云南省玉溪市民族中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理

云南省玉溪市民族中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题
理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

满分150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．若复数满足（是虚数单位)，则 （ ）
z i i z -=+1)1(i z =A.
B. C. D.
i -i 2-i i 22．命题“，”的否定是（ ）
0x ∃>ln 0x >A.， B.， 0x ∃>ln 0x >0x ∀>ln 0x >C.， D.， 0x ∃>ln 0x ≥0x ∀>ln 0x ≤3．抛物线的焦点坐标是（ ） 2
14y x =
A. B. C. D.
1(0,)161
(,0)16
(0,1)(1,0)4．等差数列中，若，则数列前11项的
}{n a 27,391173951=++=++a a a a a a }{n a 和为（ ）
A. B. C. D. 1211201101325．“”是“”的（ ）
10x ->210x -> A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数()y f x =的图象与直线8y x =-+相切于点()()
5,5f ，则()()55f f '+
=（ ）
A.1
B.2
C.0
D.
1
2
7.等比数列的前项和为，若，则}{n a n n S 04123=++a S S 公比（ ）
=q A. B. C. D.
2-3-23-或-58.如图，空间四边形中，，OABC OA a OB b OC c ===
，
，
点在线段上，且，点为的中点，则（ ）
M OA 2OM MA =N BC MN =
A ． B.
121232a b c -+ 111222a b c -+- C. D.
211322a b c -++ 221332
a b c -+- 9.已知二次函数的值域为，则
的最小值 ()()2
2f x ax x c x R =++∈[)0,
+∞11
a c c a
+
++
为（ ）
A. B. C. D. 8410.若函数x
y e ax =+有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1a >-
B.1a e >-
C.1a <-
D.1
a e <-
11.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，
12,F F 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>C A 满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
122||3||AF AF a -=A. B. C. D. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.若函数满足：对， 均可作为一个三角形的
()y f x =()x D ∈,,a b c D ∀∈(),(),()f a f b f c 边长，就称函数是区间上的“小确幸函数”。

则下列四个函数：
()y f x =D ；；；1ln ,,2y x x x e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦2ln ,,y x x e e ⎡⎤=∈⎣⎦2
ln ,,x y x e e x ⎡⎤=∈⎣⎦1,,22x x y x e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
中，“小确幸函数”的个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D. 0
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置上） 13．
1
20
(23)x x dx -=⎰
.
14．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩，则的最小值是 .
z =2x y -15．已知分别表示等差数列的前项与前项的和，且，那么
n m S S ,{}n a m n 22
n
m S S n m = . =n
m
a a 16．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
11
42
2=-+-t y t x C ①若为椭圆，则；
C 14t <<②若为双曲线，则或；
C 4t >1t <
③曲线不可能是圆； C
④若，曲线为椭圆，且焦点坐标为； 5
12
t <<
C (
⑤若，曲线．
1t <C 其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）
已知函数 ()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
(I) 求的最小正周期; ()f x (Ⅱ) 求在区间上的最大值和最小值. ()f x ,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
18．（本小题满分12分）
已知数列{}为公差不为零的等差数列，=1，各项均为正数的等比数列{}的第1
n a 1a n b 项、第3项、第5项分别是、、． 1a 3a 21a (I)求数列{}与{}的通项公式；
n a n b (Ⅱ)求数列{}的前项和． n a n b n 19．（本小题满分12分）
在中,角,,对应的边分别是,,.已知. ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=(I)求角的大小;
A
(II)若的面积,,求的值.
ABC ∆S =5b =sin sin B C 20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °， 平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中
点．
（Ⅰ）求证：AB PE ⊥；
（Ⅱ）求二面角A PB E --的大小．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在平面直角坐标系的原点，离心率，右焦点与圆 G 1
2
e =
：的圆心重合.
C 22230x y x +--=（Ⅰ）求椭圆的方程；
G （Ⅱ）设、是椭圆的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆相交于、
1F 2F G 2F :1l x my =+G A 两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直
B 1ABF ∆M 线的方程，若不存在，请说明理由. l 22．（本小题满分12分）
已知函数（e 为自然对数的底数）．
()x
f x e x =-（Ⅰ）求)(x f 的最小值；
（Ⅱ）设不等式的解集为P ，且，求实数的取值范围. ()f x ax >{}|02x x P ≤≤⊆a
玉溪市民族中学2018- 2019学年上学期期末考试答案
高二数学（理 科）
一、 选择题
ADCAA BCCCC DB 二、 填空题 13. 0 14． 15． 16．②④⑤
4-1
21
2--n m 三、解答题
17.解: (I) ∵f(x)=4cos xsin(x+)-1
=4cos x(sin x+cos x)-1 =
sin 2x+2cos 2x-1=
sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期为π. (Ⅱ) ∵-≤x ≤,∴-≤2x+≤.
∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1. 18.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设数列的公差为d, 数列的公比为q, {}n a {}n b 由题意得：, ……………2分
23121a a a =,
2(12)1(120)d d ∴+=⨯+,
24160d d -=,所以.………………4分
0d ≠ 4,d ∴=43n a n =-于是的各项均为正数, ,所以q=3，
{}1351,9,81,n b b b b ===.……………………6分
13n n b -∴=（Ⅱ）,
1(43)3n n n a b n -=-
.
0122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ .……………8分
1231335393(47)3(43)3n n n S n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 两式两边分别相减得：
……………10分
2312143434343(43)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯
231114(3333)(43)343(13)1(43)313
(54)35
n n n n
n n n n --=+++++--⨯⨯⨯-=+--⨯-=-⨯- .………………12分 (45)35
2
n n n S -+∴=
19.(本小题满分12分)
解:(I)由已知条件得:
cos23cos 1A A +=,解得,角 22cos 3cos 20A A ∴+-=1
cos 2
A =
60A =︒(II),由余弦
定1
sin 2
S bc A =
=4c ⇒=理得:, 2
21a =()
22
2228sin a R A
== 2
5
sin sin 47
bc B C R ∴=
=20.(本小题满分12分)
解：(I)连结
PD ， ∴ ． PB PA =AB PD ⊥ //DE BC ，，．
AB BC ⊥∴AB DE ⊥ 又 ， ∴平面 D DE PD =⋂⊥AB PDE 而平面， 所以．
⊂PE PDE PE AB ⊥(II)因为平面平面 交于，，所以 ⊥PAB ABC AB AB PD ⊥ABC PD ⊥如图，以D 为原点建立空间直角坐标系
∴()1,0,0B
，(P ，30,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，
∴(
31,0,,0,,2PB PE ⎛== ⎝ ．
设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z = ，
∴0,30,2x y ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
令z =
得1(3,n = ．
DE ⊥平面PAB ， ∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =
．
设二面角的A PB E --大小为θ，则
121212||1
cos cos ,2
n n n n n n θ⋅=<>==⋅
，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒．
21.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）圆C ：的圆心为. （1分）
2
2
230x y x +--=(1,0)设椭圆G 的方程，
22
221x y a b
+=则，得. （2分） 1
1,2
c c e a ==
=2a =∴， （3分）
2222213b a c =-=-=∴椭圆G 的方程. （4分）
22
143
x y +=（Ⅱ）如图，设内切圆M 的半径为，与直线的切点为C ，则三角形的面积等1ABF ∆r l 1ABF ∆于的面积+的面积+的面积. ABM ∆1AF M ∆1BF M ∆即
.当1221()2ABF S AB AF BF r =
++=△12121
[()()]242
AF AF BF BF r ar r +++==最大时，也最大，内切圆的面积也最大. （5分）
1ABF S △r 1ABF ∆设、()， 11(,)A x y 22(,)B x y 120,0y y ><则. （6分） 11211221211
22
ABF S F F y F F y y y =
⋅+⋅=-△ 由，得，
221
14
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(34)690m y my ++-=解得
（7分）
1y =
2y =∴. （
8分） 1ABF S =△令，则，且，
t =
1t ≥221m t =-有. （9分） 122
121212
13(1)4313ABF t t S t t t t
=
==-+++△
令，因为在上单调递增，有. （10分） 1()3f t t t
=+()f t [1,)+∞()(1)4f t f ≥=∴. 即当，时，有最大值，得，这时所求内切圆的11234ABF S ≤=△1t =0m =4r 3max 3
4
r =面积为
. （11分） 9
16
π∴存在直线，的内切圆M 的面积最大值为. （12分）
:1l x =1ABF ∆9
16
π22.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）)(x f 的导数.1)(-='x
e x f
令0,0)(;0,0)(<<'>>'x x f x x f 解得令解得 从而)0,()(-∞在x f 内单调递减， 在),0(+∞内单调递增
所以。

当x=0时，)(x f 取得最小值1。

（Ⅱ）因为不等式ax x f >)(的解集为P ， 且P x x ⊆≤≤}20|{，
所以对于任意]2,0[∈x ，不等式ax x f >)(恒成立。

由得
()f x ax >()1x
a x e +<当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑]2,0(∈x 的情况。

将.1)1(-<<+x
e a e x a x
x
变形为
令)(,1)(x g x e x g x 则-=的导数,)1()(2
x
e x x g x
-=' 令.1,0)(;1,0)(<<'>>'x x g x x g 解得令解得
从而)1,0()(在x g 内单调递减，在（1，2，）内单调递增。

所以，当1=x 时，)(x g 取得最小值e －1。

，即的范围是
a ∴1-e a ()1,-∞-e。