高中数学 第一单元 常用逻辑用语章末复习课教学案 新人教B版1新人教B版数学教学案

第一单元常用逻辑用语
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
知识点一全称命题与存在性命题
1．全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
p q 綈p p∨q p∧q
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
知识点三充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q 是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不
必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不
充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要
条件
知识点四四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
类型一命题的关系及真假的判断
例1 将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
反思与感悟(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b ＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
类型二逻辑联结词与量词的综合应用
例2 已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练2 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p 或q”是假命题，求a的取值范围．
类型三充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
反思与感悟条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或
B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( )
A ．a 2>b 2>0
B ．12log a >12log b >0
C ．ln a >ln b >0
D ．x a >x b
且x >0.5 命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )
A ．∃x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1
B ．∃x >0，使得(x ＋1)e x ≤1
C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1
D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x
≤1
2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都
是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
问题导学
知识点四
如果p，则q如果q，则p如果綈p，则綈q如果綈q，则綈p 题型探究
例1 解(1)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假)否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假)
逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)
(2)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假)
否命题：如果mn≥0，
则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：如果方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
跟踪训练1 B [正确的为①③.]
例2 A [因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，
得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，所以m ≥0.①
由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，
得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，
所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.]
跟踪训练2 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a 2
或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，
∴|a |≤2.
又“只有一个实数x 0满足x 2
0＋2ax 0＋2a ≤0”，
即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.
∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.
∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.
∵命题“p 或q ”为假命题，
∴a >2或a <－2.
即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．
例3 (1)B (2)C
解析 (1)∵x 2
－3x >0⇒/ x >4， x >4⇒x 2－3x >0，
故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件．
(2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，
∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 跟踪训练3 C
例4 解 方法一 命题p ：x 2－5x ＋6≤0， 解得2≤x ≤3；
命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，
解得m ≤x ≤m ＋2，
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ＋2>3或⎩⎪⎨⎪⎧ m <2，m ＋2≥3，
解得1≤m ≤2.
∴实数m 的取值范围是[1,2]．
方法二 命题p ：2≤x ≤3，
命题q ：m ≤x ≤m ＋2，
綈p ：x <2或x >3，
綈q ：x <m 或x >m ＋2，
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴{x |x <m 或x >m ＋2}{x |x <2或x >3}，
故⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.
∴实数m 的取值范围是[1,2]．
跟踪训练4 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件， ∴q 是p 的充分条件，
令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f 2≤0，f 3≤0，解得a ≤9，
∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 当堂训练
1．B 2.A 3.若x ，y 不全为零，则xy ≠0 4.②③ 5.(－∞，0]。