2013年高考数学最后冲刺五变一浓缩精华卷第六期理(教师版)

2013年高考数学 最后冲刺五变一浓缩精华卷 第六期（理）（教师版）
2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模 吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题 山东省滨州市2013届高三第一次模拟
河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试
2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试
1.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】 已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则
a b
= A. 3
B. 2
C.
1
2
D.
13
2.【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】
在等差数列{}n a 中，135792()3()48a a a a a ++++=，则此数列的前10项的和10S ＝ （A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80
3.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜
π
2
的图象如图所示，为了得到()sin 3g x x =的图象，只需将()f x 的图象
（A ）向右平移
π
4个单位长度 （B ）向左平移π
4个单位长度
（C ）向右平移π
12
个单位长度
（D ）向左平移
π
12
个单位长度
4.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为
A. 7
B. 15
C. 31
D. 63
5.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有 （A ）20种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种
6.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为
A. 273
a π
B. 22a π
C.
2
114
a π
D. 243
a π
7.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】已知数列{}n a 满足
10a =，11n n a a +=+，则13a =
A. 143
B. 156
C. 168
D. 195
8.【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】 在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，,45AD
AB B ⊥∠=°，AB=2CD=2，M 为腰BC 的中点，则
MA MD ⋅=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1m]
9.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand ( )”,在用计算机模拟估计函数x y sin =的图像、
直线2π=x 和x 轴在区间[0,]2
π
上部分围成的图形面积时，随机点11(,)a b 与该区域内的点),(b a 的坐标变换公式为
A. 11,2
a a
b b π
=+=
B. 112(0.5),2(0.5)a a b b =-=-
C. [0,
],[0,1]2
a b π
∈∈
D. 1
1,2
a a
b b π=
=
10.【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】
已知长方形ABCD ，抛物线以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B 两点，记拋物线与AB 边围 成的封闭区域为M ．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为p ．则下列 结论正确的是
（A ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最大 （B ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最小
（C ）若AB
AD
的值越大，则p 的值越大
（D ）不论边长AB ，AD 如何变化，p 的值为定值
11.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线
C 上存在点P 满足1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2，则曲线C 的离心率为
（A ）
2332或 （B ）2
23或 （C ）1
22
或
（D ）1322
或
12.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
已知两条直线1l y a =：和218
21
l y a =
+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和
BD 在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，
n
m 的最小值为 A. 4
B. 16
C. 11
2
D. 10
2
13.【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】点P 在双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>上，12F F 、是这条双曲线的两个焦点，1290F PF ∠=︒，且12F PF 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
C.2 D .5
14.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时，
))12
log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨
⎪--∈+∞⎡⎣⎩
则关于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点 之和为
（A ）1-2a
（B ）21a
-
（C ）12
a
--
（D ）2
1a
--
15.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，
过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1PA 是12F F 和12A F 的等比中
项，则该双曲线的离心率为 .
16.【山东省滨州市2013
届高三第一次模拟】设6
sin (a xdx,π
=⎰
则二项式的展开式中的常数项等于
.
17.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】设实数x ，y 满足约束条件
2220,20,
220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪
-≥⎨⎪+--≤⎩
，则目标函数z x y =+的最大值为
.
18.【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】定义平面向量的一种运算：
||||sin ,⊗=⋅a b a b a b ，则下列命题：①⊗=⊗a b b a ；②()()λλ⊗=⊗a b a b ；③ ()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ；④若a =11221221(,),(,),||x y x y x y x y =⊗=-则b a b .其中
真命题是 （写出所有真命题的序号）.
19.【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】在四面体ABCD 中，
6,4,5AB CD AC BD AD BC ======，则四面体ABCD 的外接球的表面积
为 。

20.【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】圆1C 的方程为224
(3)25
x y -+=
，圆2C 的方程221
(3cos )(sin )()25
x y R θθθ--+-=
∈，过2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，则∠MPN 最大值为_____________.
21.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】 设集合224
{(,)|(3)(4)}5
A x y x y =-+-=，2216{(,)|(3)(4)}5
B x y x y =-+-=
， {(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C ≠∅，则实数λ的取值范围是
____________.
22. 【2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试】 数列{a n }是公比为
2
1
的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1=8，其前n 项和T n 满足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较
11T +21T +31T +…+n
T 1
与了21S n 的大小．
23.【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】
已知a ，b ，c 分别为ΔABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2cos 2b C a c =-． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若ΔABC
b 的取值范围． 解：⑴由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，
24. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
在三角形ABC 中，2sin 2cos sin 3cos )C C C C ⋅-=-. ⑴ 求角C 的大小；
⑵ 若2AB =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
25.
【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170]，第二类在(170,260]，第三类在(260,)+∞（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.
⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；
⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率； ⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X 为获奖户数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X . 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.
26. 【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】 某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值； （Ⅱ）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E (ξ) ．
27. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，2
3
AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .
⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求二面角E PF C --的大小.
(1,1,2)EP =-，(1,CP =--，(1,1,0)EF =，(1,0,0)CP =-
1(1,1,n =-，2n =，
(9分)
12|cos ,|n n <>=
=， (11分) 综上二面角E PF C --大小为150︒.
(12分)
28. 【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）111ABC A B C -中，5,4,3AB AC BC ===，14AA =，点D 在AB 上．
（Ⅰ）若D 是AB 中点，求证：1AC ∥平面1B CD ； （Ⅱ）当1
5
BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．
29. 【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】已知函数2()ln(1)f x x kx =++（k R ∈）. (1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值,求k 的值;
(2)[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在00
x y x ≥⎧⎨-≥⎩所表示的区域内,求k 的取值范围;
(3)证明:
2)12ln(1
22
1<+--∑=n i n
i ，*n N ∈.
30. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
如图，曲线2
:M y x =与曲线222:(4)2(0)N x y m m -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点.
⑴ 求m 的取值范围；
⑵ 求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标.
1
2AC k =
=-，
则直线AC 的方程为1
1)[(32
y x -=---，
(11分)
当0y =时，1x =，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上， 即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0).
(12分)
31. 【2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试】 (本小题满分13分)在矩形ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF 、GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系(如图所示)．若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上，且
|OF ||OR |=|OF ||CR'|=n
1
.
(Ⅰ)求证：直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω：3
2x +2
y =1上；
(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为3
2
，求证：直线MN 过定点；并求△GMN 面积的最大值．
32. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
已知函数()sin x
f x e x =. ⑴ 求函数()f x 的单调区间； ⑵ 如果对于任意的[0,
]2
x π
∈，()kx f x ≥总成立，求实数k 的取值范围；
⑶ 设函数()()cos x
F x f x e x =+，20112013[,]22x ππ∈-
. 过点1
(,0)2
M π-作函数()F x 图像的所有切线，
令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值.
0000001
(sin cos )2cos (
)2
x x e x x e x x π--+=⋅-
33. 【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】请考生在第22～24三题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分．
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点，∠APE 的平分线和AE 、BE
分别交于点C 、D ．求证：
（Ⅰ）CE DE =； （Ⅱ）
CA PE
CE PB
=．
（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕ
ϕ⎧⎨⎩
（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为2cos()3
π
ρθ=+．
（Ⅰ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|21||23|.f x x x =++- （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.
34.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，AB 是O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连结BF 、AF 并延长交O 于点M 、N .
⑴ 求证：B 、E 、F 、N 四点共圆；
⑵ 求证：22AC BF BM AB +⋅=.
（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ()1sin x t t y t απαα<=+⎧⎨=+⎩
≤是参数,0， 以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ
=+. ⑴ 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
⑵ 当4π
α=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.
（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数()|1||5|f x x x =++-，∈x R ． ⑴ 求不等式()10f x x +≤的解集； ⑵ 如果关于x 的不等式2
()(2)f x a x --≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。