2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份) (含答案解析)

2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则复数a −ai 在复平面内对应的
点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 如图，设P 为△ABC 内一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
5
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 1
4
D. 1
3
3. 已知sin(π
6−α)=cos(π
6+α)，则tanα=( )
A. −1
B. 0
C. 1
2
D. 1
4. 已知z 1=(m 2+m +2)+(m 2+m −5)i ，m ∈R ，z 2=4−3i ，则“m =1”是“z 1=z 2”的
( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 设a ⃗ 、b ⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
⃗ |a ⃗ |
=b
⃗ |b
⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ =−b ⃗ B. a ⃗ //b ⃗ 且方向相同 C. a ⃗ =2b ⃗
D. a ⃗ //b ⃗ 且|a ⃗ |=|b ⃗ |
6. 在△ABC 中，已知sin 2B −sin 2C −sin 2A =√3sin Asin C ，则角B 的大小为( )
A. 150°
B. 30°
C. 120°
D. 60°
7. 已知A(1,0)，B(3,2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A. −22
B. 22
C. 6
D. −6
8. 函数y =
sinx 1−x
的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
9. 边长为2的正方形ABCD ，M,N 分别为边BC 和边CD 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √3
B. √5
C. 4
D. 5
10. 若α,β为锐角，且满足
，则
的值为( )
A. −16
65
B. 33
65
C. 56
65
D. 63
65
11. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3
B. 2
C. 3
D. 4
12. 在
中，点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 上的一个动点(不含端点)， 若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+1μ
= ( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设复数z 1=2+2i ，z 2=2−2i ，则z
1
z 2
= ______ ．
14. 在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为BE 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则
m+n+mn
mn 的最小值为______ ．
15. 计算：cos2°
sin47∘+cos88°
sin133∘= ______ ．
16. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半
小时后，看见一灯塔在船的南偏西60∘方向，另一灯塔在船的南偏西75∘方向，则这只船的速度是每小时__________.
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知复数z满足|z|−i=z+2+3i(其中i为虚数单位)．
(1)求z；
(2)若a+2i
为纯虚数，求实数a的值．
z
18.已知α是第二象限角，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=2，cos2A−3cos(B+C)−1=0．
(I)求sinB的值；
(II)设▵ABC的面积．
20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量p⃗=(bcosC+ccosB,1)，q⃗=(3,−5asinA)，
且p⃗⋅q⃗=0．
(Ⅰ)求sin A的值；
(Ⅱ)若b=2，△ABC的面积为3，求a的值．
21.已知等式：sin25°+cos235°+sin5°cos35°=3
4；sin215°+cos245°+sin15°cos45°=3
4
；
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=3
4
；由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．
22.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A的切线与CB的延长线交于点P，且PA=
8√2，PB=8．
(1)若∠APB=45°求∠D的大小；
(2)若⊙O的半径为5，求圆心O到直线BC的距离．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查复数的定义，考查纯虚数的概念以及复数的几何意义，属于基础题，由纯虚数的定义得到，{a 2−3a −4=0,a −4≠0,
，从而解得a =−1，得到复数对应的坐标为(−1,1)，得到象限． 解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数， 则{a 2−3a −4=0,a −4≠0, 得{a =4或a =−1,a ≠4, 得a =−1，
则复数a −ai =−1+i 对应的坐标为(−1,1)，位于第二象限， 故选B ．
2.答案：A
解析：解：设∠CAB =α，所以C 到AB 的距离为：|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα； 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 到AB 的距离为：15
|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα； 所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为：
1
2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα1
2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⋅15
|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=5．
即△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为：1
5． 故选A ．
设出∠CAB ，求出C 到AB 的距离，P 到AB 的距离，即可得到△ABP 的面积与△ABC 的面积之比． 本题是中档题，考查向量的几何中的应用，考查计算能力，转化思想．
3.答案：A
解析：解：∵sin(π
6−α)=cos(π
6+α)， ∴1
2cosα−
√3
2
sinα=
√3
2
cosα−1
2sinα，
∴1−√3
2cosα=√3−1
2
sinα，
∴tanα=sinα
cosα=
1−√3
2
√3−1
2
=−1．
故选：A．
利用两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知可得1−√3
2
cosα=
√3−1
2
sinα，利用同角三角函数基本关系式即可计算求值tanα．
本题主要考查了两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.答案：A
解析：
本题主要考查复数相等的条件及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
复数z1=(m2+m+2)+(m2+m−5)i，m∈R，z2=4−3i相等，推出m的值．然后判断即可．
解：由z1=z2，得{m 2+m+2=4
m2+m−5=−3
，解得m=1或m=−2，
所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.故选A．
5.答案：B
解析：
本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗
|a⃗ |=b⃗
|b⃗|
成立⇔a⃗=|a⃗ |
|b⃗|
b⃗ ，利用向量共线定理即可判断出．
解：若非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗
|a⃗ |=b⃗
|b⃗|
成立⇔a⃗=|a⃗ |
|b⃗|
b⃗ ⇔a⃗与b⃗ 共线且方向相同，
故选：B．
6.答案：A
解析：
本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，先根据正弦定理将角化为边，再由余弦定理计算cos B可得结果．
解：因为sin2B−sin2C−sin2A=√3sinAsinC，
所以b 2−c 2−a 2=√3ac ，即−√3
2=
a 2+c 2−
b 2
2ac
=cosB ，
所以B =150°． 故选A ．
7.答案：A
解析：
本题考查的是平面向量的坐标表示和向量的数量积，属于基础题．
求出C(−2,−4)，知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−6)，再利用向量数量积的运算可得答案． 解：A(1,0)，B(3,2)，
向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4)，则C(−2,−4)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−6)，
则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−5)+2×(−6)=−22． 故选A ．
8.答案：B
解析：
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法． 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可． 解：因为函数y =
sinx
1−x
是非奇非偶函数，排除选项D ，当x ∈(1,π)时，函数y =sinx 1−x
<0，
x ∈(0,1)时，函数y =sinx 1−x
>0，排除选项A ，C ，
故选B ．
9.答案：C
解析：
本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积运算，属于基础题． 解：边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为BC 和DC 的中点，
∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2+2+0=4； 故选C ．
10.答案：B
解析：
本题考查同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式，属于中档题．
由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(α+β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)−α]的值．
解：∵α，β为锐角，且满足
，，
，
则sinα=√1−cos 2α=35，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=12
13，
∴sinβ=sin[(α+β)−α] =sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα
=
1213
×45
−
513
×35
=
3365
．
故选B ．
11.答案：C
解析：
本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题． 利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可． 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3． 故选：C ．
12.答案：A
解析：
本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查了向量的加法、减法、数乘运算，属于中档题． 通过利用向量的三角形法则，以及向量共线、向量减法，代入化简即可得出． 解：设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗
=m(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗
=m AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +m (23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2
3
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13
m −1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3
m AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由题意λ=13m −1, μ=2
3m ， ∴
λ+1μ
=
1
3m 23
m =1
2，
故选A ．
13.答案：i
解析：解：因为复数z 1=2+2i ，z 2=2−2i ，
所以z 1
z 2
=2+2i 2−2i =1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=
2i 2
=i ．
故答案为：i ．
把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可． 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．
14.答案：5+2√3
解析：解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵P 为BE 上一点，不妨设BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
∴m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴{
m =1−λ
3n =λ
，则m +3n =1−λ+λ=1，
∴
m +n +mn mn =m +n mn +1=1m +1n +1=(1m +1
n
)×(m +3n)+1
=5+3n m +m n ≥5+2√3n m ⋅
m n =5+2√3，(m >0,n >0)． 当且仅当3n m =m n 即m =√3n 时等号成立，
即m+n+mn mn 的最小值为5+2√3，
故答案为：5+2√3．
根据平面向量基本定理求出m ，n 关系，利用基本不等式的性质进行求解即可．
本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m ，n 的关系和求m +3n =1．
15.答案：√2
解析：解：cos20sin470+cos880sin1330=cos2°sin47∘+sin2°sin47∘=cos2°+sin2°sin47∘=√2(√22cos2°+√22sin2°)sin47°=√2⋅sin(45°+2°)sin47°=√2， 故答案为：√2．
由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
16.答案：10海里
解析：如图，依题意有∠BAC =60∘，∠BAD =75∘，所以∠CAD =∠CDA =15∘，从而CD =CA =10，
在RtΔABC 中，可得AB =5，于是这只船的速度是=10(海里/小时).
17.答案：解：(1)设z =x +yi(x,y ∈R)，由于|z|−i =z +2+3i ，
得√x 2+y 2−i =x −yi +2+3i ，
∴√x 2+y 2−x −2+(y −4)i =0，∴{
√x 2+y 2−x −2=0y −4=0, 解得：{x =3y =4
, ∴z =3+4i ；
(2)由(1)知
a+2i z =a+2i 3+4i =(a+2i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3a+8+(6−4a)i 25， 又a+2i z 为纯虚数，
∴{3a +8=06−4a ≠0
, 解得：a =−83．
解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数相等的条件，是基础题．(1)设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z|−i=z+2+3i，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则答案可求；
(2)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
18.答案：解：(1)因为α是第二象限角，且，
所以，
所以；
=
=−2+1
−2−1
=1
．
3
解析：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)利用同角三角函数关系式以及角的范围求出结果．
(2)利用诱导公式化简，然后代入求出结果．
19.答案：解：(I)由正弦定理得，
所以2sinB=sinA，
由cos2A−3cos(B+C)−1=0，得2cos2A+3cosA−2=0，
所以或cosA=−2(舍)，
因为0<A<π，
所以sinA =√32，sinB =√34
; (II)因为b <a ，所以B 为锐角，
所以cosB =√134
， sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =
√3(√13+1)8， 所以S △ABC =12×4×2×√3(√13+1)8=√3(√13+1)2
．
解析：【试题解析】
本题考查正弦定理及三角形面积公式，涉及两角和与差及二倍角公式，属于中档题目． (I)利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式与二倍角公式得出关系式求出sin B 即可； (II)求出sin C ，利用三角形面积公式得出即可．
20.答案：解：(Ⅰ)向量p
⃗ =(bcosC +ccosB,1)，q ⃗ =(3,−5asinA)，且p ⃗ ⋅q ⃗ =0， 则3(bcosC +ccosB)−5asinA =0，
∴3(sinBcosC +sinCcosB)−5sinAsinA =0，
∴3sin(B +C)−5sin 2A =0，
又△ABC 中，sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ≠0，
∴sinA =35
； (Ⅱ)若b =2，且△ABC 的面积为3，
∴12bcsinA =12×2×c ×35=3， 解得c =5，
∴cosA =±√1−sin 2A =±45，
∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+25−2×2×5cosA =29−20cosA ，
当cosA =45时，a 2=13，a =√13；
当cosA =−45时，a 2=45，a =3√5；
综上，a 的值为√13或3√5．
解析：(Ⅰ)根据平面向量的数量积运算与三角恒等变换求得sin A的值；
(Ⅱ)根据△ABC的面积公式和余弦定理，即可求得a的值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．
21.答案：解：根据各式的共同特点可得：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数3
4
，
则具有一般规律的等式：sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=3
4
，
证明：等式的左边=sin2θ+cos(θ+30°)[cos(θ+30°)+sinθ]
=sin2θ+(√3
2cosθ−1
2
sinθ)(√3
2
cosθ−1
2
sinθ+sinθ)
=sin2θ+(3
4cos2θ−1
4
sin2θ)
=3
4cos2θ+3
4
sin2θ=3
4
=右边，
∴等式成立．
解析：根据所给的等式归纳：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，按照此规律写出一般性的结论，利用两角和的余弦公式等进行证明等式成立．
本题考查了归纳推理，两角和的余弦公式等，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
22.答案：解：(1)在△PAB中，有PA=8√2，PB=8，∠APB=
45°．
由余弦定理得：AB2=82+(8√2)2−2×8×8√2cos45°=
64，解得AB=8．
∴AB=PB，∠BAP=45°，
∴∠ABP=Rt∠．
所以△PAB为Rt△，即AB⊥PC．
所以∠ABC=90°，
又因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠D=90°．
(2)连接OC，作OM⊥BC于M，
由垂径定理可知：M为BC的中点，
由切割线定理得：PA2=PB⋅PC，
又PA=8√2，PB=8，
所以PC=16，BC=8，MC=4．
因为⊙O的半径为5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，
所求圆心O到直线BC的距离为3．
解析：(1)利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圆的内接四边形的性质即可得出；(2)连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，利用切割线定理与勾股定理即可得出．
本题考查了余弦定理、圆的内接四边形的性质、垂径定理、切割线定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。