八年级数学第十五章15
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
第2课时分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1分式乘除混合运算
典例1化简:.
[解析]原式=-=-.
探究点2分式混合运算
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典例2先化简,再求值:,其中x=5.
[解析]原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3化简求值
典例3先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析]由不等式组可解得-1<x≤2.
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
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人教版数学八年级上册《第十五课时第15章 数学活动》教学设计
人教版数学八年级上册《第十五课时第15章数学活动》教学设计一. 教材分析《数学活动》是人教版八年级上册第15章的内容，本节课主要让学生通过实践活动，运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的动手操作能力、合作交流能力和解决问题的能力。
教材中安排了丰富的活动内容，包括调查统计、几何图形的制作和变换、数学问题的探究等，这些内容既能巩固学生所学的数学知识，又能激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的认识和理解。
但不同学生的数学基础和学习能力存在差异，因此在教学过程中要关注全体学生，尽量让每个学生都能参与到活动中来。
此外，学生在之前的学习中可能更多地注重理论知识的掌握，对于实践活动的参与度和操作能力可能有所欠缺，因此在教学过程中要注重培养学生的动手操作能力和实际问题解决能力。
三. 教学目标1.让学生通过数学活动，巩固和应用所学的数学知识。
2.培养学生的动手操作能力、合作交流能力和解决问题的能力。
3.提高学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：让学生通过实践活动，运用所学的数学知识解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将所学的数学知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用小组合作的学习方式，让学生在活动中互相交流、互相学习。
2.教师引导学生参与活动，给予学生必要的帮助和指导。
3.通过举例、讲解等方法，让学生理解和掌握活动的目的和意义。
4.以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力和实际问题解决能力。
六. 教学准备1.教师准备活动所需的材料和工具，如几何图形的模板、测量工具等。
2.学生准备笔记本、笔等记录工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题引导学生进入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师向学生介绍本节课的活动内容，包括调查统计、几何图形的制作和变换、数学问题的探究等，让学生明确本节课的学习目标。
冀教版数学八年级上：第十五章 二次根式第十五章 二次根式
第十五章二次根式1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简.3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.1.借助二次根式的化简与运算,提高运算能力.2.能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则.3.能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解“从特殊到一般”,再“从一般到特殊”的探究事物规律的方法.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.引导学生适时地运用“逆向思维”和“类比思维”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.(1)在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.【重点】1.二次根式的加减运算.2.二次根式的乘除运算.【难点】二次根式的化简与计算.1.注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义.2.鼓励学生探索与交流.教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件;再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系.在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系.二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用.15.1二次根式1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解,()2,(其中a≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念与性质.【难点】二次根式基本性质的灵活应用.第课时1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念和简单性质.【难点】二次根式的简单性质.【教师准备】课件1~7.【学生准备】复习平方根与算术平方根的知识.导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】填空.(1)的平方根是;(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是;(3)若正方形的面积为a-4,则边长为.学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察,总结共同特征并表述意见.[设计意图]唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是.2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)[设计意图]让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a≥0)还有一个名字,你知道吗?[设计意图]通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.活动一:二次根式的概念思路一【课件2】(教材第90页一起探究)1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1),,,. (2),,-.2.解:,.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,-,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展](1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.[设计意图]让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.【课件3】判断下列各式是二次根式吗?;②6;-;-(m≤0);x,y异号);;+1;.学生快速回答,共同分析.[设计意图]通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式) 概念深化:提问:+1是不是二次根式?呢?议一议:二次根式表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号;(2)被开方数不能小于0.[设计意图]通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.活动二:二次根式的简单性质思路一【课件4】(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】做一做:=;=;=;=;=.教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?学生讨论得出,一般地,a(a≥0).【课件6】(教材第91页做一做)化简.(1)()2;(2);(3);(4).教师指名回答,公布答案.解:(1)()2=3. (2). (3)=5. (4).思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).1.性质1:()2=a(a≥0).(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时, a.[设计意图]通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:=a(a≥0).(1)提问:等于什么?(2)举例:=2;-=2;=3;-=3……(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.(4)归纳:-3.比较()2和的区别.学生讨论,回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.[知识拓展]理解()2和时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.[设计意图]通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】化简.(1);(2).〔解析〕0.04=0.22,,可以利用a(a≥0)化简.解:(1)=0.2. (2)=12=1.[设计意图]尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.1.二次根式的定义一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.1.下列各式中,不是二次根式的是 ()A. B.- C. D.解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为-的被开方数小于零,故B错误.故选B.2.如果-是二次根式,那么a应满足()A.a≥0B.a≠3C.a=3D.a≥3解析:∵-是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.3.若a为实数,则化简()A.-aB.aC.a2D.|a|解析:∵当a<0时,=|a|=-a.当a≥0时,=|a|=a.故选D.4.下列四个等式:-=4;②(-)2=16;③()2=4;-=-4.其中正确的是()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:-=4,正确;②(-)2=4≠16,不正确;③()2=4,符合二次根式的意义,正确;-=4≠-4,不正确.①③正确.故选D.5.如果-=2-x,那么x的取值范围是()A.x≤2B.x<2C.x≥2D.x>2解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故选A.6.计算--的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:--=-=-3.故选A.7.探究发现.(1)完成下列填空:=,=,-=,④-=.(2)利用(1)中发现的规律计算:①若x>2,则-=;-=.解析:根据-即可得解.答案:(1)①3②0.5③6(2)①x-2②π-3.148.当x取何值时,下列各式为二次根式?(1)-;(2)--.解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时,-是二次根式.(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时,--是二次根式.9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?,-,,-,(a≥0),.解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指数是3,故不是二次根式;-的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式.10.根据材料回答问题.x为何值时,-有意义?解:根据题意得x(x-1)≥0,由乘法法则得-或-解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时,- 有意义.体会解题思想后,求当x为何值时,-有意义.解析:根据题目信息进行解答.解:要使-有意义,则-≥0,所以-或-解得x≥2或x<-,即当x≥2或x<-时,-有意义.11.已知y=---3,求(x+y)4的值.解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.解:∵-与-有意义,∴--解得x=2,∴y=-3,∴(2-3)4=1.第1课时活动一:二次根式的概念活动二:二次根式的简单性质活动三:例题讲解例题一、教材作业【必做题】1.教材第91页练习.2.教材第92页习题A组第1,2题.【选做题】教材第92页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.化简,正确的结果是 ()A.±72B.72C.432D.以上答案都不是2.下列各式中不是二次根式的是 ()A. B.-C. D.-3.下列各式:;;;-;.其中二次根式的个数有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知是二次根式,则a的值可能是()A.-2B.-1C.2D.-75.要使二次根式-有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤6.要使代数式-有意义,则x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是【能力提升】7.实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则+a的化简结果为()A.2a+bB.-bC.bD.2a-b8.下列各式哪些一定是二次根式?(1);(2);(3)-;(4)-;(5)-.9.当x是怎样的实数时,下列各式有意义?(1)-;(2) --;(3)(4) -;(5)-;(6)-.【拓展探究】10.化简--.11.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简+2---.【答案与解析】1.B(解析:=72.故选B.)2.B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而-的被开方数是负数,所以不是二次根式.故选B.)3.B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故选B.)4.C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确.故选C.)5.B(解析:依题意得3-2x≥0,解得x≤.故选B.)6.A(解析:∵代数式-有意义,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值为.故选A.)7.B(解析:由数轴可知b<0<a,|b|>|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故选B.)8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式. (2)∵a2≥0,∴是二次根式. (3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时,-才是二次根式,故不一定是二次根式. (4)当a-2≥0时是二次根式,当a-2<0时不是二次根式,即当a≥2时是二次根式,当a<2时不是二次根式,故不一定是二次根式. (5)当x-y≥0时是二次根式,当x-y<0时不是二次根式,即当x≥y时是二次根式,当x<y时不是二次根式,故不一定是二次根式.>0,解得x<. (3)x2≥0,x取全体实数. (4)-1≥0,解得x≥3. (5)(x-2)2≥0,x 9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤. (2)--取全体实数. (6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4.10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a;②当3≤a≤7时,原式=4;③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10.11.解:由数轴可知-2<a<-1,1<b<2,b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程,体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程.1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促.2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺.3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流.1.在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设.2.在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习.练习(教材第91页)解:(1)2. (2)0.04. (3)0.8. (4).习题(教材第92页)A组1.解:(1). (2)11. (3)15.2.解:(1). (2)169. (3).B组1.解:设镜框的宽为2x cm,则长为3x cm.由题意得3x·2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:镜框的宽为10cm.2.解:设大正方形的边长为x cm.由题意得x2=a2+b2,取正值解得x=.当a=3,b=4时,x=5.答:大正方形的边长为5 cm.对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:(1)从形式上看,二次根式必须含“”.(2)二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数;若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数.也就是说当a≥0时,才是二次根式;当a<0时,无意义.对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数.为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可.先化简a+,然后再分别求出a=-2和a=3时,原代数式的值.解:a+=a+=a+|a+1|.当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.[解题归纳]本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值.已知a,b,c均为实数,且+a=0,=1,=c,化简----.〔解析〕首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定a+b,a-c,c-b的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解.解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,则a,b同号,∴a<0,b<0.∵c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0.∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b.[解题归纳]本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键.实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义?;(3)-.(1);(2)-〔解析〕根据二次根式有意义的条件进行解答.解:(1)若有意义,则3x+7≥0,解得x≥-.有意义,则2x-1>0,解得x>.(2)若-(3)若-有意义,则解得-1≤x≤2.-[解题归纳]本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于0.第课时1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质.2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简.3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质.2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦.【重点】1.积(商)的算术平方根的性质.2.最简二次根式的概念.【难点】能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.【教师准备】课件1~13.【学生准备】二次根式的简单性质.导入一:【课件1】一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?[设计意图]学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境.导入二:教师提问:【课件2】(1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件?(2)我们学过二次根式的哪些简单性质?学生回答.[设计意图]简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系.活动一:一起探究——二次根式的性质思路一探究点1:积的算术平方根问题1:【课件3】计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?(1)与(2).学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.问题2:【课件4】猜想:与有什么关系?组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以.问题3:【课件5】当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·2=()2·()2=a·b,所以·.引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).[知识拓展]积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).[设计意图]尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.探究点2:商的算术平方根问题1:【课件6】与是否相等?与呢?学生经过计算得出两个式子均相等.问题2:【课件7】对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.学生不难猜想得到(a≥0,b>0).引导学生根据刚才的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b>0时,,,所以.问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(a≥0,b>0)[设计意图]培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.思路二问题1:【课件8】计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.问题2:【课件9】根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.问题3:【课件10】猜想:(1)当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?(2)当a≥0,b>0时,和有什么关系?请你说明理由.引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.[设计意图]引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质.活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念【课件11】化简.(1);(2)(3);(4).〔解析〕(1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).【课件12】观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:(1)化简前,被开方数是怎样的数?(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?为什么?把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.出示“做一做”.【课件13】(教材第94页做一做)化简.(1);(2);(3);(4).解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).[设计意图]巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力.。
八年级数学上册第十五章 分式
第十五章 分式15．1 分式 15．1.1 从分数到分式教学目标1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是不是分式．2.能够确定一个分式有意义、无意义的条件．3.能用分式表示现实情境中的数量关系．预习反馈阅读教材P127～128，完成下面练习题： 1.式子s a ，v s 以及引言中的10020＋v ，6020－v有什么特点？它们与分数的相同点：形式相同都有分子和分母；不同点：分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母．总结：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母．2.下列各式中，是分式的有①②④⑦⑩．①2b －s ；②3 000300－a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7. 【点拨】 判断是不是分式主要看分母是不是含有字母．这是判断分式的唯一条件． 3.思考：1.分式AB中A ，B 满足什么条件时，分式有意义？答：当B ≠0时，分式AB有意义．4.当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？(1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2≠0，即x ≠－2时，分式3x ＋2才有意义．当x ＝－2时，分式3x ＋2无意义．(2)当3－2x ≠0，即x ≠32时，分式x ＋53－2x 才有意义．当x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．5.当分式AB＝0时，A ，B 应满足什么条件？答：当A ＝0且B ≠0时，分式AB 的值为零．6.当x 为何值时，分式的值为0?(1)x ＋75x ；(2)7x 21－3x.解：(1)x ＋7＝0且5x ≠0，即x ＝－7. (2)7x ＝0且21－3x ≠0，即x ＝0.名校讲坛知识点1 列式表示例1 (教材补充例题)列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x 个零件，他做80个零件需________小时；(2)轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是________千米/时，轮船的逆流速度是________千米/时；(3)x 与y 的差除以4的商是________．解：(1)80x ；分式．(2)a ＋b ，a －b ；整式．(3)x －y4；整式．【跟踪训练1】 对于单项式“5x ”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x 千克，共付款5x 元．请你对分式“3y ”给出一个实际生活方面的合理解释：答案不唯一，如：香蕉每千克y 元，某人付了3元钱，他可以买到3y千克香蕉． 知识点2 分式有意义的条件例2 (教材P128例1)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ； (2)x x －1； (3)15－3b ； (4)x ＋y x －y . 解：(1)要使分式23x 有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0.(2)要使分式xx －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1.(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53.(4)要使分式x ＋yx －y有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y.例3 (教材P128例1变式)当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)2x －5x 2－4；(2)x 2－1x 2－x.解：(1)有意义：x 2－4≠0，即x ≠±2；无意义：x 2－4＝0，即x ＝±2； 值为0：2x －5＝0且x 2－4≠0，即x ＝52.(2)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1；无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1；值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【点拨】 分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的． 【跟踪训练2】 已知分式x －b2x ＋a，当x ＝2时，分式的值为零；当x ＝－2时，分式没有意义，求a ＋b 的值．解：因为分式的值为零，即x －b ＝0，所以b ＝x ＝2. 因为分式无意义，即2x ＋a ＝0，所以a ＝－2x ＝4. 所以a ＋b ＝6.巩固训练1.下列各式中，是分式的有①③．①4x ；②a 4；③1x －y ；④3x 4；⑤12x 2. 2.分式x 2＋13x －2有意义的条件是x ≠23．3.分式|x|－1x 2－x的值为0的条件是x ＝－1．课堂小结1.分式的定义及根据条件列分式．2.分式有意义的条件.15.1.2 分式的基本性质教学目标1.理解并掌握分式的基本性质．2.能运用分式的基本性质约分和通分．预习反馈阅读教材P129～132，完成下面的练习题：1.分数的基本性质：分数的分子与分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．2.类比分数的基本性质得到：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．3.用式子表示分式的基本性质：A B ＝A ·M B ·M ；A B ＝A ÷MB ÷M (其中M 是不等于零的整式)．4.判断下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？ (1)a a －b 与a （a ＋b ）a 2－b 2； (2)x 3y 与x （x 2＋1）3y （x 2＋1）. 解：(1)不能判定．因为不能判定a ＋b ≠0.(2)能判定．因为分式本身y ≠0，并且无论x 为何值，x 2＋1永远大于0. 5.填空，使等式成立：(1)34y ＝（ ）4y （x ＋y ）(其中x ＋y ≠0)； (2)y ＋2y 2－4＝1（ ）. 解：(1)3(x ＋y)． (2)y －2.【点拨】 在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形． 6.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 7.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．8.根据分式的基本性质，把n 个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．名校讲坛知识点1 分式的基本性质 例1 (教材P129例2)填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b (b ≠0)． 解：(1)x 2；2x.(2)a ；2ab －b 2.【跟踪训练1】 (1)下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y. 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x2y.(2)想一想：为什么(1)给出c ≠0；而(2)没有给出x ≠0?解：因为(1)等号左边的分母没有出现c ，所以要明确c ≠0；而(2)等号左边的分式中分母已经出现x ，如果x ＝0，那么给出的分式没有意义．【点拨】 应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用． 【跟踪训练2】 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号．(1)－x 5y ；(2)－3a －7b ；(3)－10m －3n.解：(1)－x 5y ＝－x 5y .(2)－3a －7b ＝3a 7b .(3)－10m －3n ＝10m 3n .知识点2 约分例2 (教材P131例3)约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y.【点拨】 先约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac23b . (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3. (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y)．思考：如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？【跟踪训练3】 约分：(1)－3a 3a 4；(2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）；(3)x 2－1x 2－2x ＋1.解：(1)－3a 3a 4＝－3a.(2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）＝4a 2（x －y ）9.(3)x 2－1x 2－2x ＋1＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1x －1. 【点拨】 约分的过程中注意完全平方式(a －b)2＝(b －a)2的应用．像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分．知识点3 通分例3 (教材P132例4)通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 【点拨】 为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c.32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c. a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x ＋5)(x －5)． 2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10xx 2－25. 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15xx 2－25. 【跟踪训练4】 通分：(1)x 3y 与3x 2y 2； (2)x －y 2x ＋2y 与xy （x ＋y ）2； (3)2mn 4m 2－9与2m －32m ＋3. 解：(1)x 3y ＝2xy 6y 2，3x 2y 2＝9x6y2.(2)x －y 2x ＋2y ＝x 2－y 22（x ＋y ）2，xy （x ＋y ）2＝2xy 2（x ＋y ）2. (3)2mn 4m 2－9＝2mn 4m 2－9，2m －32m ＋3＝（2m －3）24m 2－9. 巩固训练1.不改变分式的值，将x2－x 变形，可得(C) A ．－x x ＋2B.xx －2C ．－xx －2D.x x ＋22.约分：(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）； (2)x 2y ＋xy 22xy ； (3)m 2－3m 9－m 2.解：(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）＝3（a ＋b ）5.(2)x 2y ＋xy 22xy ＝xy （x ＋y ）2xy ＝x ＋y2.(3)m 2－3m 9－m 2＝m （m －3）（3＋m ）（3－m ）＝－m m ＋3. 3.通分：(1)16ab 2，19a 2bc ； (2)a －1a 2＋2a ＋1，6a 2－1. 解：(1)16ab 2＝3ac 18a 2b 2c ；19a 2bc ＝2b 18a 2b 2c. (2)a －1a 2＋2a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）2（a －1）；6a 2－1＝6a ＋6（a ＋1）2（a －1）.课堂小结1.分数的基本性质．2.通分和约分.15.2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除教学目标1.理解分式乘除法的法则．2.会进行分式乘除运算．预习反馈阅读教材P135～137，完成下面练习题： 1.复习回顾：(1)23×45＝2×43×5＝815.(2)57×29＝5×27×9＝1063. (3)23÷45＝23×54＝2×53×4＝1012＝56. (4)57÷29＝57×92＝5×97×2＝4514. 分数的乘除运算法则：1．两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． 2．两个分数相除，把除数的分子、分母颠倒位置后，再与被除数相乘． 3．类比分数的乘除运算法则，总结出分式的乘除运算法则：(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； (2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表达：a b ·c d ＝a ·c b ·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.名校讲坛知识点1 分式的乘除运算 例1 (教材P136例1)计算：(1)4x 3y ·y 2x 3； (2)ab 22c 2÷－5a 2b 24cd . 解：(1)原式＝4x ·y 3y ·2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x2.(2)原式＝ab 22c 2·4cd －5a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·5a 2b 2＝－2bd5ac . 【点拨】 运算结果应化为最简分式．【跟踪训练1】 计算：(1)3a 4b ·16b 9a 2； (2)12xy 5a ÷8x 2y ； (3)－3xy ÷2y 23x . 解：(1)原式＝3a ·16b 4b ·9a 2＝43a .(2)原式＝12xy 5a ·18x 2y ＝12xy 5a ·8x 2y ＝310ax . (3)原式＝－3xy ·3x 2y 2＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x22y. 【点拨】 整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．注意变换过程中的符号．例2 (教材P136例2)计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 解：(1)原式＝（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2） ＝（a －2）2（a －1）（a －1）2（a －2）（a ＋2） ＝a －2（a －1）（a ＋2）.(2)原式＝149－m 2·m 2－7m1 ＝1（7＋m ）（7－m ）·m （m －7）1＝m （m －7）（7＋m ）（7－m ）＝－m 7＋m.【跟踪训练2】 计算：x 2－4x 2－4x ＋3÷x 2＋3x ＋2x 2－x. 解：原式＝x 2－4x 2－4x ＋3·x 2－xx 2＋3x ＋2＝（x ＋2）（x －2）（x －3）（x －1）·x （x －1）（x ＋1）（x ＋2）＝x （x －2）（x －3）（x ＋1）＝x 2－2x x 2－2x －3. 知识点2 分式的乘除的实际应用 例3 (教材P136例3)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a 2－1)m 2，单位面积产量是500a 2－1 kg/m 2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a －1)2m 2，单位面积产量是500（a －1）2 kg/m 2.∵a>1.∴(a －1)2>0，a 2－1>0.由图可得(a －1)2<a 2－1. ∴500a 2－1<500（a －1）2. 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝（a ＋1）（a －1）（a －1）2＝a ＋1a －1. 所以，“丰收2号”小麦的试验田面积是(a －1)2m 2，单位面积产量是500（a －1）2 kg/m 2.∵a>1.∴(a －1)2>0，a 2－1>0.由图可得(a －1)2<a 2－1. ∴500a 2－1<500（a －1）2. 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．【跟踪训练3】 写出教材P135第15.2.1节中问题1和问题2的计算结果．解：问题1：V ab ·m n ＝Vmabn.问题2：a m ÷b n ＝a m ·n b ＝anbm.巩固训练1．下列计算对吗？若不对，要怎样改正？(1)b a ·a b ＝1；(2)ba ÷a ＝b ； (3)－x 2b ·6b x 2＝3b x ；(4)4x 3a ÷a 2x ＝23.解：(1)对．(2)错．正确的是b a 2.(3)错．正确的是－3x .(4)错．正确的是8x23a2.2．计算：2x ＋64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x. 解：原式＝2x ＋64－4x ＋x 2·1x ＋3·x 2＋x －6－（x －3） ＝2（x ＋3）（x －2）2·1x ＋3·（x ＋3）（x －2）－（x －3）＝－2（x ＋3）（x －2）（x －3）.【点拨】 分式的乘除要严格按照法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式．运算过程一定要注意符号． 3．先化简，再求值：x －2x ＋3·x 2－9x 2－4x ＋4，其中x ＝6.解：原式＝x －2x ＋3·（x ＋3）（x －3）（x －2）2＝x －3x －2. 当x ＝6时，原式＝34.课堂小结1．分式的乘除运算法则．2．分式的乘除法法则的运用．第2课时 分式的乘方及乘除混合运算教学目标1．理解分式乘方的运算法则．2．熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算．预习反馈阅读教材P138～139例5，完成下面的练习题： 1．回顾幂的运算法则：(1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)a m ÷a n ＝a m －n；(3)(a m )n ＝a mn ； (4)(ab)n ＝a n b n． 2．计算：(a b )2；(a b )3；(a b)10.解：(a b )2＝a b ·a b ＝a ·a b ·b ＝a2b 2.同理(a b )3＝a 3b 3；(a b )10＝a 10b10.3．类比上面的例题归纳：(a b )n ＝a b ·a b …·a b ＝a ·a …·a b ·b …·b ＝anb ．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．4．判断下列各式是否成立，并将错误的改正．(1)(b 32a )2＝b 52a 2；(2)(－3b 2a )2＝－9b 24a 2；(3)(2y －3x )3＝8y 39x 3；(4)(3a x －b )2＝9a 2x 2－b 2.解：(1)错．正解：(b 32a )2＝（b 3）2（2a ）2＝b 64a 2.(2)错．正解：(－3b 2a )2＝（－3b ）2（2a ）2＝9b24a 2.(3)错．正解：(2y －3x )3＝（2y ）3（－3x ）3＝－8y327x 3.(4)错．正解：(3a x －b )2＝（3a ）2（x －b ）2＝9a2x 2－2bx ＋b2.【点拨】 做乘方运算要先确定符号并正确运用幂的运算法则．名校讲坛知识点1 分式的乘除混合运算例1 (教材P138例4)计算：2x 5x －3÷325x 2－9·x5x ＋3. 解：原式＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3＝2x23.【点拨】 乘除混合运算可以统一为乘法运算．【跟踪训练1】 计算：(1)2m 2n 3pq 2·5p 2q 4mn 2÷5mnp 3q ；(2)16－a 2a 2＋8a ＋16÷a －42a ＋8·a －2a ＋2. 解：(1)原式＝2m 2n 3pq 2·5p 2q 4mn 2·3q 5mnp ＝12n 2.(2)原式＝（4＋a ）（4－a ）（a ＋4）2·2（a ＋4）a －4·a －2a ＋2＝－2（a －2）a ＋2. 知识点2 分式的乘方例2 (教材P139例5)计算：(1)(－2a 2b 3c )2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 29c2. (2)原式＝（a 2b ）3（－cd 3）3·d 32a ·c 2（2a ）2＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b38cd6. 【点拨】 分式的混合运算的顺序与数的混合运算一样，先乘方，再乘除． 【跟踪训练2】 计算：(a －1a ＋3)2÷(a －1)·9－a2a －1.解：原式＝（a －1）2（a ＋3）2·1a －1·（3＋a ）（3－a ）a －1＝3－aa ＋3. 【点拨】 复杂的分式混合运算，要注意：①能分解因式的就先分解因式；②化除法为乘法；③分式的乘方；④约分化简成最简分式．巩固训练1．计算：(1)(－2x 4y 23z)3；(2)a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷(a －b a ＋b )2； (3)(2ab 3－c 2d )2÷6a 4b 3·(－3c b2)3.解：(1)原式＝（－2x 4y 2）3（3z ）3＝－8x 12y 627z3.(2)原式＝（a ＋b ）（a －b ）（a ＋b ）2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝a ＋ba －b . (3)原式＝4a 2b 6c 4d 2·b 36a 4·－27c 3b 6＝－18b3a 2cd2.2．化简求值：2ab 2a ＋b ÷ab 3a 2－b 2·[12（a －b ）]2，其中a ＝－2，b ＝3.解：原式＝12b （a －b ）；求值结果：－130.3．化简求值：b 2a 2－ab ÷(b a －b )2·a 2b a －b ，其中a ＝12，b ＝－3.解：原式＝ab ；求值结果：－32.课堂小结1．分式乘方的运算．2．分式乘除法及乘方的运算方法．15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减教学目标1．熟练地进行同分母的分式加减法的运算．2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．预习反馈阅读教材P139～140，完成下面的练习题： 1．观察思考：(1)15＋25＝35；(2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56；(4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减． 异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减． 2．类比分数的加减，分式的加减法则如下：(1)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为：a c ＋b c ＝a ＋b c ；a c －b c ＝a －bc．(2)异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用字母表示为：a b ＋c d ＝ad ＋bc bd ；a b —c d ＝ad －bcbd ．3．(1)y x ＋2x ＝y ＋2x；(2)5y －a y ＝5－a y ； (3)a x ＋b y ＝ay ＋bx xy ； (4)2x 3m －x 2n ＝4xn －3mx 6mn． 名校讲坛例1 (1)课本问题3中的1n ＋1n ＋3＝2n ＋3n （n ＋3）．(2)课本问题4中的S 3－S 2S 2－S 2－S 1S 1＝（S 3－S 2）S 1－（S 2－S 1）S 2S 2S 1．例2 (教材P140例6)计算： (1)5x ＋3y x 2－y 2－2xx 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q. 解：(1)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3x －y. (2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p4p 2－9q2.【点拨】 1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．【跟踪训练】 计算：(1)a b ＋1＋2a b ＋1－3ab ＋1；(2)12c 2d ＋13cd 2； (3)a a 2－b 2－1a ＋b. 解：(1)原式＝a ＋2a －3ab ＋1＝0.(2)原式＝3d 6c 2d 2＋2c 6c 2d 2＝3d ＋2c6c 2d2.(3)原式＝a （a ＋b ）（a －b ）－a －b （a ＋b ）（a －b ）＝ba 2－b2.巩固训练1．计算：(1)x ＋1x －1x ；(2)32m －n －2m －n（2m －n ）2.解：(1)原式＝x ＋1－1x ＝1.(2)原式＝32m －n －12m －n ＝22m －n .2．阅读下面题目的运算过程：x －3x 2－1－21＋x ＝x －3（x ＋1）（x －1）－2（x －1）（x ＋1）（x －1）……① ＝x －3－2(x ＋1)……② ＝x －3－2x ＋2……③ ＝－x －1……④上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号②； (1)错误的原因是漏掉了分母； (2)请写出正确的计算过程．解：原式＝x －3（x ＋1）（x －1）－2（x －1）（x ＋1）（x －1）＝－（x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－1x －1.课堂小结1．分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误．3．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．第2课时 分式的混合运算教学目标1．灵活应用分式的加减法法则． 2．会进行分式加减乘除混合运算．预习反馈阅读教材P141“例7、例8”，完成下面的练习题：1．分数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减．类比分数的混合运算法则你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试． 分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减． 2．计算：(1)1－3x 2y ÷3x 2y ·2y 3x ；(2)1＋1a －1－2a ＋1a 2＋a －2； (3)(－a b )2÷(2a 5b ＋a25b)．解：(1)原式＝1－3x 2y ·2y 3x ·2y 3x ＝1－2y 3x ＝3x －2y 3x.(2)原式＝1＋1a －1－2a ＋1（a －1）（a ＋2）＝a 2＋a －2（a －1）（a ＋2）＋a ＋2（a －1）（a ＋2）－2a ＋1（a －1）（a ＋2）＝a 2－1（a －1）（a ＋2）＝（a ＋1）（a －1）（a －1）（a ＋2）＝a ＋1a ＋2.(3)原式＝a 2b 2÷2a ＋a 25b ＝a 2b 2·5b 2a ＋a 2＝5a（a ＋2）b. 【点拨】 严格按照计算顺序计算，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．名校讲坛例1 (教材P141例7)计算：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b ＝4a 2b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ）＝4a 2－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4abb 2（a －b ）＝4a ab －b2. 例2 (教材P141例8)计算：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m ；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x.解：(1)原式＝（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2（m －2）3－m ＝（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）3－m＝－2(m ＋3)＝－2m －6.(2)原式＝[x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2]·xx －4 ＝（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x（x －2）2（x －4）＝1（x －2）2.【跟踪训练】 计算：(1)(x 2y )2·y 2x －x y 2÷2y 2x；(2)x ＋1x ·(2x x ＋1)2－(1x －1－1x ＋1)．解：(1)原式＝x 24y 2·y 2x －x y 2·x 2y 2＝x 8y －x 22y 4 ＝xy 38y 4－4x 28y4＝xy 3－4x 28y4. (2)原式＝x ＋1x ·4x 2（x ＋1）2－[x ＋1（x ＋1）（x －1）－x －1（x ＋1）（x －1）] ＝4x x ＋1－2（x ＋1）（x －1）＝4x （x －1）（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x －1）＝4x 2－4x －2（x ＋1）（x －1）. 巩固训练1．计算：(1)(1＋1m ＋1)·m 2＋mm 2－4；(2)x 2x 2＋2x ＋1÷(1－1x ＋1)； (3)x ＋y ＋x 2＋y 2x －y.解：(1)原式＝m ＋2m ＋1·m （m ＋1）（m ＋2）（m －2）＝mm －2.(2)原式＝x 2（x ＋1）2÷x x ＋1＝x 2（x ＋1）2·x ＋1x ＝xx ＋1. (3)原式＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＋x 2＋y2x －y＝x 2－y 2＋x 2＋y2x －y＝2x 2x －y. 2．先化简，再求值：x －y x ＋2y ÷x 2－y2x 2＋4xy ＋4y2－2，其中x ＝2.25，y ＝－2.解：原式＝x －y x ＋2y ÷（x ＋y ）（x －y ）（x ＋2y ）2－2＝x －y x ＋2y ·（x ＋2y ）2（x ＋y ）（x －y ）－2 ＝x ＋2y x ＋y －2（x ＋y ）x ＋y＝－x x ＋y.当x ＝2.25，y ＝－2时，原式＝－ 2.252.25－2＝－9.【点拨】 在运算过程中，要注意： (1)分式乘方不要漏乘； (2)加减计算要注意符号；(3)和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算； (4)化简求值，一定要换成最简分式再求值．课堂小结1．“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减．在这里要注意分数线的作用． 2．注意分式和分数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 3．运算结果，能约分的要约分，要化成最简分式．15．2.3 整数指数幂 第1课时 负整数指数幂教学目标1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．预习反馈阅读教材P142～144，理解整数指数幂的运算性质，并完成下列预习内容． 1．正整数指数幂的运算有：(a ≠0，m ，n 为正整数，m>n)(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(ab)n ＝a n b n ；(4)a m ÷a n ＝a m －n； (5)(a b )n ＝a nbn ；(6)a 0＝1．2．负整数指数幂有：a －n＝1a (n 是正整数，a ≠0)．3．填空：(1)32＝9，30＝1，3－2＝19；(2)(－3)2＝9，(－3)0＝1，(－3)－2＝19；(3)b 2＝b 2，b 0＝1，b －2＝1b ≠0)．4．填空：(1)a 3·a －5＝a －2＝1a ；(2)a －3·a －5＝a －8＝1a；(3)a 0·a －5＝a －5＝1a ；(4)a m ·a n ＝a m ＋n(m ，n 为任意整数)．【点拨】 a m·a n＝a m ＋n这条性质对于m ，n 是任意整数的情形仍然适用；同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算．名校讲坛例1 (教材P144例9)计算：(1)a －2÷a 5；(2)(b 3a2)－2；(3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3.解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7.(2)(b 3a 2)－2＝（b 3）－2（a 2）－2＝b －6a －4＝a 4b 6.(3)(a －1b 2)3＝(a －1)3(b 2)3＝a －3b 6＝b 6a3.(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·(a 2)－3(b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b8a8.【跟踪训练1】 (教材P145练习T2)计算：(1)x 2y －3(x －1y)3；(2)(2ab 2c －3)－2÷(a －2b)3. 解：(1)1x . (2)14a 4b －7c 6.例2 下列等式是否正确？为什么？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n；(2)(a b)n ＝a n b －n.解：(1)正确．理由：a m÷a n＝am －n＝am ＋(－n)＝a m ·a －n.(2)正确．理由：(a b )n ＝a n b n ＝a n ·1bn ＝a n b －n.【跟踪训练2】 (《名校课堂》15.2.3第1课时习题)计算：(1)6x －2·(2x －2y －1)－3；(2)(－2a －2)3b 2÷2a －8b －3.解：(1)原式＝6x －2·2－3x 6y 3＝68x 4y 3＝34x 4y 3.(2)原式＝－23a －6b 2÷2a －8b －3＝－4a 2b 5.巩固训练1．计算(－12)－1的结果是(D)A ．－12B.12C ．2D ．－22．下列运算正确的是(A)A.4＝2 B ．(－2)2＝－4C ．10－3＝－30D ．20＝03．计算：(13)－2＋(2－π)0＝10．4．计算：(1)(－a 2b)2·(－a 2b 3)3÷(－ab 4)5；(2)(x 3)2÷(x 2)4·x 0；(3)(－1.8x 4y 2z 3)÷(－0.2x 2y 4z)÷(－13xyz)．解：(1)原式＝a 4b 2·(－a 6b 9)÷(－a 5b 20)＝a 5b －9＝a5b9.(2)原式＝x 6÷x 8·x 0＝x －2＝1x 2.(3)原式＝－(1.8÷0.2×3)·x4－2－1·y2－4－1·z3－1－1＝－27xy －3z ＝－27xz y3.5．已知：10m ＝5，10n ＝4.求102m －3n的值．解：102m －3n＝102m ·10－3n＝（10m）2（10n ）3＝5243＝2564. 课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数教学目标理解负整数指数幂在科学记数法中的应用，会用科学记数法表示绝对值小于1的数．预习反馈阅读教材P145页，理解负整数指数幂在科学记数法中的应用，并完成下列预习内容． 1．填空：(1)绝对值大于10的数记成a ×10n的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示：2 000＝2.0×103；33 000＝3.3×104；864 000＝8.64×105．2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，将它们表示成a ×10－n 的形式．(其中n 是正整数，1≤|a|＜10)，如：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.003 3＝3.3×10－3．【点拨】 当绝对值较小的数用科学记数法表示为a ×10－n时，a 的取值一样为1≤︱a ︱＜10；n 是正整数，n 等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数(包括小数点前面的0)．3．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 607 5＝6.075×10－4；(2)－0.309 90＝－3.099×10－1；(3)－0.006 07＝－6.07×10－3．名校讲坛例1 用科学记数法表示下列各数：(1)0.3； (2)－0.000 78； (3)0.000 020 09.解：(1)0.3＝3×10－1.(2)－0.000 78＝－7.8×10－4.(3)0.000 020 09＝2.009×10－5.【跟踪训练1】 用科学记数法表示下列各数： (1)0.000 01； (2)0.001 2；(3)0.000 000 345； (4)0.000 000 010 8.解：(1)1×10－5.(2)1.2×10－3.(3)3.45×10－7.(4)1.08×10－8.例2 (教材P145例10)纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm ＝10－9 m ．把1 nm 3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm 3的空间可以放多少个1 nm 3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?解：1 mm ＝10－3 m ，1 nm ＝10－9m.(10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018.答：1 mm 3的空间可以放1018个1 nm 3的物体．【跟踪训练2】 (《名校课堂》15.2.3第2课时习题)已知一个正方体的棱长为2×10－2米，则这个正方体的体积为(B)A ．6×10－6立方米 B ．8×10－6立方米C ．2×10－6立方米D ．8×106立方米巩固训练1．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.000 004 32毫米．数据0.000 004 32用科学记数法表示为(B)A ．0.432×10－5B ．4.32×10－6C ．4.32×10－7D ．43.2×10－72．用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 326 7； (2)－0.001 1.解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3. 3．计算：(结果用科学记数法表示)(1)(3×10－5)×(5×10－3)；(2)(－1.8×10－10)÷(9×10－5)；(3)(2×10－3)－2×(－1.6×10－6)；解：(1)原式＝3×5×10－5×10－3＝1.5×10－7.(2)原式＝(－1.8÷9)×10－10÷10－5＝－2×10－6.(3)原式＝14×106×(－1.6)×10－6＝－4×10－1.课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．绝对值小于1的数如何用科学记数法表示？15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法教学目标1．理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和方法． 2．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程验根的方法． 3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．预习反馈阅读教材P149～151，完成预习内容． 1．填空：(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程． (2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x －22＝x 3；②4x ＋3y ＝7；③1x －2＝3x ；④x （x －1）x ＝－1；⑤3－x π＝x 2；⑥2x ＋x －15＝10；⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x＋3x ＝1.解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数；②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数． 【点拨】 判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数． 3．解方程：12x ＝2x ＋3.解：方程两边乘2x(x ＋3)，得x ＋3＝4x. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x(x ＋3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝1.名校讲坛例1 (教材P151例2)解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）.解：方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0， 因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．【点拨】 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，将分式方程转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出结果．【跟踪训练1】 解方程：2x －1＝4x 2－1. 解：方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得 2(x ＋1)＝4. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x ＋1)(x －1)＝0. ∴x ＝1不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解．例2 (教材补充例题)解方程：(1)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1； (2)5x 2＋x －1x 2－x＝0. 解：(1)方程两边乘3(x ＋1)，得 3x ＝2x ＋3(x ＋1) 解得x ＝－32.检验：当x ＝－32时，3(x ＋1)≠0.∴原分式方程的解为x ＝－32.(2)方程两边乘x(x ＋1)(x －1)，得 5(x －1)－(x ＋1)＝0. 解得x ＝32.检验：当x ＝32时，x(x ＋1)(x －1)≠0.∴原分式方程的解为x ＝32.【点拨】 方程中分母是多项式，要先分解因式，再找公分母．【跟踪训练2】 (《名校课堂》15.3第1课时习题)解方程：x x 2－4＋2x ＋2＝1x －2.解：方程两边乘(x ＋2)(x －2)，得 x ＋2(x －2)＝x ＋2.解得x ＝3. 经检验，x ＝3是原方程的解．例3 (教材拓展例题)解关于x 的方程：ax －a＋b ＝1(b ≠1)．解：方程两边乘(x －a)，得a ＋b(x －a)＝x －a. 解得x ＝ab －2ab －1.检验：当x ＝ab －2ab －1时，x －a ≠0.所以原分式方程的解是x ＝ab －2ab －1. 【点拨】 解含字母系数的分式方程，在验根时，一定要根据字母系数的范围，检验求得的解是否使最简公分母为零．【跟踪训练3】 解关于x 的方程：m x －nx ＋1＝0(m ≠n ≠0)．解：方程两边乘x(x ＋1)，得m(x ＋1)－nx ＝0. 解得x ＝－mm －n.检验：当x ＝－mm －n 时，x(x ＋1)≠0.所以原分式方程的解为x ＝－m m －n. 巩固训练1．若关于x 的方程2ax ＋3a －x ＝34的解为x ＝1，则a 等于(D)A ．1B ．－1C ．3D ．－32．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2－2； (2)x －3x －2＋1＝32－x ； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2. 解：(1)方程两边乘2x －2，得 2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76.检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以x ＝76是原方程的解．(2)方程两边乘x －2，得 x －3＋x －2＝－3.解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，x －2≠0. 所以x ＝1是原方程的解．(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．解得x ＝0. 检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0. 所以x ＝0是原方程的解．课堂小结解分式方程的思路第2课时 分式方程的实际应用教学目标能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题．预习反馈阅读教材P152～153，完成预习内容．重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖1x ；两台挖土机一天共挖18＋1x ；两台一天完成另一半．所以方程为18＋1x ＝12；解得x ＝83．经检验：x ＝83是原分式方程的解．答：乙单独挖需83天．【点拨】 认真分析题意，根据等量关系列方程．名校讲坛例1 (教材P152例3)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？【点拨】 (1)甲队1个月完成总工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的16，乙队半个月完成总工程的12x ，两队半个月完成总工程的16＋12x． (2)问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ (3)你能列出方程吗？解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得13＋16＋12x＝1. 方程两边同乘6x ，得2x ＋x ＋3＝6x.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，6x ≠0，所以x ＝1是原分式方程的解．由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快．【方法归纳】 类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母，化分式方程为整式方程；(4)解整式方程；(5)验根，并检验根是否符合实际意义；(6)作答．【跟踪训练1】 一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，根据题意，列方程得2x ＋xx ＋3＝1.解得x ＝6.检验：当x ＝6时，x(x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解． 答：规定日期是6天．例2 (教材变式例题)甲、乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？ 【点拨】路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x ＋0.5 18＋1×2x ＋0.5乙18x18x等量关系：t 甲＝t 乙．解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得 18＋1×2x ＋0.5＝18x.解得x ＝4.5.检验：当x ＝4.5时，x(x ＋0.5)≠0.所以x ＝4.5是原方程的解，则x ＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．【方法归纳】 等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．【跟踪训练2】 济南与北京两地相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4 h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．解：设普通快车的平均行驶速度为x km/h ，由题意，得480x －4803x＝4.解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解． ∴3x ＝240.答：高铁列车的平均行驶速度是240 km/h.巩固训练1．某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x 套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是(C)A.500x －500x ＋4＝12 B.500x －5－500x ＝12 C.500x －500x ＋12＝4 D.500x －4＋12＝500x2．某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A 类器材比B 类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B 类器材的数量相同，则B 类器材的单价为20元． 3．商场用50 000元从外地采购回一批T 恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T 恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T 恤衫．解：设第一次购进x 件T 恤衫，由题意得186 0003x －50 000x＝12. 解得x ＝1 000.经检验，x ＝1 000是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一次购进1 000件T 恤衫．4．A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，小汽车的速度为5x 千米/小时．根据题意，列方程，得135－2x ×52x ＝135－12×（5x ）5x.解得x ＝9. 经检验，x ＝9是原方程的解．则2x ＝18，5x ＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．课堂小结1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系． 3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系． 4．注意不要遗漏检验和作答．。
八年级数学上册 第十五章《分式》15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 15.2.1.1 分
15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除◇教学目标◇【知识与技能】理解并掌握分式的乘除法那么,运用法那么进展运算,能解决一些与分式有关的实际问题.【过程与方法】经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程,培养学生类比的探究能力,加深对从特殊到一般数学的思想认识.【情感、态度与价值观】通过让学生在自主探究,合作交流中渗透类比转化的思想,使学生感受探索的乐趣和成功的体验.◇教学重难点◇【教学重点】掌握分式的乘除运算.【教学难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.◇教学过程◇一、情境导入观察以下运算:.猜一猜=?=?二、合作探究探究点1分式的乘法典例1化简分式的结果是()A. B. C. D.[解析]进展分式乘除法运算时,先约分,再化简即可..[答案] B变式训练计算的结果是()A.-1B.0[解析]原式==1.[答案] C探究点2分式的除法典例2化简的结果是()A.a2B.C. D.[解析]先将分子因式分解,再将除法转化为乘法后约分即可.原式=.[答案] D变式训练计算:,其结果正确的选项是()A. B.C. D.[答案] D探究点3分式乘除混合运算典例3计算的结果是()A. B.-C. D.-[解析]先将除法转化为乘法,再根据分式的乘法法那么计算、约分即可.=-.[答案] B【技巧点拨】做分式乘除混合运算时,一般是先统一为乘法运算,所以分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,运算的最后结果是最简分式或整式.计算÷(y-x)·.[解析]÷(y-x)·.三、板书设计分式的乘除分式的乘除◇教学反思◇在分式的乘除法这一课的教学中,仍然采用类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法那么与分数的乘除法法那么类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法那么.学生反响较好,能根本上完整地讲出分式的乘除法法那么;要让学生明确分式乘除运算的结果是最简分式或整式,最后的结果是要化简的.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
最新人教版初中八年级上册数学【第十五章 第15章小结(1)】教学课件
a2 1 a 12 (a 1)
注意：分式 通分的依据 也是分式的 基本性质， 分式通分， 首先要找到 两个分式的 最简公分母。 两个分式的 最简公分母 就是两个分 式分母的最
小公倍式
练习1
1.如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
x 2.如果把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来
解：原式
(a1)(a1)
(a1)2
(a
1)
a1 a1
注意：这里(a 1)作
为整体时，添括号要 记得变号！
注意：在 a取 值时，要考虑 分母不为零！
由题意得a1 0,a1 0
(a(a(aa1111))(a(a1a)(1a)11aa))11aa11
a 2，a为非负整数
a 0时，原式=2.
(aa11)a(a12()aa1)1 a1 a1aa11 a1a1
a2.
谢谢观看
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
1
C.缩小为原来的 3
B.不变
1
D.缩小为原来的6
问题3 如何利用分式的加、减、乘、除的运算法 则例进4 行计算计算？
(1)( x )2 3x2 y ; 2y 2 x2
解：原式 x2 3x2 y 4y2 2 x2
(2)
2a a2
4
2
1 a
.
八年级—人教版—数学—第15章
分式的性质与运算复习小结
学习目标
1.理解分式、最简分式、最简公分母的概念.
2.熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准确熟练地进行分式 的运算.
问题1 当x是怎样的实数时，分式在实数范围内有意义？分式值何时为零？
八年级数学上册第十五章分式15
第2课时 分式方程的应用[学生用书P 119]1．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )A.600x ＋50＝450xB.600x －50＝450x C.600x ＝450x ＋50 D.600x ＝450x －502．A ，B 两地相距180 km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车的平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1 h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为( )A.180x －180（1＋50%）x ＝1B.180（1＋50%）x －180x ＝1C.180x －180（1－50%）x＝1 D.180（1－50%）x －180x＝13．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u (蜡烛到凸透镜中心的距离)、像距v (像到凸透镜中心的距离)和凸透镜的焦距f 满足关系1u ＋1v ＝1f，若u ＝24 cm ，v ＝8 cm ，则该凸透镜的焦距f ＝__ __．4．A ，B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A 型机器加工400个零件所用的时间与B 型机器加工300个零件所用的时间相同．求A 型机器每小时加工零件的个数．5．济宁市在“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天完成．求乙工程队单独完成这项工作需要多少天．6．为加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km 缩短至114 km ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km ，运行时间仅是现行时间的25，求建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间．7．“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少要施工多少天才能完成该项工程？参考答案【归类探究】例1排球的单价为50元，篮球的单价为80元．例2公司应选择甲工程队，付工程队费用 30 000 元．【当堂测评】1．D 2.B 3.60x＋8＝45x【分层作业】1．A 2.A 3.6 cm4．A型机器每小时加工零件80个．5．乙工程队单独完成这项工作需要80天．6．建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间为0.6 h. 7．(1)乙队单独施工需要30天完成．(2)乙队至少要施工18天才能完成该项工程．。
人教版八年级数学上册15.整数指数幂
an bn
（ b≠0 ，n是正整数）
（6）当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算）
分
析
am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
a5÷a3=a2
a3÷a5=？
a3÷a5=a3-5=a-2
a3÷a5=
a3 a5
=
a3 a3 • a2
1 a2
a 2
1 a2
n是正整数时, a-n属于分式。并且
计算：
(1)20 ;
例题
(2)
3 2
2
;
(3)0.013;
(4)(3a2 )3 a 0
(1)
43×4-8
=
43 48
=
1 45
=
1 1024
练一练
4 43+(-8) =
5
=
1 1024
(2)
(23)-2 =
82 =
1 82
=
1 64
2 23×(-2)= 6
=
1 26
=
1 64
(3)
(2×3)-3 = 2-3×3-3 =
提高题：
2.已知b 2 (a b 1)2 0，
求a51÷a8的值；
3.计算：xn+2·xn-2÷(x2)3n-3;
4.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n. 兴趣探索
5.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位 数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位 数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个 位数字是9；……那么，37的个位数字是 ______，320的个位数字是______。
an
1 an
2023八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质教案(新版)新人教版
- 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个数，分式的值也不变。
3. 分式的运算
- 加减法：XXX
- 乘除法：XXX
4. 分式的应用
- 实际问题：XXX
- 解题步骤：XXX
5. 总结
- 分式的概念和性质
- 分式的运算方法
- 分式的应用实例
2. 调整教学方法：采用多种教学方法，如案例教学、小组讨论、实验法等，提高学生的学习兴趣和参与度。
3. 多元化评价：采用多元化评价方式，如过程性评价、学生互评、自我评价等，全面了解学生的学习情况，促进学生的全面发展。
八、板书设计
1. 分式的概念
- 分子：XXX
- 分母：XXX
- 分式：XXX
2. 分式的基本性质
强调分式的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对分式知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决分式问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解分式的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习分式内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确分式教学目标和分式重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保分式教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习分式的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
人教版数学八年级上册《第十五课时第15章 数学活动》说课稿
人教版数学八年级上册《第十五课时第15章数学活动》说课稿一. 教材分析《数学活动》是人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书八年级上册第15章的内容。
这部分内容是在学生学习了平面几何、代数等基础知识后，对学生进行数学活动能力的培养，提高学生的数学应用能力和创新能力的环节。
本节课通过具体的数学活动，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何、代数等知识有一定的了解。
但学生在学习过程中，往往存在对数学应用能力的不足，对数学与生活实际联系的认识不够。
因此，在教学过程中，要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与数学活动，培养学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过数学活动，让学生了解数学与生活的紧密联系，提高学生的数学应用能力。
2.过程与方法目标：通过团队合作，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识，提高学生的综合素质。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生通过数学活动，感受数学与生活的联系，提高数学应用能力。
2.教学难点：如何引导学生将数学知识应用到实际生活中，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、团队协作法等，引导学生主动参与数学活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、实物模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个生活中的实际问题，引发学生对数学活动的兴趣，导入新课。
2.讲解与演示：教师通过讲解和演示，引导学生了解数学活动的基本方法和步骤。
3.分组活动：学生分组进行数学活动，教师巡回指导，解答学生疑问。
4.展示与交流：各小组展示活动成果，分享活动心得，其他小组进行评价。
5.总结与反思：教师引导学生总结活动中的优点和不足，进行反思。
人教版初中数学课标版八年级上册 第十五章 15.1 分式 教案
5x 7,
a b ,1 1 ,
3
a
3x2 1,
2, 4 , 3 .
7 5b c
x2 xy y2 , 2x 1
设置小试牛刀这一 环节，意在及时巩固刚 刚学会的新知识，进行 概念的辨析，能区分整 式与分式.
2.请你说出一个式子，让你的同桌判断是整式还是分式？
提炼方法 探究二
提炼方法
归纳小结：1、判断时，注意含有 的式子， 是常数.
学思想
学习效果.
教师引导 课堂小结
1、分式的概念； 2、分式有意义的条件； 3、分式值为零的条件； 4、数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊、转化 思想.
小结本节课所学知 识，引导学生建构自己 的学习框架，升华认识.
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布置作业
1、书本 P133 习题 15.1 1，2，3 2、《优化设计》课时作业
第1页/共8页
的变式将本节课的三个知识点串起来，让学生对这节课的知识框架有一个清晰的认识，注重配合充足的练习题巩固新 知，鼓励学生参与合作交流，培养学生良好的观察能力、归纳总结能力以及沟通表达能力. 五、教学重点及难点
重点：了解分式的概念，能识别整式、分式； 难点：会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义.
同时，让学生对所 列式子分类，有助于学 生理解分式与分数、分 式与整式的区别和联系.
子中含有分母；
生 2: 5 ， S 为一类，式子分母中不含有字母， S ， x2 4 为一类，
33
a x2
式子分母中含有字母.
5S 33
x2 4 S x2 a
形成概念
师：像第一个圈中的式子，我们称他们为整式，分母中都不含有字
通过给分式中的字 母赋值，让学生体会分 式比分数更具有一般 性，从分式到分数，体 现了从一般到特殊的应 用过程.同时让学生发现 分母为 0 的情况，通过 与分数类比，得出分式 有意义的条件，渗透类 比的数学思想.
八年级_数学上册_第十五章_整式的乘除_(知识点+例题)
八年级上册 第十五章 整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。
例1：计算（1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）23x 2y y x -⋅（）（2-）例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。
例4：计算（1）m 2a （）；（2）()43m ⎡⎤-⎣⎦；（3）3m 2a -（）3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：n n n ab a b ⋅（）=例5：计算（1）()()2332xx -⋅-；（2）()4xy -；（3）()3233a b -例6：已知a b 105,106==，求2a 3b 10+的值。
例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯4．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例8：计算（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
八年级上册第十五章-分式知识梳理
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
人教版初中数学课标版八年级上册 第十五章 15.1 分式 课件(共20张PPT)
问题2 一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江
以最大船速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流
航行60千米所用的时间相等，江水的流速是多少?
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7 ___cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
S
为__a____;
S
?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
200 __3_3 __cm;把体积为V的水倒入底面积为S
v 的圆柱形容器中,水面高度为___s ___;
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
例:已知分式
x2 4
，
x2
(1) 当x为何值时，分式有意义?
(2) 当x为何值时，分式无意义?
解:(1)当分母x+2≠0
(2)当分母x+2=0
即 x ≠ -2时
分式 x 2 4 有意义. x2
即 x = -2时
分式 x 2 4 无意义. x2
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
梳理
最新人教版初中八年级上册数学【第十五章 15.3分式方程(2)】教学课件
问题3 分式方程 m 1 0(m 0,且m 1) 中为何 x x1
限制参数m 的取值范围？
答：若m=0时,原分式方程变为
x
1 1
0
,此时方程无解.
若m=1时,原分式方程变为 1 1 0 ,转化为整式方程： x x 1
x 1 x 0, 此整式方程无解.
综上所述,要使得原分式方程有解,那么m 0,且m 1.
解得 x 6
检验：当x=-3时，x 3x 1 ≠0.
7
检验：当 x 6 时，6xx1 ≠0.
7
所以，原分式方程的解为x=-3. 所以，原分式方程的解为 x 6 .
7
课堂练习2
解方程：3x 3 1 3
x2 2 x
解：方程两边乘 x - 2 ,得
x - 3 x 2 3
4 3- 1 5
整式方程的解不一定是原分式方程的解，只有使原分式方 程的分母不等于0的解，才是原分式方程的解，故此需要进行 检验.
问题2：
1
10
分式方程 x 5 x2 25 的检验过程，是否一定要把整式方
程的解代入最简公分母？
答：检验方法有两种.第一种可将x=5分别代入分式方程左右两
边分别得：5
1
5
1 0
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2）=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
m1
例3 解方程
0(m 0,且m 1) x x1
解：方程两边乘x(x+1),得
mx+m－x=0
(m－1)x= -m
解得
x=- m m 1
检验：当 x = - m 时，x(x+1) ≠0.
2024_2025学年八年级数学上册第十五章二次根式15
15-2 二次根式的乘除运算一、单选题1．计算：28⨯的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16 2．假如是一个正整数，那么x可取的最小正整数值为（）A．2 B．4 C．3 D．12 3．下列各数中，与35的积是有理数的是（）A．3+5B．3－5C．5D．－3+5 4．2的倒数是（）A．﹣2B．2C．﹣22D．225．下列各数中，与的积为有理数的是（）A． B． C． D．6．按如图所示的程序计算,若起先输入的n值为3,则最终输出的结果是（）A18B．3C．6 D．417x3-xx3-xx的取值范围是（）A．x＜3 B．x≤3C．0≤x＜3 D．x≥0 8．下列各式错误的是（）A 164255=B273364C22249=D．16575-92a b a b=-）A．a＜0，b＞0 B．a≤0，b≥0 C．a≤0， b＞0 D．a，b为异号实数10．下列计算正确的是（）A ．25×35＝65B ．32×33＝36C ．42×23＝85D ．22×63＝12611．估计184⨯的运算结果应在（ ）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间12．把3424根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）A ．11B 11C ．44-D ．2111322x xx x =--x 取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．2x >C ．2x ≥D ．0x ≥二、填空题 1418272=_________．15．比较大小：3223（填“＞”或“＜”＝）．16．一个圆锥的底面积是6cm 2，高是3cm ，那么这个圆锥的体积是____．17．已知矩形的长为5cm 10cm ，则面积为______cm 2．18．已知2a =2b =a 与b 的关系是______.1925a b ==1000用含a,b 的代数式表示为__________ .三、解答题20．计算：（136221(7)；（3）35(210)-；（4）(524)(80)-⨯-；（521( 2.25)3-；（63156(22)43-21．已知长方体的长、宽、高分别为2cm 、3、6cm ．求这个长方体的体积。
新人教八年级上册第15章第十五数学活动
∴ ab cd
ab cd
当 a c 时： bd
更比式：a b cd
反比式：b d ac
合比式：a b c d ；a b c d
b
d
b
d
合分比式：a b c d (a b,c d) ab cd
随堂演练
1.已知 a c 1 ，则 b =__2__，
m4 4m
4
m4
左边=右边 ∴ m 8m 2
m4 4m
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
即 ab cd
b
d
问题4 请按照上述探究的过程，继续探究 下列两个分式是否也相等呢？你能进行证明吗？
a b c d (a b,c d) ？ ab cd
证明：∵ a b c d
b
d
∵ ab cd
b
d
∴ ab b
cd d
∴ ab b
cd d
d c
1
d
= 21
21
=3
3.已知
a b
c ，设
d
a b
c d
t ，则a=bt，c=dt，
则a
c
bt dt
b d
，∴
a c
b d
，b
a
b bt
1 t
，
d c
d dt
1 ，∴ b
t
a
d c
，这样就证明了
a c
b d
和 b d .试用此法完成 a b c d 及
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八年级数学第十五章15.4水平测试
一、选一选（每小题3分，共24分）
1.下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ）.
A.))((22y x y x y x -+=-
B.(x+2)(x+3)=652++x x
C.5)3(532++=++x x x x
D.2))((222+-+=+-n m n m n m
2.下列各式，分解因式正确的是（ ）.
A.222)(b a b a +=+
B.)(z y x x xz xy +=++
C.)11
(332+=+x x x x D.2
22)(2b a b ab a -=+- 3. 一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是（ ）。
A 、a 3－a ＝a (a 2－1)
B 、 m 2－2mn ＋n 2＝(m －n)2
C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y )
D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )
4.下列代数式中是完全平方式的是（ ）
①442--x x ； ②1362++m m ； ③1442+-x x ；
④2244b ab a +-； ⑤xy y x 816422-+.
A ．①③
B ．②④
C ．③④
D ．①⑤
5.若22169y kxy x ++是一个完全平方式，则实数k 的值为 （ ）
A ．12
B ．24
C ．－24
D ．±24
6.分解因式1+-m m a a
为（ ）. A.)1(a a m + B.)1(a a m - C.)1(m a a - D.)11(1-+a a
m . 7. 计算100101(2)(2)-+-的结果是（ ）.
（A ）－2 （B ）2 （C ）1002 （D ）－1002
8.若b a -=3，则222a ab b +-的值为（ ）.
A.9
B.-3
C.±3
D.无法确定
二、填一填（每小题3分，共24分）
1. 2254c b a 、4328c b a 、c b a 4312的公因式为： .
2.分解因式244x x ++=_______________.
3.分解因式339a b ab - =___________________.
4.分解因式：24(3)x --= ．
5.已知2x -x+n 可以分解为（x+3）（x-4），则n 的值为 .
6. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为 .
7.（2008江苏省盐城市）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 .张．
图2
8.如图2所示：边长为a 、b 的长方形，它的周长为12，面积为2，则代数式3
2232ab b a b a ++的值为： .
三、做一做（共52分）
1.（12分）分解因式：
（1）a a 93-； （2）49142
+-n n ；
（4）14422-+-b ab a .
b a
a b b b a a C B A
2.（8分）利用因式分解计算
（1）7.6×199.8＋4.3×199.8－1.9×199.8；
（2）
9697991002222--
3.（8分）已知关于x 的二次三项式n mx x -+23=（x+3）（3x-5），求m 、n 的值.
4. （8分）如图3所示：在边长为acm 的正方形木板上开出边长为bcm （b ＜)2a 的四个
小孔，
（1）试用a 、b 表示出剩余部分的面积.
（2）若a=14.5，b=2.75，则剩余部分的面积是多少？
图3
四、拓广探索
4.已知142+x ，请你再添上一项，使这三项能用完全平方式进行因式分解.请你写出所有
可能添加的情况，并对所得到的多项式进行分解因式.
5.若关于x 的二次三项式122++ax x 能在整数范围内分解因式，请写出所有和条件的a 的值，并将相应的多项式分解因式.
备选题：
1.一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，新得到的数与原数的差能被99整除吗？
2．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x 2－xy ＋4x －4y
＝（x 2－xy ）＋（4x －4y ）（分成两组）
＝x （x －y ）＋4（x －y ）（直接提公因式）
＝（x －y ）（x ＋4）。
乙：a 2－b 2－c 2
＋2bc
＝a 2－（b 2＋c 2－2bc ）（分成两组）
＝a 2－（b －c ）2（直接运用公式）
＝（a ＋b －c ）（a －b ＋c ）。
请你在他们的解法的启发下，完成下面的因式分解：
（1）m 3－2m 2－4m ＋8； （2）x 2－2xy ＋y 2－9。