3-2导数在研究函数中的应用.docx

【知识梳理】
1•函数的单调性与导数
在区间⑺，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如卜关系：
⑴如果①__________ ,那么函数y=f{x)在这个区间
内单调递增.
(2)如果②_________ ,那么函数在这个区间
内单调递减.
⑶如果③__________ ,那么.心)在这个区间内为常数.
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
函数y=A x)在点x=a的函数值久。

)比它在X=a附近其他皆的函数值都小，.广(。

)=0；而且在点x=G 附近的左侧④______________ ,右侧⑤___________ ,则点0叫做函数y=f［x)的极小值点,./(a)叫做函数y
=/(x)的极小值.
⑵函数的极人值
函数y=f(x)在点x=b的函数值/(b)比它在点x=b 附近的具他点的两数值都人，f @)=0；而且在点x=b附近的左侧⑥__________________ ,右侧⑦_________ , 则点b叫做函数y=/(x)的极大值点，夬方)叫做函数尹=/(x)的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极人值和极小值统称为极值.
(3)求函数极值的步骤
第一步，求导数/' (x)；
第二步，求方程⑧__________ 的根；
第三步，检查•广(x)在方程根左右的值的符号，如果⑨__________ ,那么/U)在这个根处取极大值；
如果⑩__________ ,那么几。

在这个根处取极小值. 3函数的最值与导数
(1).函数用)在0,切上有最值的条件：
一般地，如果在区间［a,切上，函数y=f{X)的图象是一条⑪________ 不断的曲线，那么它必有最大值和
最小值.
(2).求函数y=/(x)在［Q,切上的最大值与最小值的步骤为：
1、_______________________________ 求函数
y=f{x)在(G, b)內的⑫ _______________ .
2、_________________________________ 将函数
y=f(x)的各极值与⑬__________________ 的函数值张),〃)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
答案：©/(X)> 0 ②f (x)<0 ③f (x) = 0 ©/ (x)<0@/ (x)>0 ©/ ⑴>0
©/ (x) < 0 ®f⑴=0 ⑨左正右负⑩左负右正⑪连续⑫极值⑬端点处
【课前自测】
1.函数
f(x)=x2—2\nx的递减区间是( )
B.[1, +8)
C.(—8, -1), (0,1)
D. [-1,0), (0,1]
答案：A
2 提示^函数的定义域为(0, +-), 乂/ (x)=2x-~
=2(也血_1)由广a)wo,解得0VxWl.
2.已知对任意
实数兀，都有
/(—
x)=—
Ax),
g(—
x)= g(x),且x>0
时(•
A.f
B.・f
C.f
D.f
答案：
提不:
<0.
Y
A. (0,1]
g‘ «>0
g‘ «<0
g‘ M>o g f
(x)V0
(x)>0,
时，f W>0, (x)>0，贝I」x<0
(x)>0,
⑴VO,
W<o,
B
由题意知，/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，x>0 吋，f (x)>0, g (x)>0,即x>0 吋，/(兀)是增函数，g(x)是增函数，所以x<0时，./(X)是增函数,能)是减函数,即x<0时，f (x)>0, g (x)
x +a~2x
#+日$
a— x
x + a
B
.
C.
提示：F
3若函数A%) =-^(^>0)在［1, +8)上的最人值为半，则白的值为() 答案：D
当/>込时，f (力<0, f(x)单调递减，当一需VxV、/；吋，F (x) >0, f(x)单调递增，当x=y［a时，令f(x)=^=¥，込=平<1,不合题意.・•・/'(方环=代1) = =¥，日=、/§一1.
1十$ 3 Y
4 .已知函数^x) = 3x3-ax2+x~5在区间[1,2]±单调递增，则G的取值范围是—
答案：泾5.
提乔：由题意"J得/ (x)=9x2—2ax~\~ 1 ^0在兀丘[1,2]吋恒成立.故只需满足aW*(9兀+£丽,xW[l,2]
即可.又由函数％x)= x+-(tz>0)的单调性可知函
A
数g(x) = 9x+£在[1,2]上为增函数，故aW5.
5.(13新课标II)等差数列血}的前n项和为S n, 已知S I0=0, S15 = 25,则nSn的最小值为_______________ ・答案：一49
_ 10 2 提示：rh 已知，a]+a]°=0, a〕+a】5= 3 d —>
n3 - 10n2
a)= —3,・*.nS n= ----- ----- , 易得n=6 或n=7 时，
nS n ill现最小值.当n=6 吋，nSn=—48； n=7 吋, nS n= 一49.故nS n的最小值为一49.
【课标示例题】
例1运用导数解决函数的单调性问题
(13 课标I 文)已知函数,/(x) = e v(ax + A)-x2- 4x,曲线y=f{x)在点(0, ./(0))处的切线方程为y=4x +4.
⑴求G, b的值；
⑵讨论7U)的单调性，并求./W的极大值.
解析：(x) = e(ax + b) + ae - 2x - 4 = e x(or + a
+ A) - 2x - 4
'•y =/(x)在(0, /(0))处的切线方程为y = 4x + 4,
:,f (0) = Q +/? - 4 = 4, /(0) = 〃 = 4, .*.6? = 4, b = 4.
⑵由⑴知/ (x) = 4e x(x + 2)-2(x + 2)
= 2(x + 2)(2e v- 1)
令/ ⑴=0 得 %! = - 2, x2 = In
列表：
T (-OO.
-2)
-2(2Un D(in *・ + 8)
f f(T)+
—0+心)扱大值极小值・J = ./(x)的单调增区间为(- 8 , - 2),
+ 8)；单调减区间为(-2, In £).
/⑴扱炖=/( -2) = 4-4e'2.
【举一反三】1
(13 重庆)设f(x)=a(x-5)2 + 61nx，其中aWR,
曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线与y轴相交于
点(0, 6). (1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
提示：(1)因f(x)=a(x—5)2+61n x,
故f(x) = 2a(x — 5)+$.令x=l,得f(l)=16a, f(l)
=6 —8a,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程为
y— 16a=(6—8a)(x— 1),
由点(0, 6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=|.
(2)由⑴知，f(x)=|(x-5)2 + 61n x(x>0), F (x) =
.6 ( x - 2 ) ( x - 3 )
x —卄厂x '
令f(x) = 0,解得X[=2, X2=3.当0<x<2 或x>3 时,f(x)>0,故f(x)在(0, 2), (3, +8)上为增函数；当2<x<3 时,f(x)<0,故f(x)在(2, 3)上为减函数.
9
由此可知,f(x)在x=2处取得极人值f(2)=㊁+61n 2, 在x=3处取得极小值f(3)=2+61n 3.
例2利用导数解决函数的极值问题
(13安徽)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c冇极值点xi，X?, JI f(xj=xi，则关于x 的方程3(f(x))2+2af(x) +b = 0的不同实根个数是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析：因为f(x)=3x2 + 2ax+b, 3(f(x))2 + 2af(x)+b =0且3x2+2ax+b=0的两根分别为X】，x2,所以f(X)= X]或f(X)= X2,当X1 是极大值点时,f(xJ = X], X2为极小值点,且X2>X],如图⑴所示,可知方程
f(X )= Xl 冇两个实根，f(X )= X2冇一个实根，故方程 3(f(x))2 + 2af(x)+b=0共有3个不同实根：
当X1是极小值点时,f(X]) = Xi ，X2为极大值点,且 X2<X1，如图(2)所示，IlJ 知方程f(x) = Xi 有两个实根, f(x) = x 2 有一个实根，故方程
3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有3个不同实根；
综合以上可知，方程3(f(x))2 + 2af(x)+b=0共有3 个不同实根.
(1) (13湖北) 己知函数J(x)=x([nx —ax)冇两个 极
值点，则实数。

的取值范围是()
A. (—8, 0)
B. (0, *)
C. (0,1)
D. (0, +8)
(2) (13浙江)已知c 为自然对数的底数，设函数 Xx)=(e v -l)(x-l)A a=l,2),贝ij(
)
0<2a< 1, /. 0<肩.
(2)当 A —1 时，f (x) = c x -x- 1, / (l)H0,・・x=l 不
是/(兀)的极值点.
当 k = 2 时，.f (x) = (x- l)(xe r + e v -2)
显然f (1) = 0,且x 在1的左边附近/ (x)<0, 兀在1的右边附近/ (x)>0,
・・"(x)在x = 1处取到极小值.故选C.
例3利用导数解决函数的最值问题
(13 浙江)已知 aeR,函数 f(x)=2x 3-3(a+l)x 2 + 6ax.
⑴若a=l,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线 方程；
(2)若|a|>l,求f(x)在闭区间［0, 2|a|］上的最小值. 解
析:⑴当 a=l 时,f(x)=6x 2—12x+6,所以 f(2) =6. 乂因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x —&
(2)记g(a)为f(x)在闭区间［0, 2|a|］±的最小值. f f
(x)=6x 2—6(a+ l)x + 6a=6(x — l)(x —a).令 f(x) =0，得• X ］ = 1, X2=a. 当a>l 时，
A. 当k=l 时，/(x)在x=l 处取到极小值
B. 当k=\时，Xx)在x=l 处取到极大值
C. 当k=2时，.心)在x=l 处取到极小值
D. 当 片2时，.心)在x=l 处取到极大值
答案：(1) C ； (2) C
提示：(1) f (X)= (In x - ax) + x(- - 6r) = In x + 1
-2QX (X >0)
人 “ f In x + 1 In x + 1 令 f (x) = 0 侍 2a =—-—,设(p(x)=—-—,则
Ji
X
0 (0, 1)
1 (1，a)
a a 2a) 2 a
f(x)
+
—
+
f(x) 0 单调 递
增 极大 值 3a-1 单调 递减
极小 值 a 2
(3 a)
单调 递增 4 a 3
比较f(0)=0和f(a)=a 2(3-a)的大小可得 (0 , l<aW3 ,
a~ ( 3 ・ a ) , a>3.
易知於)在(0,1)上递增，在(1, 大致图象如下
若./(X )有两个极值点， 则y = 2a^ y = °(兀)图象 两个交点，
X 0
(0, 1) 1 (1, —2a)
—2a
f(x)
——
0 +
f(x)
单调 递减
极小值 3a-1
单调 递增
-28a 3- 24a 2
当a<-l 吋,
+ 8)上递减,
得 g(a) = 3a_l.
综上所述，f(x)在闭区间[0, 2|a|]上的最小值为
3a - 1 , a< - 1 ,
g(a)=v 0 , l<aW3 ,
( 3 ・ a ) , a>3.
【举一反三】3
(1)(13天津)设a+b=2b>0,贝〔味曾的最
小值为_______ .
(2)(13 新课标I )若函数f(x)=(1— x2)(x2+ax
+b)的图像关于直线x=—2对称，则f(x)的最大值为・答案：(1) (2) 16
提示：(1)・・1 + 〃 = 2, Z»0,显然方H2(・・・°H0), .\a = 2~ h.
①当0G<2时，=2“>0,妙=缶+曾=諾韦
2~b 1 2 .
b 2(2-b) b H
1 2
f 3)= 2(2 _ 疔 _ 1?、
令/ (6) = 0,解得当赵0, 細/ @)<0;
4
当方>亍时，f (b)>0.
4 5
・••当b=亍时,妙最小=才.
②当b>2时，a = 2_b<0,
] b_2] 2
/(〃)= 2(方 _ 2) + b =2(方_2)_乙+ h
. 一1 2
f斫坯有F
令/ @) = 0 得b = 4.当bG(2,4)时，9)<0,得bW(4, + 8)时，f (b)>0.
3
故当/> = 4 /(加小二才.
(2)方法一:因为f(x) = -4x3-3ax2 + 2( 1 -b)x +a,函数
f(x)是连续"J导函数，且关于直线x=— 2 对称,所以
f(一2)=0,即f(-2)=32-12a-4(l —b) + a=0,可得lla—
4b=28,①
又因为f(0)=f(-4),所以15a-4b=60,②①②联立方程组可得a=8, b=15,
f(x) = (1-x2)(x2 + 8x+15), f(x) = 一4(x3 + 6x2+7x 一2)，因为一2是函数f(x)的一个极值点，所以f(x)=-
4(x+2)(x + 2 ・ V^)(x + 2 +诉)，
可知当xe(・8,・2・书)时，f(x)单调递增，当
x丘(・2 ■托，・2)时，f(x)单调递减，当
xW(・2, - 2 +书)时,f(x)单调递增，当
炸(・2+远，+8)时，f(x)单调递减，且f(-2+V5)= f(-2-V5),所以彳⑴咖乂二f(・2+远)=f(・ 2 ■呵=(4远・
8)(4^5 + 8) = 80-64=16.
方法二：令f(x) = o nJ得x=l或X= —1,因为函数
a = 8 ,
可得［以下同方法一.
b= 15.
【课标创新题】函数综合性质的研究方法及应用
X
(13山东)设函数,Ax)=^+c(e=2.718 28…是自然对数的底数，cWR.
(1)求./(X)的单调区间、最人值.
⑵ 讨论关于X的方程|lnx|=Av)根的个数.
e lv - 2xe1Y 1 -2v
解析：⑴/ (x)= 們2 = 由/(x)A0
得x<|,由f (x)<0 得x>|.
所以.心)的单调递增区间为(-8, 递减区间为
佳+ °°)•所以•沧)唤晁)左+ c.
Y
(2)由已知|ln x\ =J[x)得|lnx|-孑严c, xW(O, + °°),
Y
令g(x) = |lnx|—活，y = c.
f(x)的图像关于■肓线x=—2对称，所以
①当xe(l, +«)时，lnx>0,则g(x) = lnx-孑.
i 9 x— 1
所以g' (x) = - +c lr >0.所以g(x)在(1, + 8)上单调递增.
Y
②当x£(0,l)时，ln*0,则g(x)=—lnx —評.
i i - 2x i r C1Y■
所以g，W= ~X~_?7_=?1~T+(2X" -
因为c2v e(h c2), c1Y>l>x>0,所以-一<-1,而
2x- 1<1.所以/ (x)<0,即g(x)在(0,1)上单调递减.
由①②可知，当用(0, +8)时,g(x)Mg(l)= -右. 由数形结合知，当c<-右时，方程|lnx|=/(x)根的个数为0;当。

=-右时，方程|lnx|=./(x)根的个数为1；当少-右时，方程|lnx|=7W根的个数为2.
【举一反三】4
(13 广东)设函数Xx)=(x-l)e v-Ax2(iteR).
⑴当k=\求函数./(x)的单调区间：
⑵当圧伶1时，求函数.心)在［0,幻上的最大值M.提示: ⑴当k= 1 时,f(x) = (x- 1 )c r-x2
:.f (x) = e A + (x - 1 )e Y- 2x = x(e A - 2)
令/ (x) = 0 得xi = 0, x2 = In 2.
列表如下：
由表可知，函数./(x)的递减区间为(0, In 2),递增区间为(一0°，0), (In 2, + 8).
(2)f (x) = c v + (x - 1 )e v一2kx = x(e A一2k),由⑴可知/(x)在(0, in 2k)上单调递减，在(In 2k, + 8)上单调递增.
设g(x) = x - In 1),
2i
则g' (x)= 1 _云=1 -p
.'.lW丄<2,・*. - 1 <1-丄WO,
2x x
.•.g(x) =x - In 2x 在(*，1 上单调递减，
1, /.g(x)>g(l) = 1 - In 2>0,
/.A-In 2k>0即k>\n 2k,
・\Ax)在(0, In 2Q上单调递减，在(In 2k,約上单调
递增，・・・/(x)在［0,幻上的最大值应在端点处取得.
而,/(0)= - 1, j{k) = (k- l)e",
下面比较久0)与XQ的大小•
令h(k) =/(Q -/(0)=伙一1)J 一疋 +
1,
则X 伙)=&-3約，
再令卩伙)=J - 3k,则© 伙)=J - 3<e - 3<0,
：.(p(k)在(占1上递减，
・・・存在x o e(j, 1使得0血)=0,且当AeQ, X。

)时，0伙)>0,当^e(%o i)时，°伙)<0,
・・・力⑷在伶xo)上单调递增，在(xo.l)上单调递减. 又卜一*出+殳°'力⑴
:0在百，1上恒成立，
当且仅当k= 1时取“=”・
综上，函数7(x)在[0,幻上的最大值M=伙一l)e A -^. 【课标自测题】
而石)0⑴(e-3)<0,
一选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50 分) 1 .(13福建)设函数f(x)的定义域为R, Xo(x°HO) 是
f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()
A.xWR, Kx)WKxo)
B.—X。

是f(-x)的极小值点
C.— xo是一f(x)的极小值点
D.—Xo是一f(—x)的极小值点
答案：D
提示：根据极值点是函数局部的性质可排除A选
项，根据函数f(x)的图像与f(—X)、一f(x)、-f(- x)的图像分别关于y轴、x轴、原点对称，可排除B、C选项，故选D.
2 .(烟台市莱州一中13月月考)下面为函数
y = xsinx + cosx的递增区间的是()
B.（兀,2兀）
厂（3兀5兀）r A
C.—
D.（2兀,3兀）
V 2 2 7
答案:C
提示：y * = sinx + x cos x - sin x = x cos x , 当
x>0 时，山)八〉0得xcosx〉0 ,即cosx>0 ,
所以选C.
3.(13济宁模拟)若函数./(兀)=» —6加+3b在(0,1)内
有极小值，贝I」实数b的取值范围是()
答案:D
提示：由/ （兀）=3,—6b=0,得x=±\[2b（b>0）f・・・0<回<1,・・・0<方V*.
4.( 13 新课标2 )己知函数
f(x) = x3 +ax2+ 下列结论错误的是()
A.G R , /'(x0 ) = 0
B.函数y = /⑴的图像是中心对称图形
C.若是/(X)的极小值点，则/⑴在区间
(-OO, x0)单调递减
D若忑是/(兀)的极值点，则/ (x o) = O
答案：C
提示：若c = 0,则有/(0) = 0,所以A正确.由几丫) =兀彳 + ax1 + bx + c得/(x) - c = x3 + ax2 + hx,因为函数金)* +处2 +加的对称中心为(0,0),所以7(x) =x3 + ax2+ bx + c的对称中心为(0, c),所以B正确.由三次函数的图象可知，若Xo是./(X)的极小值点，则极大值点在X。

的左侧，所以函数在区间(- 8,也)单调递减是错误的，D正确.选C.
5.( 13德州联考)已知y=/(x)是定义在R上的函数，且/(1)=1/ ⑴>1,则Ax)>x的解集.是()
A.(0,1)
B. (-l,0)U(0,l)
C・(1, +8)D. (—8, -1)U(1, +8)
答案：c
提示：令F(x)=Xx)-x,则(x)=f (x)-l>o, 所以F(x)是增两数，故易得F(x)>F⑴的解集，即fix)>x的解集是(1, +8).
6.(13烟台质检)已知函数/(x)=4x+3sinx, xe(- 1,1),如果/(l—d)+/(l—/)<0成立，则实数a的取值范用为() A. (0,1) B. (1, ^2)
C. (一2, —迈)
D. (一8, —2)U(1, +oo)
答案:B
提示：V/(x)=4x + 3sirL¥, x^(—1,1),:・f
(x)=4
+ 3COSJV >0在xW(— 1,1)上彳旦成立.
・・・.心)在(一 1,1)上是增函数.
乂./(x)=4x+3sirv, xW(—1,1)是奇函数，・°・不等式 /dSFvo 可化为 XI —。

)<府一1).
—1<1—0<1,
从而可知，Q 需满足< 一1</—1V1, .1-C 7<C /2-1,
解得1<6/<72・
7. (天津一中13届第二次月考)定义在(0,+oo)± 提
示：由条件可知当°vxvl 吋，/V)<0,函 数递减，当兀>1时，厂任)>°,函数递增，所以 当兀=1时•，函数取得极小值.当兀<一1时， MV)<0,所以.厂(x)〉
0,函数递增，当 -lvxvO, "G)>0,所以厂⑴vO,函数递
减，所以当x = -l 时，函数取得极大值.所以选C.
的可导函数/(x)满足:xf\x) < f(x)且/(l) = 0,
9. (唐山市第三次模拟理科)定义在7?上的函数
则空1<0的解集为( )
A. (0,1)
B. (0,l)U(W)
C. (1?+00)
D. 0 C
答案：C
提示：因为［竺］」厂⑴丁⑴，所以当x>0 时，
［2斜<0 ,即函数在
X
对
一 f ⑴
(0,+8)上单调递减，又/(1) = 0,所以—j —= 0, 所以不等
式』卫2<0解为%>1,即不等式的解集 x 为(1, +00),选 C.
& (贵州六校联盟13届笫一次联考)已知函数 y = xf f
(x)的图象如图3所示(其中f\x)是函数 /(兀)的导函数).卜-面四个图象屮，y = f(x)的 图彖大致是( )
加・Q
B I
C ・& |
D ・0
答案：C
则 /(X )
A. 既有最大值也有最小值
B. 既没冇最大值，也没冇授小值
C. 有最大值，但没有最小值
D. 没有最大值，但有最小值
【解析】由于/+4x + 6〉0,函数的定义
域为R,
2(兀 + 4)
(x 2 +4x4- 6)Vx 2 4-4x +6
可知函数/(x)在(-oo ?-4)±递减，在(-4?oo) ± 递增，则函数/(力没有最大值，但有最小值；
10. ( 13辽宁)设函数Xx)满足/广(x)+2xf(x) e x c 2 =P .A2)=y,则 x>0 时，A Y )() A. 冇极大值，无极小值 B. 有极小值，无极人值 C. 既有极大值乂有极小值 D. 既无极人值也无极小值
答案：D
©X
提示：由 xf (x) + 2x/(x)=—,
A
/'« =
A /X 2
+ 4x + 6 - (x + l)x
2x4-4 2>/疋 +4x + 6
得 f (x) = -~~
> 令 g(x) = e v
~ 2x 1 2
f(x), x > 0,
X
则 g‘(x) = e v
一 2x 2
f (x) 一 4乂心)=e v - 2•—=
x 号疋令g' (x) = 0,得x = 2.
当兀〉2 时，g (x)> 0; 0<x<2 时，g' (x)<0, ・・・
g (兀)在x = 2时有最小值g(2) = e 2- 8/(2) = 0,从而 当 x>0 时，f (x)20,
则7U)在(0, +s)上是增函数，所以函数/(兀)无极 大值，也无极小值.
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20 分)
11. 函数,/(x) = x(c x -l)-p 2,的单调增区间为
不是单调函数，贝U 有OWk — lv 丄vk + l ,解得 2
3 3
即/的取值范围是［1,|).
13 (13绵阳模拟)下图是函数f(x)的导函数的 图像，给出下面四个判断.
答案：(-r -1)和(0, +8).
提示：因为y (x) =x(e'- 1)xS 所以/ (x) = e v - 1
+ xc A _ x = (c' _ 1 )-(x + 1).
令f (x)>0,即(c Y - l)(x + l)>0,得 x<-l 或 x>0. 所以函数 沧)的单调增区间为(-8, - 1)和(0, + °°)-
12 .(山东省烟台市莱州一中13届月考)若函数 /(x) = x 2--lnx + 1在其定义域内的一个子区间
2
伙-1,£ + 1)内不是单调函数，贝IJ 实数k 的取值范 围 ______________ .
2x 2x 2x
由/G)>o 得X 〉丄，由厂(兀)<0得Ovxv 丄， 耍使函数在定义域内的一个子区间(k-1* +1)内
4 答案：［1,-)
② x= —1是f(x)的极小值点；
③ f (X )在区间［一 1, 2］上是增函数,在区间［2,
4］上
是减函数；
④ 尸3是f{x)的极小值点.
其中，所有正确判断的序号是 __________ ・ 答案：②③
提示：由函数y=f{x)的导函数的图像可知：(1)/U) 在区间［一2, —1］上是减函数，在［一1,2］上为增 函数，在［2, 4］上为减函数；(2)f(x)在*= —1处 収得极小值，在x=2处取得极人值. 故②③」E 确.
14. (13浙江)设a, bWR,若x$0时恒有OWx 3 —x 4 + ax+b^(x 2— I)2,则
ab= __________ .
答案：-1
提示：当x= 1 时，OWa+bWO,则a+b=O, b = — a,令f(x) = (x2— l)2—(x4—x3 + ax —a) = x3—2x2 -ax+a+1,则f(x)M0 在xMO 时恒成立,f(l)=1 -2-a+a+l=O,则
x=l应为极小值点,f(x) = 3x2—4x—a,故f(l)=0, a= —1, b=l, ab= —1.
三.解答题(本大题共4小题，共50分)
H+a
15.(13海淀模拟)函数.心)=+p(QWR).
⑴若./W在点(1,夬1))处的切线斜率为*,求实数a
提示：函数/(%)的定义域为(0,+s),
/V) = 2x-_L = m(2E)(2T ,
的值；
(2)若./(x)在x=l 处取得极值，求函数沧)的单调区 间.
若心)在点(1,.心))处的切线斜率为*,则/ (1)=|.
3 — a I
所以’f (1)= ~— = 2» 得 a = L
⑵ 因为./(X )在x= 1处取得极值，所以/ (1) = 0, 即 l+2-a = 0, a = 3, z x 2 + 2x _ 3
「•f (x)= ------ [宀二•
J v 7
(x+ 1)~
因为./(X )的定义域为{x|xH - 1}，所以，f(0的单 调递增区间是(一8, -3), (1, +8),单调递减 区间是(一3,
— 1), (―1, 1)・
所以,/(x)的单调递增区间是(一8, —3), (1, +°°), 单调递减区间是(一3, — 1), (—1,1).
16 (13 广东)设函数Xx)=x 3-fcc 2+x(^eR). ⑴当k=l 时，求函数几工)的单调区间；
⑵当X0吋，求函数.ZU)在伙，一幻上的最小值m 和最大值M.
解：f (x) = 3x 2 - 2kx + 1,
(1) 当 k= 1 时/ (x) = 3x 2
- 2x + 1 =3$-*)2 + 扌>0, ・・・./(x)在R 上单调递增.
(2) 当 X0 时，/ (x) = 3?-2Ax+ 1,其开口 向上, 对称
轴x = |,且过(0,1)点.
①当/=4卩-12 = 4伙+迈)伙一萌)00,即-迈
Wk<0 时,
f ⑴30,.心)在伙，-幻上单调递增•・・・”".心)斷
"Q = ky M=阳唤=.A 一 k)= -2k 3
- k.
②当J=4^2- 12>0,即X-逅时，令.广(x) = 0得 又 /(兀])~J(k) = x] ~ kx] + x\ - k = (x ~ Q(# + 1 )>0,
:、m =./(&) = k 、
y (X2)-.A _ k) = X2 - kxl + 兀2 _ ( _ 疋 _ k# -k)
= (x 2 + 肋[(兀2-好+ M+ l]<0, :.M=J{-k)= - 2^ - k.
综上，当k<0时，.心)的最小值m = k,最大值M=
-2疋-k.
17(13 福建文)已知函数 f(x)=x-aln x(aeR).
(1) 当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(l, f(l))处的 切线方
程；
(2) 求函数f(x)的极值.
解：函数f(x)的定义域为(0, +8), F (X )=1—£
X
2
(1) 当 a=2 时，f(x) = x —21nx, f(x)= 1—-(x>0),
因而 f(l)= 1, f(l)= — 1,所以曲线 y=f(x)在点 A(l, f(l))处的切线方程为y —1 = —(x —1), 即 x+y —2 = 0.
a x ・a
(2) 由 f(x)=l--=^, x>0 知：
① 当aWO 时,f(x)>0,函数f(x)为(0, +8)上的增 函数，函数f(x)无极值；
② 当a>0时，由f(x) = O,解得x=a.
又当 xe (0,a)时,f(x)<0；当 xe (a , +^)时,f(x)>0, 从而函数f(x)在x=a 处取得极小值，冃•极小值为f(a)
=a —aln a,无极大值.
综上，当aWO 时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x=a 处取得极小值a —aln a, 无极人值.
18
( 13 福建理)已矢II 函数
f(x) = x-\ + ^(aER, e 为自然对数的底数). (1) 若曲线y = /(X )在点(1,/⑴)处的切线平行于 x
轴，求a 的值；
(2) 求函数/⑴的极值；
.\m = min{/(/:),夬兀】)}, max{/( - k), X x
2)}- y = f (x)没有公共点，求k 的最人值.
殳+心_3 3
且 k<X2<x 产0. (3)当a = 1的值时，若直线/: y = kx-i 与曲线
解: d)r «= (卄1)2
2x(x+ 1)—/ —G
解：(1)由 /(x) =兀—1 —-,得厂(兀)=1 —- •
e e
乂 ||||线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线平行于x 知
g(x) = O 在R 上至少有一解，与“方程 g(x) = O 在上没有实数解”才盾，故k<\.
轴，得 f (1) = 0,即 1 — - = 0,解得a = e. e
乂k = \时,g (兀)=丄>0,知方程g(x) = 0在R
e
(II) 广(x)i-¥， ① 当°50 时，/'(x)〉0, /(x)为(—oo,+oo)上的 增函数，所以函数/(x)无极值.
② 当°>0时,令广(兀) = 0,得e x
= a t x = \na.
x G (-oo,In (7), /'(x)vO ;兀w(Ina,+oo),.
•厂(x)>0.
所以/ (x)在(-〜In Q )上单调递减，在(In a, +oo) 上单调递增，
故/(X )在x = \na 处収得极小值，且极小值为
/(lna) = lna,无极大值.
综上，当。

50时，函数/(x)无极小值；
当Q >0, /(x)在x = lna 处取得极小值Ina,无 极大值. 上没有实数解.所以仝的最大值为1. 解法二：
(1)(11)同解法一.
(III) 当° = 1 时，f(x) = x-l + 丄. e x
直线b.y = kx-\与曲线y = f(x)没有公共点， 等价于关于x 的方程Ax -1 = x -1 +丄在• /?上没 e' 冇实数解,即关于X 的方程： (丘―1)兀=丄 (*) 在/?上没有实数解.
① 当k = \时，方程(*)可化为—=0,在7?上没有
€ 实数解.
② 当kHl 时,方程(*)化为丄 =xe v .
k -1 令 g(x) = xe x
，则冇 g[x) = (1 + x) . 令 g ，(x) = 0,得 x = _l,
当兀变化时，g r (x )的变化情况如下表：
1 A
从而g(x)的取值范围为--,+00 •
所以当
乂函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可
1 1
丄 w -oo?-l时，方程(*)无实数解，解得&的k-\ \ e)
取值范围是(l-e,l).综上，得£的最人值为1.。