惯性力项～摩擦力项
（7-2-13）
与（7-2-7）一致，即边界层的压力主要在 x方向， 换言之，在任意x处，边界层的压力与边界层外缘
第七章 层流边界层的流动与换热 18
处压力相同，即 dp
p dx x
（7-2-14）
将上式代入方程（7-2-5）得
u u 1 dp 2u （u v ) x y dx y 2
t t 2T 2T u v a( ) 2 2 x y x y
•边界条件为： 壁面处 u=0, 非滑移界面 v=0,无渗透表面 T T0 ,常壁温 远离壁面处 u= U , 均匀流 v=0,均匀流 T T ,均匀温度
§7-2 边界层分析
1、速度边界层
从 y = 0、u = 0 开始，u 随着 y 方向离壁面距离的增加而迅 速增大；经过厚度为 的薄层， u 接近主流速度 u y = 薄层 — 流动边界层 或速度边界层
17
类似地，由方程（7-2-6）得
p v （7-2-11） ～ y 2 再考虑方程（7-2-9）的右侧第二项的数量级
(p / y )( dy / dx) v 2 ～ ～（ ） ＜＜1 p / x UL L
（7-2-12）
比较方程（7-2-9）右侧两项，得到
dp p dx x
4、边界层的提出 温度边界层以外的区域中，流体内部没 有温差，因而不存在传热，研究对流换 热问题只需要考虑温度边界层内的热量 传递就够了。因此，温度边界层概念的 提出，不仅可以简化对流传热问题的数 学模型，而且使需要求解的区域大大缩 小。
第七章 层流边界层的流动与换热
14
5、边界层微分方程组
在主流区 u=U∞ ，V=0，P=P∞， t=t∞ （7-2-1）
t t 2t u v a x y y 2
第七章 层流边界层的流动与换热 26
常壁温边界条件为 引入无量纲温度
y 0, t t w y , t t

t tw t t w
上述边界层能量方程变为
2 u v a x y y 2
与动量方程相似解方法类似，引入相似变量
y y 12 U Re x y ( x) x vx
有
U 1 ' 1 1 ' ( )( 2 y ) 2 ( ) x x vx x x
第七章 层流边界层的流动与换热 27
U ' ( ) y y vx 2 U '' ( ) 2 y vx
12 1
1
2
Re L
3
2
•若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度
h～ L Pr Nu～ Pr
1
Re L , Pr 1
12 1
1
3
Re L
2
22
第七章 层流边界层的流动与换热
7-3层流边界层流动和换热的相似解
1、外掠平板层流边界层流动和换热的相似解 （1）布劳修斯解 1908年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，求解 了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程。 引入无量纲速度 u / U 和相似变量η
第七章层流边界层的流动与换热

运动流体和温度不同的固体表面间所进行的热量传递过程 称之为对流换热，对流换热是一种非常普遍的传热现象， 如 1)暖气管道; 2)电子器件冷却；3)电风扇。

我们从质量、动量和能量守恒出发，已经建立了对流换热 的数学描述，本章主要讨论以下内容 边界层理论 边界层微分方程 对流换热中的根本问题 层流边界层流动和换热的相似解 层流边界层的积分方程 层流边界层积分方程的近似解
如在边界层的前缘， 论不适用。
Re L
不会远小于1。故边界层理
式（7-2-17）可改写为
～
U

Re L
f
1
2
～U Re L
2
1 2 ( U ） 2
1
2
（7-2-21）
无量纲摩擦系数 C


取决于雷诺数，即
1 2
C f～ Re L
（7-2-22）
分析基于热边界层厚度δt的换热方程，有
2 U U ～ L 2 L 1 2 ～（ ） U

L
（7-2-17）
（7-2-18） （7-2-19）
式（7-2-18）要求 即

L
～ Re L
1
2
（7-2-20）
20
式中Re L 是基于流动方向长度的雷诺数。
第七章 层流边界层的流动与换热
上式的意义在与，它指出了只有在雷诺数远远小于1 的情形（δ＜＜L）边界层理论才有效。
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第七章 层流边界层的流动与换热 10
此区域中垂直与主流方向的速度梯 度很大，尽管介质的粘性较小，但 粘性切应力很大，认为边界层外缘 的速度已达到主流速度，此处横向 速度接近于零。
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第七章 层流边界层的流动与换热 11
此区域中流体的速度梯度接近于 零，粘性力可以忽略不计，按无 粘性的势流处理，符合伯努力方 程。严格地讲，边界层与主流区 无明确的分面，按实际壁面粘性 滞止作用的影响，其边界应在无 限远处。边界层是一种人为引进 的理想化概念。
U L
（7-2-4）
考虑边界层内x方向的动量方程
u u 1 p 2u 2u （u v ) ( 2 ) 2 x y x x y p U U U U ， ， U ，v L L L 简化为 u u 1 p 2u （u v ) x y x y 2
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第七章 层流边界层的流动与换热 12
3、速度边界层与温度边界层的 区别 •温度边界层厚度δ通常不等于温度边界层 厚度δt ，两者的关系通常取决于流体的热 物性。 •只要流体和表面间存在相对运动，总存 在速度边界层，而温度边界层只有在流体 和表面间存在温差的情况下才能形成。
第七章 层流边界层的流动与换热 13
3 U
x
0.332
2 U
Re x
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第七章 层流边界层的流动与换热
引入局部摩擦系数
1 w Cf 1 0.664 Re 2 2 U 2
对应于整个平板长度L的平均摩擦系数为
C f ,m
1 L 1 2 C f dx 1.328 Re L L 0
（2）波尔豪森解 对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的二维稳态流动， 其边界层能量方程为
— 边界层厚度
•流体流过平板时，由于流体粘性力的作用，在壁面处流 体的速度为0，在垂直于流体方向很短距离内，速度迅 速增加到接近主流速度（及速度梯度主要出现在靠近壁 面的区域）。只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，此 薄层称之为速度边界层，如上图所示。通常定义边界层 的外缘为速度达到主流速度的99%处，即u=0.99U∞, U∞表示主流速度。在y=δ以外区域，粘性的影响由于 速度梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理 论将流场分为两个区域。 1、流体粘性起主要作用的边界层区 2、边界层外的流动
p p dp dx dy x y 除以 dx得到 dp p p dy dx x y dx
（7-2-8）
（7-2-9）
从动量方程的数量级分析，考虑压力项和摩擦项平衡， 如方程（7-2-5），有
p U ～ x 2
第七章 层流边界层的流动与换热
（7-2-10）
用δ表示速度u由壁面处的u=0变化到接近主流速度U∞ 的距离的数量级。在边界层面区域，可以得到如下数量 关系：x～L，y～δ，u～ U∞ （7-2-2） 在边界层的δ×L区域，考虑连续性方程
u v 0 x y
U L
v
第七章 层流边界层的流动与换热
（7-2-3）
15
可知 v～
引入前面定义的相似变量η，得到
u ( ) U U x
（7-3-5）
令f

U x
称无量纲流函数，则有
1 2
(U x)
f ( )
（7-3-6）
考虑常物性不可压缩流体流过平板的二维稳态边界层的连续 性方程和动量方程及相应的边界条件得到： （7-3-7） ''' ''
图7-1
2 二维常物性不可压缩流体基本方程
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y
v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) (7 - 1 - 1) x y y x y
2 f ff 0
第七章 层流边界层的流动与换热
24
边界条件为
0, f ' f 0 , f ' 1
方程（7-3-7）称为布劳修斯方程。
u 由书中表7-1可知，η=5.0时，则 f U 0.99155 通常边界 u x
'
层外缘处速度取 或

x 5.0 Re
类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程
（7-2-5）
u u 1 p 2u （u v ) x y y y 2
第七章 层流边界层的流动与换热
（7-2-6）
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通过数量级分析可以得到 p
y
0
（7-2-7）
也可以通过下法分析简化压力项，考虑图7-1所示的边界 层内任一点的压力全微分
相似变量η与坐标y成正比，比例系数与x有关，令
u （） U
（7-3-1）
y y 12 Re x y ( x) x
U x
（7-3-2）
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第七章 层流边界层的流动与换热
将速度用流函数ψ表示：
u
则
y
, v x
（7-3-3） （7-3-4）
u 1 U U y
1 2
U
0.99，即 5.0 NhomakorabeaU
获得速度分布后，可以进一步得到壁面处的粘性剪应力 w :
3 u 2 U '' w ( ) y 0 ( 2 ) y 0 f (0) y y x
'' 由表7-1知， f (0) 0.332
w 0.332
对它的分析后可以得到流动的阻力（压 力损失），也就是维持流动所需要的泵 效率或能耗，这是流体力学与工程热力 学应用于传热过程的问题。
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第七章 层流边界层的流动与换热 9
第二个问题可以通过测平板与介质 之间的传热速率，这是传热学的根 本问题。
上述问题可以通过分析的方法得到 速度分布和温度分布，进而获得流 动阻力和热流密度