高二数学第三章§4导数的四则运算法则应用创新演练北师大版选修11

【三维设计】高中数学 第三章 §4 导数的四则运算法则应用创
新演练 北师大版选修1-1
1．函数y ＝x 2
x ＋3的导数是( )
A.x 2＋6x x ＋2
B.x 2＋6x x ＋3
C.－2x
x ＋2
D.3x 2＋6x x ＋2 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x ＋3′
＝
x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2 ＝2x x ＋
－x 2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2
. 答案：A
2．下列四组函数中，导数相等的一组是( )
A ．f (x )＝2x ＋1与f (x )＝2x －1
B ．f (x )＝sin x －cos x 与f (x )＝cos x －sin x
C ． f (x )＝x －1与f (x )＝2－x
D ．f (x )＝e x 与f (x )＝1e x 解析：由导数求导法则易知只有A 中f (x )的导数均为2，B 、C 、D 中导数不相同． 答案：A
3．曲线y ＝x
x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
解析：∵y ′＝x x ＋
－x x ＋x ＋2＝2
x ＋2， ∴k ＝f ′(－1)＝2
－1＋2＝2.
∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
答案：A
4．已知f (x )＝2x 3＋mx 2
＋3，若f ′(1)＝4，则m 的值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－1
解析：f ′(x )＝6x 2＋2mx ，∵f ′(1)＝4，
∴6＋2m ＝4，∴m ＝－1.
答案：D
5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3
处的导数为________． 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ， ∴x ＝π3时，y ′＝12cos 2π3
＝2. 答案：2
6．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________． 解析：y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，
∴x 0＝12a ，∴12a －a (12a )2－1＝0，∴a ＝14
. 答案：14
7．求下列函数的导数．
(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
； (2)y ＝ln x ＋2x x 2； (3)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝＋x 21－x ＋－x 21－x ＝＋x 1－x ＝41－x
－2, ∴y ′＝⎝
⎛⎭⎪⎫41－x
－2′＝－x －－x －x 2 ＝41－x 2.
(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x x 2′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x 4 ＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2x
x 4
＝1－2ln x ＋ln 2·x －22x
x 3.
(3)∵y ＝1－12sin 2x 2
＝14⎝
⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x ) ＝34＋14
cos x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . 8．已知函数y ＝e x .
(1)求这个函数在点(e ，e e )处的切线的方程；
(2)过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程．
解：由题意y ′＝e x .
(1)x ＝e 时，y ′＝e e 即为x ＝e 处切线的斜率，切点为(e ，e e )． 故切线方程为y －e e ＝e e (x －e)
即e e x －y ＋e e －e e ＋1＝0.
(2)设过原点且与y ＝e x 相切的直线为y ＝kx .
设切点为(x 0，e x 0)，则k ＝e x 0.
又k ＝e x 0x 0，∴e x 0x 0
＝e x 0，∴x 0＝1， ∴k ＝e ，切点为(1，e)，∴切线方程为y －e ＝e(x －1) 即e x －y ＝0.。