椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

(19)
(15) × (a2q2 + b2p2)，得：
(a2q2 + b2p2)(p2 + q2 + m2 + n2) = (a2q2 + b2p2)
(a2q2 + b2p2)(p2 + q2) + (a2q2 + b2p2)(m2 + n2) = (a2q2 + b2p2) 联合式(19)，消去(m2 + n2)项，得：
它不是一个椭圆，而是一个高次曲线。
设椭圆长、短轴分别为2a、2b，弦长为2r，设弦的两端分别为A(x1, y1), B(x2, y2), 弦中点为P (x, y), 有如下关系：
x = x1 + x2 2
y = y1 + y2 2
条件一：点A(x1, y1)、B(x2, y2)在椭圆上，满足椭圆方程：
−
1)(
p2 a2
+
q2 b2
+
r2 a2b2 ) +
r2 a2b2
=0
4
代入 得到最终结果：
x p=
a y q= b
x2 y2
x2 y2 r2
r2
( + − 1)( + + ) + = 0
a2 b2
a4 b4 a2b2 a2b2
(20)
结论：椭圆定长弦中点轨迹，其实并不难解，只是它不是一个椭圆曲 线，即使解出函数方程，也不容易看出曲线的形状。
3
只要从中消去w2和h2项，即可得到仅包含x2和y2的曲线方程。 下面是一种 解法：设
x
p=
(11)
a
y
q=
(12)
b
w
m=
(13)
a
h
n=
(14)
b
方程组化为
p2 + q2 + m2 + n2 = 1
(15)
p2m2 = q2n2
(16)
a2m2 + b2n2 = r2
(17)
(17) × p2 + (17) × q2得：
椭圆定长弦中点轨迹的一种解法
理想 2013 年 1 月 22 日
摘要
本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。 设椭圆长、 短轴分
别为2a、 2b，弦长为2r，随着弦的两端在椭圆上滑动，弦的中点形成的轨
迹为：
x2 y2
x2 y2
r2
r2
( a2 + b2 − 1)( a4 + b4 + a2b2 ) + a2b2 = 0
(a2q2 + b2p2)(p2 + q2) + (p2 + q2)r2 = (a2q2 + b2p2)
(p2 + q2)(a2q2 + b2p2 + r2) = (a2q2 + b2p2 + r2) − r2
(p2 + q2 − 1)(a2q2 + b2p2 + r2) + r2 = 0
(p2
+
q2
(4)
a2
b2
设x1 − x2 = 2w，y1 − y2 = 2h，结合x1 + x2 = 2x，y1 + y2 = 2y，代入(4):
4x2 + 4w2 4y2 + 4h2
+
=4
a2
b2
x2 + w2 y2 + h2
a2 + b2 = 1
(5)
得到第一个关键方程(5)。
第二个关键方程：(1) - (2)：
a2m2p2 + b2n2p2 + a2m2q2 + b2n2q2 = p2r2 + q2r2
(18)
由(16)p2m2 = q2n2，代入上式(18)，
a2n2q2 + b2n2p2 + a2m2q2 + b2m2p2 = p2r2 + q2r2
(a2q2 + b2p2)(m2 + n2) = (p2 + q2)r2
x21 a2
+
y12 b2
=
1
(1)
x22 a2
+
y22 b2
=
1
(2)
条件二：弦长|AB| = 2r：
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = 4r2
(3)
第一个关键方程：A、B两点椭圆方程相加：(1) + (2)：
x21 + x22 + y12 + y22 = 2
a2
b2
1
2
(x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 + (y1 + y2)2 + (y1 − y2)2 = 4
x21 − x22 + y12 − y22 = 0
a2
b2
(x1 + x2)(x1 − x2) + (y1 + y2)(y1 − y2) = 0
a2
b2
2x · 2w 2y · 2h
+
=0
a2b2Leabharlann 移项，两边平方（消去负号）：
x2 w2 y2 h2
a2 · a2 = b2 · b2
(6)
得到第二个关键方程(6)。
第三个关键方程：设2w = x1 − x2，2h = y1 − y2，代入(3)式：
w2 + h2 = r2
(7)
得到第三个关键方程(7)。
综上，得到的三个关键方程如下：
x2 + w2 y2 + h2
+
=1
a2
b2
x2 w2
y2 h2
· =·
a2 a2
b2 b2
w2 + h2 = r2
(8)
(9) (10)