独立性检验

独立性检验
§1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
课前热身
1.2×2列联表
(1)分类变量的定义
变量的不同“值”表示__________，像这样的变量称作分类变量．
(2)2×2列联表的定义
一般地取两个分类变量X和Y，它们的值域分别为__________和__________，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为下表：
2.二维条形图
在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占比例__________，也可以估计满足X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占比例为__________，两个比例的值相差越大，则两分类变量有关系的可靠程度越大．
3．K2统计量
为了消除样本量|ad－bc|的影响，统计学中引入下面的量K2＝_____________________________________________________，
其中n＝__________为样本容量．
4．独立性检验的定义及实施步骤
(1)独立性检验的定义
利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“________________”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．
(2)判断“__________________________”的方法有列联表法、__________及K2公式的计算.
名师讲解
一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表：
若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”．
可以按如下步骤判断H1成立的可能性．
(1)通过二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．
在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占比例为a
a＋b
，
也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例为c
c＋d
，两个比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．
(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能
较精确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是：
根据数据代入公式K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
求出随机变量K2的观测值k，其值越大，说明X与Y有关系的可能性越大，当得到的观测数据a、b、c、d都不小于5时，可以得到以下结论用于确定X与Y的可信程度：
①如果k>10.828，有99.9%的把握认为X与Y有关系．
②如果k>7.879，就有99.5%的把握认为X与Y有关系．
③如果k>6.635，就有99%的把握认为X与Y有关系．
④如果k>5.024，就有97.5%的把握认为X与Y有关系．
⑤如果k>3.841，就有95%的把握认为X与Y有关系．
⑥如果k>2.706，就有90%的把握认为X与Y有关系．
⑦如果k≤2.706，就认为没有充分的证据显示X与Y有关系.
典例剖析
题型一概念辨析
例1在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()
A．如果K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误
D．以上三种说法都不正确
误区警示题中所说的“有99%的把握认为吸烟与患肺病有关”是指统计上的关系，而不是因果关系，也不能认为99%是指某人患有肺病的概率.
变式训练1下列说法正确的个数为()
①对事件A与B的检验无关，说明两事件互不影响；
②事件A与事件B关系越密切，K2的值就越大；
③K2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；
④若判断两事件A与B相关，则A发生B一定发生．
A．1B．2C．3D．4
例2打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.
变式训练2在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作比较，结果如下：
题型三利用K2公式进行独立性检验
例3在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：
试问新措施对防治猪白痢是否有效果？
分析对于新措施对防治猪白痢是否有效果？可以计算K2的值与临界值进行比较，作出判断．
规律技巧虽然二维条形图也能判断新措施对防治猪白痢是否有效果，但不能给出它们关系这一结论的可靠程度，因而我们常用K2公式解答问题.
变式训练3调查者询问了72名大学生在购买食品时是否观看营养说明得到下表所示的数据，从表中数据分析看不看说明书与大学生的性别之间有没有关系.
题型四独立性检验的应用
例4下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
变式训练4现有两种治疗运动员膝关节损伤的药方，为了比较两药方的疗效收集的数据如下表：
(2)哪种药方疗效好？
技能演练
基础强化
1．下列关于K2的说法正确的是()
A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个事件的相关性越大
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值的计算公式为
K2＝n(ad－bc)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
2．下面是一个2×2列联表
则表中a
A．94、96B．52、50 C．52、54 D．54、52 3．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()
4．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
A ．种子经过处理跟是否生病有关
B ．种子经过处理跟是否生病无关
C ．种子是否经过处理决定是否生病
D ．以上都是错误的 5．分类变量x 和y 的列联表如下，则( )
A.ad －bc C ．(ad －bc )2越大，说明x 与y 的关系越强 D ．(ad －bc )2越小，说明x 与y 的关系越强 6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
A ．99%
B ．95%
C ．90%
D ．无充分依据
7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
k ＝50(13×20－10×7)220×30×23×27≈4.844，因为k >3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，
那么这种判断出错的可能性为__________．
8．某大学在研究性别与职称(分正教授，副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是__________．
能力提升
9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为__________.
10
11．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动，你能否判断性别与休闲方式是否有关系？
品味高考
12．(2010·新课标)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮
助与性别有关；
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提
供帮助的老年人的比例？说明理由？
附：
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )。