山西省太原市太原师范学院附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

山西省太原市太原师范学院附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56
x π
=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π
2．已知集合U =R ，{}
0A y y =≥，{
}
1B y y ==，则U
A
B =( )
A ．[)0,1
B ．()0,∞+
C ．()1,+∞
D ．[
)1,+∞ 3．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．将函数()sin(2)3
f x x π
=-
()x R ∈的图象分别向右平移3
π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到
的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
2
π D ．π
5．设集合{
}2
560A x x x =--<，{}
20B x x =-<，则A B =( )
A ．{}
32x x -<< B ．{}
22x x -<< C ．{}62x x -<<
D ．{}
12x x -<<
6．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种
B ．44种
C ．48种
D ．54种
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
113 B ．4 C ．133
D ．5
8．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+>
D ．()(0)()f ab f f a b >>+
9．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，
0>ω， 2
π
ϕ<
）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）
A ．2，0
B ．2，
4
π C ．2， 3
π-
D ．2，
6
π 10．关于函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：
①函数()f x 的一个周期为
2
π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②
C ．②③
D ．③
11．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知抛物线C ：2
4x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB
的长为25
4
，则AF BF =（ ） A ．2或
12
B ．3或
13
C ．4或
14
D ．5或
15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．41
(2)x x
+
-的展开式中2x 的系数为____. 14．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
15．已知函数()221
1
x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，
则实数k 的取值范围是_______.
16．数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n
n n S a S a b a +⎛
⎫==-= ⎪⎝⎭ ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T =_____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设0()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，
，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，60BAD ︒∠=4AB =.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 19．（12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且1
.2
acosB b c =
+
（1）求角A 的大小；
（2）求22sin B sin C sinBsinC ++的值.
20．（12分）已知实数x ，y ，z 满足222
222
2111x y z x y z
++=+++，证明：2222111x y z x y z ++≤+++. 21．（12分）已知函数2()cos 2
a f x x x =
+（a ∈R ），()f x '
是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围. 22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,AD CD 的中点.
（1）证明:BD ⊥平面PEF
（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=
，且53()622
a f π=+，
即
322a +=1a =，所以()2sin()3
f x x π
=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设11152,6x k k Z ππ=+
∈，2222,6
x k k Z π
π=-∈， 所以1212222,3
x x k k k Z π
ππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23
π
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 2、A 【解析】
求得集合B 中函数的值域，由此求得U
B ，进而求得U
A B ⋂
.
【详解】
由11y =
≥，得[)1,B =+∞，所以
()U
,1B =-∞，所以[)U
0,1A
B =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 3、A 【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】
若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A . 【点睛】
本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 4、B 【解析】
首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合， 那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果. 【详解】
()f x 的最小正周期为π，
那么
3
n k π
π+=(k ∈Z )，
于是3
n k π
π=-
，
于是当1k =时，n 最小值为23
π， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 5、D 【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】
由题意知,集合}{
16A x x =-<<,}{
2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{
12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 6、B 【解析】
分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E
排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【详解】
六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，
如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中插入B 、C ，
此时共有排列方法：22
2312A A =；
如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122
322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2
2
22=4A A ；
如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧1
1
2
2
2222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【点睛】
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题． 7、B 【解析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121
242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 8、C 【解析】
根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】
解：0.22lg0.3lg0.3
+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2
a b =+=
55
lg 0.3lg
lg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯=
=--⨯⨯ ()
0.22lg 0.3lg 0.3
log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2
lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3
lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2
10
lg 0.3lg
3lg 5lg 2
ab =⨯=⨯-⨯⨯==
⨯⨯-⨯-=
⨯⨯=-
⨯
显然510
lg
lg 23
<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，
所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 9、D 【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：
311341264
T πππ
=-= T π=，
21A ω∴==，
函数的图象过点16π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 1sin 26πϕ⎛⎫
∴=⨯+ ⎪⎝⎭
，
2
π
ϕ<
，则6
π
ϕ=
故选D 【点睛】
本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 10、C 【解析】
①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数
11
()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1
()2
3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域.
【详解】
因为171711
4sin 4cos 4cos 4sin ()22122122122
12f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；
当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故②正确； 函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知
()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1
()2
3g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 11、A 【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 12、C 【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】
设直线的倾斜角为θ，则222425
cos cos 4
p AB θθ=
==， 所以216cos 25θ=，2
219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4
θ=±，
所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为3
14
y x =+，
联立243
1
4x y
y x ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩
，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.
14AF BF =，综上，4AF BF =或1
4
.选C. 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、28 【解析】
将已知式转化为844
1(1)(2)x x x x
-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2
x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值. 【详解】
248444
1(21)(1)(2)=x x x x x x x -+-+-=，所以41(2)x x +-的展开式中2x
的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8(1)x -中6x 的系数为()2
2
288128C C ⋅-==，
∴展开式中2x 的系数为2828C =
故答案为：28. 【点睛】
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题. 14、2 【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的
值． 【详解】 二项式的展开式中的通项公式为，
令
，求得
，可得常数项为
，
，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15、1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均
值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】
因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,
()()222
11
1111111k x x kx k f x x x x x x x
-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()1
13k y t t
-=+
≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[
)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,
当10k -<,即1k <时,该函数在[
)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
, 所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()32
13
k f x +<≤, 所以
2
23
k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；
当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()32
13
k f x +≤<, 所以
2413
k +≥,解得1
12k -≤<, 综上,1
42
k -≤≤,
故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想. 16、
1
n n + 【解析】
解：111111,21,2
2n n n n n
n S a n S a +--⎛
⎫⎛
⎫=-≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 两式作差，得()12,2n n
a n a +=≥ ，经过检验得出数列{}n a 的通项公式，进而求得,n n
b
c 的通项公式， 裂项相消求和即可． 【详解】 解：
111111,21,22n n n n n
n S a n S a +--⎛
⎫⎛
⎫=-≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时， 两式作差，得()111111,22
2n n n n
n a a a n +-⎛
⎫⎛
⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化简得()1
2,2n n
a n a +=≥ ， 检验：当n=1时，211221
1
2,4,22a S a a a a ==
⨯=== ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n n a = ，22log log 2n n n b a n ===，
令()11111
,11
n n n c b b n n n n +=
==-++ 1111111111.22334111n n
T n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++
故填：
1
n
n + ． 【点睛】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，解题过程中需要注意n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1（2）1 【解析】
分析：（1）当1m =时可得()()1
,1,?,111
P n Q n n n =
=++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,n P n m P n m m n
=-+，累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +==+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．
详解：（1）当1m =时，()()()11
00
111,111111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，
又()1
111n Q n C n +==+，
， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=. （2）()()
,1n
k
k
n
k m
P n m C m k
==
-+∑ ()()1
1
111
11()
1n k
n
k k n n k m m C C m k m k
----==+-++-++∑ ()()1
1
1
1
1
1111n n
k
k k
k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑ ()()1
1
1
1,1n
k
k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑ ()()01,1n k k
n k m m P n m C n m k
==-+-+∑
()()1,,m
P n m P n m n =-+
即()(),1,n
P n m P n m m n =
-+， 由累乘可得()()()!!1
,0,!
n n m n m P n m P m n m C +==+，
又(),n
n m Q n m C +=，
所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误． 18、（1）证明见解析（2
【解析】
（1）由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥，结合线面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ；
（2）以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PAB 与平面PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB 与平面PCD 所
成锐二面角的余弦值. 【详解】 （1）证明：
底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，
PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥
又AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，
BD ∴⊥平面PAC ；
（2）解：
AB AD =，60BAD ︒∠=，ABD ∴为等边三角形，
sin 60242AC AD ︒∴=⋅⋅=⨯=PA ⊥底面ABCD ，PCA ∴∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，
在Rt PAC △
中，由tan 3
PA PCA AC ∠=
==
，解得4PA =. 如图，以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴 建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,4)P ，(0,0,0)A
，2,()B ，(4,0,0)D
，C .
(0,0,4)PA ∴=-
，4)PB =-，(4,0,4)PD =-
，4)PC =-.
设平面PAB 与平面PCD 的一个法向量分别为(,,)m x y z =，()111,,n x y z =.
由40
240m PA z m PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =-，得(3,1,0)m =-
； 由11111640440
n PC x z n PD x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =-
，得(3,n =-. 27
cos ,7||||
m n m n m
n ⋅∴<>=
=⋅∴平面PAB 与平面PCD .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题． 19、（1）23A π
=；（2）34
. 【解析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到2
2
sin sin sin sin B C B C ++222
2
sin b c bc
A a
++=，结合余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得到22
3
sin sin sin sin 4
B C B C ++= 【详解】
解：（1）由已知，得
1
sin cos sin sin 2
A B B C =+
又∵()sin sin C A B =+
∴1
sin cos sin sin cos cos sin 2A B B A B A B =
++ ∴1
cos sin sin 02
A B B +=,因为()0,,sin 0B B π∈≠
得1
cos 2
A =-
∵0A π<< ∴23
A π=
. （2）∵22sin sin sin sin B C B C ++
222
2sin sin sin sin sin sin B C B C
A
A
++=
222
34b c bc
a
++= 又由余弦定理，得
22222cos
3
a b c bc π
=+- 22b c bc =++
∴22
3sin sin sin sin 4
B C B C ++= 【点睛】
1.考查学生对正余弦定理的综合应用；
2.能处理基本的边角转换问题；
3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，
属于中档题 20、见解析 【解析】
已知条件222
222
2111x y z x y z ++=+++，需要证明的是
222111x y z x y z ++≤+++222
222111x y z x y z +++++的值，发现22222222222231111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫++=-++= ⎪++++++⎝⎭
，则可以用柯西不等式. 【详解】
222
222
2111x y z x y z ++=+++， 222
222222
1111111111111x y z x y z x y z
∴-++=-+-+-=++++++. 由柯西不等式得，
2
222222222222111111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++≥++ ⎪⎪ ⎪+++++++++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 2
2222111x y z x y z ⎛⎫
∴++ ⎪+++⎝≤⎭.
222
111x y z
x y z
∴
++≤+++【点睛】
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
21、（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】
（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，构造函数3
4()2sin 23
m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【详解】
（1）由已知，'
()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'
1()()cos g x h x x x ==
-，'21
()sin g x x x
-=+， 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
()g x 单调递增，而(1)0g '
<，'
02g π⎛⎫>
⎪⎝⎭，且'
()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上图象连续 不断.所以'
()g x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，'
()0g x <；当,
2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'
()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在唯一的极小 值点，即()h x '
在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--
≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
令'2
()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，
∴'()4sin 280p x x x =-≤，
'()m x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，
当1a ≤时，'
()0m x ≤，则()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'
()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
当00x x ≤<时，()0m x '
>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=
与题意不符，舍去.
综上，a 的取值范围是1a ≤ 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
22、（1）详见解析；（2. 【解析】
（1）连接AC ，由菱形的性质以及中位线，得BD FE ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PE ⊥交线AD ，得PE ⊥平面ABCD ，故而BD PE ⊥，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以E 为原点建平面直角坐标系，求出平面平PAD 与平面PBD 的法向量()0,1,0m =
，(
)
3,1,1n =
--，最后求得二面角B PD A --.
【详解】
解：（1）连结AC
∵PA PD = ，且E 是AD 的中点， ∴PE AD ⊥
∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD
平面ABCD AD =，
∴PE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴BD PE ⊥
又ABCD 为菱形，且,E F 为棱的中点， ∴//,EF AC BD AC ⊥
∴BD EF ⊥.
又∵,BD PE PE EF E ⊥⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ∴BD ⊥平面PEF . （2）由题意有，
∵四边形ABCD 为菱形，且60,BAD ︒
∠=
∴EB AD ⊥
分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系xyz E ，设1AD =，则
133,0,0,,2D B P ⎛
⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设平面PBD 的法向量为(),,.n x y z =
由·0·0n DB n DP ⎧=⎨=⎩，得3030
x x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令3x (
)
3,1,1n =
--
取平面APD 的法向量为()0,1,0m =
∴cos ,
m n ==二面角B PD A --为锐二面角，
∴二面角B PD A -- 【点睛】
处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.。