专题16抛物线三年高考(20152017)数学(文)试题(附解析)

专题16 抛物线-三年高考（2015-2017）数学（文）试题
1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为
B. C. D. 【答案】C
【考点】直线与抛物线位置关系
【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2014，安徽文3】抛物线
2
4
1x y =
的准线方程是
（ ）
A ． 1-=y
B ． 2-=y
C ． 1-=x
D ． 2-=x 【答案】A ． 【解析】
试题分析：题中抛物线的标准形式为2
4x y =，则其准线方程为1y =-，故先A ．
考点：抛物线的准线方程．
【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如
2(0)y Ax A =≠，则其焦点坐标为(,0)4A ，准线方程为4
A
x =-；若2(0)x Ay A =≠，则
其焦点坐标为(0,)4A ，准线方程为4
A
y =-.
3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2
的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，
x F A 0
45
=
，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：
14x =-，则有：01||4AF x =+，即有0015
44
x x +=，可解得01x =．
考点：抛物线的方程和定义
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.
4. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-
B ．1-
C ．34-
D ．12
- 【答案】C
【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点F 的坐标，进一步确定直线的斜率.
本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.
5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴
的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．8
D 【答案】B 【解析】
试题分析：据题意得1
(,0)4
F ，设1122(,),(,)A x y B x y
，则22
1122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面
积之和为
1
221111224S x y x =
-+⨯
22
1221121111112248
y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.
【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出
1122(,),(,)A x y B x y 两点坐标，由2OA OB ⋅=，得122y y =-，接下来表示出ABO ∆与
AFO ∆面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二
定，三相等”.学！科网
6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1) 【答案】B
【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2
p
x =-
，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.
【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，
注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.
7. 【2016高考四川文科】抛物线2
4y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】
D
考点：抛物线的定义.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．
8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）
（A （B ）6 （C ）12 （D ）【答案】C
【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==
，故直线AB 的方程为
3
y )4
=
-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=
1683
12162
+=，选C ． 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．
9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k
x
（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）
（A ）12 （B ）1 （C ）3
2
（D ）2
【答案】D
考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.
【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =
k
x
(0)k ≠，当0k >时，
在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.
10.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .
【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】
试题分析：设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，
(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1
cos 2
1AC AF CAF AC AF
⋅∠=
=
=-
⋅，m =
于圆C 与y 轴得正半轴相切，则取m =(1-，半径为1，所求圆
的方程为22(1)(1x y ++=. 【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.
【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐
标表示，本题只有一个难点，就是0
120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，
根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()22
11x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.
11.【2014上海,文4】若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆15
92
2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.
【考点】椭圆与抛物线的几何性质
【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________. 【答案】1x =- 【解析】
试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线24y x =的准线方程为1x =-，故答案为1x =-. 考点：抛物线的几何性质.
【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程
13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
【答案】（1）1； （2）7y x =+．
于是直线AB 的斜率1212
1214
y y x x k x x -+=
==-． （2）由24
x y =，得2x
y'=．
设M （x 3，y 3），由题设知312
x
=，解得32x =，于是M （2，1）．
设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．
将y x m =+代入2
4
x y =得2440x x m --=．
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±
从而12||AB x x -=．
由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线
2x y =，
点A
11()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点
)
2
321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）
27
16
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则212
41
2-=+-
=
x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)
1(2342
2+++-=k k k x Q ，因为|P A
|=1)2x +=)1(12++k k |PQ |=
1
)1)(1()(122
2
++--
=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2
)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)2
1,1(-上单
调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数
3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．学…科网
15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求
OH ON
；
（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有
把直线MH 的方程x t
p
t y 2=
-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2
t p
t P .
又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2
t p
t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得
022
2
=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2
t p
t H . 所以N 为OH 的中点,即
2|
||
|=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=
-,即)(2t y p
t
x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共
点.
考点：直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：2
2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线
12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；
（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2
1y x =-．
试题解析：由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以AR
FQ . ......5分
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2
,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=
--=-=
∆∆. 由题设可得2
21211b
a x a
b -=--，所以01=x （舍去），11=x .
设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭
圆22
222:1y x C a b
+=
(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两
点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；
（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.
【答案】（I ）22198y x += ；(II) 4
±.
2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，联
立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.
试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，
所以22
1a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1
C
的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3()2，22
9614a b ∴+= ②，
联立①②得2
2
9,8a b ==，故2C 的方程为22
198
y x +=。

（II ）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y
因AC 与BD 同向，且AC BD =，
所以AC BD =，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是
2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+- ③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，
由2
1
4y kx x y
=+⎧⎨
=⎩得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④
由221
189y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，
343422
1664
,9898k x x x x k k
+=-
=-++， ⑤ 将④、⑤代入③，得232
2221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++。

即222
22
169(1)16(1)(98)
k k k ⨯++=+ 所以22
(98)169k +=⨯
，解得k =，即直线l
的斜率为【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．
18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；
（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x
轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.
【答案】（I ）2p =；（II ）()
(),02,-∞+∞
.
试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的定义得
12
p
=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()
2
,2,0,1A t t t t ≠≠±.
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠ ,由241
y x
x sy ⎧=⎨=+⎩ 消去x 得
2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B t
t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
又直线AB 的斜率为212t
t -，故直线FN 的斜率为21
2t t
--，
从而的直线FN:()2112t y x t
-=--，直线BN:2
y t =-，
所以2232,1t N t t ⎛⎫
+- ⎪-⎝⎭
，
设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：2222
2
223
1
t t t t t m t t +
=
+--- ， 于是2
221
t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.
综上，点M 的横坐标的取值范围是()
(),02,-∞+∞.
考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
【思路点睛】（I ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离；（II ）通过联立方程组可得点B 的坐标，进而可得点N 的坐标，再利用A ，M ，
N 三点共线可得m 用含有t 的式子表示，进而可得M 的横坐标的取值范围.
19.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线2
11C 4
y x =
：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过
原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. （1）求点A ，B 的坐标； （2）求PAB ∆的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公 共点为切点
.
【答案】(1)22
22
22(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)3
2
t
试题解析：(1)由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-.
所以2()
14
y k x t y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，整理得：2
440x kx kt -+=.
因为直线PA 与抛物线相切，所以2
16160k kt ∆=-=，解得k t =.
所以2x t =，即点2(2,)A t t .
设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，
故有00001220
y x t x t y ⎧=-+⎪
⎨⎪-=⎩，
解得2002222,11t t x y t t ==++.即点2
22
22(,)11t t B t t ++. (2)由(1)
知，AP = 直线PA 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA
的距离为2d =
.
所以PAB ∆的面积为3
122
t S AP d =⋅=.
【考点定位】1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质以及直线与圆，直线与抛物线的位置关系.利用直线与圆、抛物线分别相切，通过联立方程，判别式为零，计算得到点A ，B 的坐标，利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算得到三角形相应的底边长与底边上的高，从而表示面积.本题属于中等题.主要考查学生基本的运算能力，培养学生不怕吃苦的品质. 20.【2014福建,文21】（（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点
,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲
线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 【答案】（1）2
4x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析.
思路二：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，
由|(3)|2y --=
=，化简即得.
（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为2
14
y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，得2
0014
y x =
， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l 的方程为2001124
y x x x =
-. 由200
11240y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .
由200
11243y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
，得00
16(,3)2M x x +.
根据(0,3)N ，得圆心00
1
3
(,3)4
C x x +
，半径00113||||24r MN x x ==+，
由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定||AB 试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为2
4x y =.
（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为2
14
y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则2
0014
y x =
，
由'
1
2
y x =
，得切线l 的斜率 0'01
2
x x k y x ===，
所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2
001124
y x x x =-.
由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .
由20011243y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
，得0
16(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心00
1
3
(,3)4
C x x +
， 半径00
113||||24r MN x x =
=+，
||AB ==所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变
.
解法二：
（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，
则|(3)|2y --=
=，
依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，
1y =+，
化简得，曲线Γ的方程为2
4x y =. （2）同解法一.
考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的
位置关系.
【名师点睛】本题第一问求抛物线方程，可直接利用抛物线定义来确定方程.第二问是一个探究与证明问题，能有效学生分析问题解决问题的能力,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.
21.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．
由(A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =
，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，
所以(
)G 0213k A =
=--，(
)G 12
k B ==--， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．
（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，
所以m =±
(A ．
由(A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =
，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A
的方程为30y -+=，
从而r =
=
． 又直线G B
的方程为30y ++=，
所以点F 到直线G B
的距离d r =
=
=． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．
【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明GF GF ∠A =∠B 即可，这样可以把问题转化为判断G G 0k k A B +=，高效解题的过程就是优化转化的过程．学……&科网。