初中奥数“每周一题”第3周(1)

“每周一题”第3周
初一
1.在数23456789,,,,,,,1010101010101010
的前面分别添加“+”或“－”，使他们的和为1.你能想出多少种方法以？ 2.下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（ ）
A ．1627384950
B ．234578910
C ．3579111300
D ．4692581470
初二、
1.设a 、b 是正整数，且满足5659a b +≤≤，0.90.91a b <
<，则22b a -等于（ ）. A.171 B.177
C.180
D.182 2.已知实数a 、b 满足62010a =，3352010b =，求
11a b +的值. 初三、
1. 试求285837193x x x x x x -++-+被1x -除所得的余数.
2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 、G 分
别为AD 、AC 的中点，DF ⊥BE ，垂足为F ，求证：FG ＝DG .
解析与答案：
初一、 1.答案不惟一，可参照上周初一第二题.
1. 由题设得：
0.959b b +<，0.9156b b +>，
所以2932b <<. 因此30b =，31.
当30b =时，由0.90.91b a b <<，得2728a <<，这样的正整数a 不存在.
当31b =时，由0.90.91b a b <<，得2729a <<，所以28a =.
所以，22177b a -=. 故选B.
2.关键是得看出6、335与2010的关系.由题意：
(6)2010a b b =，(335)2010b a a =二式相乘，
(6)(335)20102010a b b a b a ⋅=⋅
所以63352010ab ba a b +⋅=，即(6335)2010ab a b +⋅=
即(2010)2010ab a b +=，所以ab a b =+，所以
111a b
+= 初三、
1.要向学生渗透一个多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 的本质（余数定理） 同时，若()f x 能被x a -整除，那么()0f a =，并且()f x 一定能写成()()
x a g x -⋅的形式（其中()g x 为次数比()f x 少1次的多项式，）反之也成立，要与因式分解相结合，注意因式分解与方程解的联系. 本题也可更加通俗地解释为：
285837193285837193(1)(1)(1)(1)(1)(1)2x x x x x x
x x x x x x -++-+=---+-+---+-+
而2851x -，831x -，711x -，91x -，31x -，1x -均能被1x -整除，所以原
式被1x -除所得余数为2. 2.解析：注意到12DG AC =，如果12FG AC =就成功了，注意到G 为AC 之中点，必然会有△AFC 是以∠AFC 为直角的直角三角形.
连接AF 、CF ，先证△BFD ∽DFE ，再证△DFC ∽△EF A ，得∠DFC ＝∠EF A ，可得 ∠AFC ＝90。