安徽省涡阳第_中学2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题

某某省涡阳第—中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 一、选择题〔共60分〕 1复数z=1+6i 的虛部是〔 〕
△ABC 中，a=1，C=60°， 假如c=3，如此A 的值为〔 〕
°或150°°°或 120°°
α和直线a ，b 满足a ∩α=A ，b α⊂，如此a 与b 的位置关系一定是〔 〕
△ABC 中，∠C=90°，12BC AB =
， 如此AB 与BC 的夹角是〔 〕 °°°°
5.假如在复平面内，复数3-2i 、1-2i 、2+i 所对应的点分别为A ，B ，C ，如此△ABC 的面积为〔 〕
A.6
B.4
C.3
D. 2
6.D ， E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，如此DE = 〔 〕
A. 1122AB AC +
B. 1122AB AC -
C. 1122AC AB -
D. 1122
AE AD - 7.如下列图，正方体1111ABCD A BC D -的面A 1C 1， B 1C ， CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3，如此直线AO 与直线O 2O 3所成的角为〔 〕
°°°°
8. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=60°，b=1， 该三角形的面积为3，如此
sin sin sin a b c A B C
++++的值为〔 〕
A. B. C. D.
9.在三棱锥P- ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为 如此该三棱锥外接球的外表积为〔 〕 A. 654π B. 16π C. 6516π D. 494
π △ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为AB 边上的点AP AB λ=，假如CP AB PA PB ⋅≥⋅，如此入的取值X 围是〔 〕
A. 20,2⎡⎢⎣⎦
B. [0.1]
C. 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D. 2222⎡-+⎢⎣⎦
11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c c =且2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=
，如此△ABC 的面积为〔 〕
A. B. C. D. α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ， α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD= m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，如此m ，n 所成角的正弦值为〔 〕
A. 2
B. 2
C. 3
D. 13 二、填空题〔共20分〕
13复数z 满足〔1+i 〕·z=1-i 〔i 为虚数单位〕，||z =_。

(,2)a x x =-，(3,4)b =。

假如//a b ， 如此||a = 。

15. 如图，四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 分别是以AD ， BD 为底的等腰三角形，其中AD=1， BC=4，∠ADB=∠CDB ，如此AC=。

16.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BC=2，BE// CD ，且CD ⊥平面ABC ，假如BD ⊥AE 如此BE+CD 的最小值为_。

三、解答题〔共70分〕
17. 〔此题10分〕复数z=〔m 2-m 〕+〔m+3〕i 〔m ∈R 〕在复平面内对应点Z.
〔1〕假如m=2，求z z ⋅；
〔2〕假如点Z 在直线y=x 上，求m 的值. 18. 〔此题12分〕1tan()42
π
α+=，a ∈R . 〔1〕假如向量(2tan ,1)a α=，(1,tan )b α=-，求a b ⋅的值∶
〔2〕假如向量(6,1cos 2)a α=+，2(5,sin 2cos )b αα=--，证明∶//a b
19. 〔此题12分〕如下列图，正三棱柱111ABC A B C -的高为2，点D 是A 1B 的中点，点E 是B 1C 1的中点.
〔1〕证明∶ DE//平面ACC 1A 1；
〔2〕假如三棱锥E- DBC 的体积为312
，求该正三棱柱的底面边长. 20.〔此题12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()8sin
2
B A
C +=。

〔1〕求cosB ；
〔2〕假如a+c=6，△ABC 面积为2，求b. 21. 〔此题12分〕在四棱锥P- ABCD 中，∠ABC= ∠ACD= 90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，PA=24B=4.
〔1〕求证∶ EM //平面PAC ；
〔2〕取PC 中点F ，证明∶ PC ⊥平面AEF ；
〔3〕求点D 到平面ACE 的距离.
22. 〔此题12分〕如图，某运动员从A 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km 的速度向东进展长跑训练，长跑开始时，在A 市南偏东方向距A 市75km ，且与海岸距离为45km 的海上B 处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
〔1〕划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
〔2〕求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.
〔3〕假如划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？
涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试数学答案
1. D
2. B
3. D
4. C
5. C
6. C
7. A
8. A
9. A 10. C 11. D 12. A
13. 1 14. 10 15. 16.
17. 〔1〕 29 ； 〔2〕 m=-1或m=3..
解∶〔1〕∵m=2， ∴z=2+5i ，∴2222||(25)29z z z ⋅==+=；
〔2〕假如点Z 在直线y=x 上，如此m 2 -m=m+3，
即m 2- 2m-3=0，解得m=-1或m=3.
18. 〔1〕13
-∶ 〔2〕详见解析. 解∶ 〔1〕因为tan tan 1tan 14tan()41tan 2
1tan tan 4πα
π
ααπ
αα+++===--⋅ 所以1tan 3
α=- 所以12tan tan 3a b αα⋅===-
〔2〕因为222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 22cos ααααααα
--=+ 2sin cos 15tan 2cos 26
αααα-==-=- 所以26(2sin 2cos
)(5)(1cos2)0ααα---+=
所以//a b 19. 〔1〕详见解析； 〔2〕 1.
[详解]
解∶ 〔1〕 如图，连接AB 1， AC 1，
∴D 是A 1B 的中点，E 是B 1C 1的中点，
∴在△B 1AC 1中，DE// AC 1，
∵DE ⊄平面ACC 1A 1， AC 1⊂平面ACC 1A 1，
∴DE//平面ACC 1A 1.
〔2〕由等体积法，得V E-DBC =V D-EBC
∵D 是A 1B 的中点，
∴点D 到平面BCC 1B 1的距离是点A 到平面BCC 1B 1的距离的一半. .
如图，作AF ⊥.BC 交BC 于点F ， 由正三棱柱的性质可知，AF ⊥平面BCC 1B 1.
设底面正三角形的边长a ，如此三棱锥D-EBC 的高132h AF ==， 122
EBC S a a ∆=⨯⨯= ∴21333D EBC EBC V S h -∆=⋅==a=1 ∴该正三棱柱的底面边长为1.
20. 〔1〕1517
；〔2〕 2. 解∶ 〔1〕2sin()8sin
2
B A
C +=，∴4(1c s sin o ),B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，∴7os 1c 15B =；
〔2〕由〔1〕可知sin 817B =
∵1sin 22ABC S ac B ∆=⋅=，∴172
ac =， ∴. 2222222217152cos 215()2153617154217b a c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯
⨯=+-=+--=--=
∴b=2.
21. 〔1〕见解析； 〔2〕 见解析； 〔3〕解∶〔1〕因为E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，
如此在△PAD 中，EM//A ，
又因为PA ⊂平面PAC ， ME ⊄平面PAC ，如此EM //平面PAC
〔2〕证明∶因为PC 中点F ，
在Rt △4BC 中，AB=2，∠BAC=60°， 如此BC=AC=4.
而PA=4，如此在等腰三角形APC 中PC ⊥AF ①.
又在△PCD 中，PE= ED ，PF=FC ，如此EF//CD ，
因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，如此PA ⊥CD ，
又∠ACD=90°，即AC ⊥CD ，AC ∩PA=A ，
如此CD ⊥平面PAC ，所以PC ⊥CD ，因此EF ⊥PC ②.
又EF ∩AF=F ， 由①②知PC ⊥平面AEF ；
〔3〕在Rt △ACD 中，CD=AC=4，∴ACD S ∆=
又EM//PA ，PA ⊥平面ABCD ，
∴EM ⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E-ACD 的高，
∴11233E ACD ACD V S EM -∆=⋅=⋅=
在△ACE 中，AE=CE=， AC=4，∴8ACE S ∆=，
设点D 到平面ACE 的距离为h ，
如此13D ACE E ACD ACE V V S h --∆==⋅⋅=， ∴
.h= 即点D 到平面ACE
的距离为22. 〔1〕 9km/h ； 〔2〕 90°； 〔3〕划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追.上这名运动员； 4h. 解∶〔1〕设划艇以vkm/h 的速度从B 处出发，沿BC 方向，th 后与运动员在C 处相遇，
过B 作AC 的垂线BD ，如此BD=45，AD= 60，
在△ABC 中，AB=75， AC=15t ， BC=vt ， 如此3sin 5BD BAC AB ∠==，4cos 5
BAC ∠=。

由余弦定理，得2222cos BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠， 得22224(15)75275155
v t t t =+-⨯⨯⨯ 整理得∶22256251800142255625()8125
v t t t =
-+=-+ 当1425t =，即254t =时，v 2 取得最小值81，即min 9(/)v km h =， 所以划艇至少以9km/h 的速度行驶才能把追.上这位运动员.
〔2〕当v=9 km/h 时，
在△ABC 中，AB=75， 253751544AC =⨯
=，25225944
BC =⨯= 由余弦定理，得222222225375575()()44cos 022522754AB BC AC ABC AB BC +⋅+-∠===⋅⨯⨯， 所以∠ABC= 90°，
所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 所成的角为90°.
〔3〕划艇每小时最快行驶11.25km 全速行驶，
假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即BD 方向行驶，而BD=45，
此时到海岸距离最短，需要的时间最少，
所以需要∶
454()11.25h =，而4h 时运动员向东跑了∶15460()km ⨯=， . 而AD= 60，即4h 时，划艇和运动员相遇在点D.
所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要4h.。