2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷附答案解析

2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）
A.{}
3,4 B.{}
2,4,6 C.{}
1,3,5 D.{}
2,42.如果椭圆的方程是22142
x y +=，那么它的焦点坐标是（
）
A.()
2,0± B.()
0,2± C.()
D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）
A.1
B.5
- C.1或5
- D.1-或5
4.已知圆2
2
1:4C x y +=和圆2
2
2:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）
A.外切
B.内切
C.相交
D.外离
5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）
A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AEC
B.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A EC
C.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥
D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1
BD 6.已知3x
，则函数()1
1
f x x x =+-的最小值是（）
A.
92
B.
72
C.3
D.2
7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M
共线的向量是（
）
A.22a b c
-+-
B.2a b c
+-
C.22a b c --
D.2a b c
-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪
=⎨+<⎪⎩
那么()10f =（
）
A.2020
B.2021
C.2023
D.2025
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）
A.z 的实部是3
B.5z =
C.34i
z =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限
10.抛掷一颗质地均匀的骰子，
记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）
A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥
B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22
A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立
11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（
）
A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α
，则cos 3α=
B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3
β=
C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n
，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦
D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC
，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.
13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为
2π
3
，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，
若1120,PF Q PQ ∠==
，则该椭圆的离心率是__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（13分）
已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π
4
，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）
在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求
()()
S
a b c a b c +++-的值.
17.（15分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有
222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.
（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；
（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是1
4
-
.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；
（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3
）过点)
F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：
2
11||PQ OD +为定值.19.（17分）
在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,
x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩
''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点
(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变
换和旋转变换.
（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换
公式，并求将椭圆22
143
x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；
（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转
π
4
后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22
1
43
x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.
浙江强基联盟2024年11月高二联考
数学卷参考答案与评分标准
1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.
2.C 由2222c a b =-=
，则它的焦点坐标是()
，故选C.
3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.
4.A 由22
2:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故
选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.
6.B
令()12x t t -= ，则()()1
1,f t t f t t
=++在[
)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722
f =
，故选B.7.C
由空间向量的线性运算可得
()()
1111111111111122222
B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++
.选项D 中，
112222a b c a b c ⎛⎫
--=--++ ⎪⎝⎭
，与1B M 共线，故选
D.
8.B
记()()()()()1
1,n n f
x f f x f x f x +=
=，根据()f x 定义可得
()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑
()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，
()()()()()()()()
2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）
=()()()()4
3220232024202020212022f
f f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是
22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.
9.ABC
34i z =-，则z 的实部是3，故A
正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，
z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.
10.BD
1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为
2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃=
=⋃⎣⎦.()411
32
P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD
如图，设内切球的半径为r
，易得4,cos ,A 33
AH AH r BAO AB α∠α==
===正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1
sin 3
OH AO β=
=，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=
，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，
最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,
6n ⎡∈⎢⎣
⎦
，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值
等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦
，D 选项正确.故选
ACD.
12.
5
由点到直线的距离公式5
d =
=
.
13.
3
2πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =
，则
h =
=
，由圆锥的体积公式可得211ππ333
V Sh r h =
==.
14.
12
由1120,PF Q PQ ∠==
，
可得1260,2
F PF PO ∠==
.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，
由余弦定理和中线长公式得()
()2222222212(2)2||,
(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪
⎨
⎪=+---⎩
｡即2222222
222515242,688,22
3644,
x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得2
2122c a =
，则211
,42
e e ==，【法二】设()12
22
1200Δ0,,tan
23
F PF F PF P x y S b b cy ∠===，22
0022
222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即2222024
2202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
化简得422222222
3343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得22
2111,42
b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43
-，则直线l 的斜率是
34
，可得直线l 的方程是()3
414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π
4
，则直线l 的斜率是1-，
可得:50l x y +-=，
则圆心C 到直线l
的距离是2
d =
，则直线l 被圆C
截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π
3
C =
，由2c =
，可得2sin c R C ==
R ABC ∴=
∴
.（2）()()221
sin 2()ab C
S a b c a b c a b c =
+++-+-2
221sin 22ab C a b ab c =
⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅
+1sin 22cos 212
C C =
⋅=
+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，
又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =
，所以EF PF PE =
==得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.
如图建立空间直角坐标系，得(
)(
)()
2,0,0,,1,A B C -
，
(
)2,0,0,0,55D Q ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =
，
(
)
,2,55AB AQ ⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
则0,
0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩
取1y =
得)
n =
.
设平面QCD 的一个法向量(
)()
4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭
0,
0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩
取1b =-
得)
1,3m =--
.
设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，
则7cos cos ,13
m n m n m n θ⋅=<>==
，
所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为
7
13
.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22
AM y
k x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BM
y k x x =≠-，由已知可得()12224
y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()2
2124x y x +=≠±.
（2
）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，
设直线:2l y x m =+'
，联立方程组22,2
44,
y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩
得2210x m ++-=，()
222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，
直线l '与OD
之间的距离
477d =
=，
所以1112227
ODE S OD d =
=⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0
，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，
联立方程组2
2
44,
x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得(
)22410t y ++-=
，则122122,41,
4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
所以
(
)212
2414
t PQ y t +=-=+，
因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22
,44,
y tx x y =-⎧⎨+=⎩得(
)
22
144t x +=，
所以D OD ==，得(
)22
2
41||14t OD t +=
+，
所以()()
22222114145||4
4141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''
此即为坐标变换公式.设22
143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.
得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,
2,
x x y y =-⎧⎨=+⎩''
所以1,
2,
x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2
2
12143x y '+-
+='.所以新椭圆的方程为2
2
(1)(2)143x y +-+=.
（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,
sin ,sin ,
x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=
时，,
22,
22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式
.设将2
2
143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π
4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.
则,2222
,22x x y y x y ⎧=
-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''
得()(),
22
,
2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎩'所以()()2
2
186x y y x '-'+'+='，即22
727240x x y y -+'-='''.
所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.
（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π
4α=.
先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''
，此时()(),2
2
,
2x x y y y x ⎪'''⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()(
)
)()22221
1
120
2222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''
化简得221
3
202222x y x y +++-=''''.
利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.
把点(),P x y '''
向右平移2
，向上平移2，得到点(),P x y ''''''
，则,
2,
2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩
所以22
132022222222x y x y ⎛
⎫⎛-+-+
-
+
-
-
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22
162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.
所以点(),P x y 的轨迹是椭。