2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{1|,|1A x y B y y x ⎧
⎫====⎨⎬-⎩
⎭，则A B =（ ）
A ．{|0}x x
B ．{0x x ≥且}1x ≠
C ．{|1}x x ≠
D ．{|0}x x >
【答案】D
【分析】根据函数定义域和值域求出,A B ，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：{}0A x x =≥， 由值域可得{}|0B y y =≠，故{}0A B x x ⋂=>. 故选：D
2．下列式子的值为3
2a -的是（ ）
A B C
D
【答案】D
【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果. 2
3
a =32
a 23
a -
=32
a -
=，
故选:D.
3．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为0(0)N >，经过时间(t 天)之后的新闻热度变为0()e t N t N α-=，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数0.3α=，要使该新闻的热度降到初始热
度的10%以下，需要经过天（参考数据：ln10 2.303≈）（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【答案】C
【分析】根据题意建立不等式求解.
【详解】依题意，()00e 0.1t
N t N N α-=< ，
0.3ln10 2.303
e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3
t t t -∴<-<=->≈≈ ， 即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；
故选：C.
4．已知函数(2)x y f =的定义域为[1,4]，则函数(1)
1
f x y x +=-的定义域为（ ） A ．[1,1)- B ．(1,15] C ．[0,3]
D ．[0,1)(1,3]⋃
【答案】B
【分析】由函数(2)x y f =的定义域求出函数()y f x =的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即可得解.
【详解】解：由函数(2)x y f =的定义域为[1,4]，得[]22,16x
∈，
所以函数()y f x =的定义域为[]2,16， 由函数(1)
1
f x y x +=
-， 得211610x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得115x <≤，
所以函数(1)
1
f x y x +=-的定义域为(1,15]. 故选：B.
5．函数3222x x
x x
y --=+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C 和D ，再利用特殊值排除选项B 即可求解. 【详解】因为函数32()22x x
x x
y f x --==+的定义域为R ，
且3322()()2222x
x x x
x x x x
f x f x ---+--==-=-++，所以函数为奇函数，故排除选项C 和D ； 又因为当1x =时，(1)0f <，当2x =时，(2)0f >，且当x →+∞时，0y >，故排除选项B . 故选：A .
6．一元二次方程()2
5400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A ．a<0
B ．0a >
C ．2a <-
D ．1a >
【答案】A
【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得0∆>以及两根之积小于0，列不等式组即可求解.
【详解】因为一元二次方程()2
5400ax x a ++=≠有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，
所以212
Δ54404
0a x x a ⎧=-⨯>⎪
⎨=<⎪⎩
，解得25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩，故a<0. 故选：A.
7．已知0.3
3a =，12b π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，log c =，则下列大小关系正确的是（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
【答案】D
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断,,a b c 的大致范围，即可得出结果. 【详解】因为0.3
0331a =>=，1
111
222b π⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
551
log log 2
c =>
且5log 1c =<， 所以a c b >>. 故选：D.
【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.
8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有
()()
2112
f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ） A ．[]1,3- B ．[]1,5-
C ．[]3,5-
D ．[]3,3-
【答案】A
【解析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有
()()
2112
f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()
g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为
()()214g m g m -≤+求解.
【详解】令()()g x xf x =，
因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有
()()
2112
f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21
g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，
又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩
即34
11315
m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，
解得13m -≤≤，
所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A
【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.
二、多选题
9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ．1010x x y -=- B ．()2
2log 1y x =+
C ．3y x =
D ．1
y x
=-
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.
【详解】对于选项A ：记()1010x x f x -=-，函数()1010x x f x -=-的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，又()1010()x x f x f x --=-=-，所以函数()1010-=-x x f x 是奇函数，又因为10x y =是增函数，10x y -=是减函数，所以1010x x y -=-是增函数，符合题意，A 正确；
对于选项B ：记()22()log 1=+g x x ，函数()22()log 1=+g x x 的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，
且()2
2()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦
g x x g x ，所以函数()22()log 1=+g x x 是偶函数，不符合题意，B 错误； 对于选项C ：记3()h x x =，函数3()h x x =的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，
且33)()()(=-=--=-h x h x x x ，所以函数3()h x x =是奇函数，根据幂函数的性质，函数3()h x x =是增函数，符合题意，C 正确；
对于选项D ：记1()t x x =-，函数1
()t x x
=-的定义域为()
(),00,∞-+∞，定义域关于原点对称，又
11()()t x t x x x -=-
==--，所以函数1
()t x x
=-为奇函数，当=1x -时，(1)1t -=，当1x =时，(1)1t =-，所以1
y x
=-在定义域上不是单调递增函数，D 错误.
故选：AC.
10．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A ．函数21
12x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的最大值为1
2
B ．若幂函数的图象经过点1,28⎛⎫
⎪⎝⎭
，则解析式为13y x -=
C ．函数2x y =与函数2log y x =互为反函数
D ．若,0,3x y x y xy >++=，则xy 的最小值为1 【答案】BC
【分析】根据指数函数，幂函数和对数函数的性质即可判断选项A,B,C ；利用基本不等式即可判断选项D .
【详解】因为函数21x -+有最大值1，由指数函数的单调性可知：函数21
12x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭取最小值1
2，故选
项A 错误；
设幂函数为y x α=，因为幂函数的图象经过点1,28⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以1()28α=，则13α=-，
所以函数解析式为1
3y x -=，故选项B 正确；
根据指数函数与对数函数的关系可知：函数2x y =与函数2log y x =互为反函数，故选项C 正确；
因为,0,3x y x y xy >++=，所以3xy x y -=+≥1x y ==时取等，
则230+≤，解得：01<≤，则1xy ≤，所以xy 有最大值1，故选项D 错误， 故选：BC .
11．已知函数()()2
lg 1f x x ax =++，下列论述中正确的是（ ）
A ．当0a =时，()f x 的定义域为R
B ．()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是()2,2-
C ．()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是][(),22,∞∞--⋃+
D ．若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是[)4,-+∞ 【答案】ABC
【分析】由对数型复合函数的定义域可判断AB ；由对数函数的值域判断C ；由复合函数的单调性可判断D
【详解】对于A ：当0a =时，()()
2
lg 1f x x =+，由2
10x 解得x ∈R ，故A 正确；
对于B ：()f x 的定义域为R ，则210x ax ++>恒成立，则240a ∆=-<， 解得22a -<<，故B 正确；
对于C ：()f x 的值域为R ，则21t x ax =++能取完所有正数，此时240a ∆=-≥， 解得][(),22,a ∈-∞-⋃+∞，故C 正确；
对于D ：因为复合函数()()2
lg 1f x x ax =++是由lg y t =，21t x ax =++，复合而成，而lg y t =在()0,+∞上单调递增，又()()2
lg 1f x x ax =++在区间()2,+∞上单调递增，
所以21t x ax =++在()2,+∞上单调递增，则有22
a
-
≤，解得4a ≥-， 又210x ax ++>在()2,+∞上恒成立，则有22210a ++≥，解得5
2a ≥-，
综上，5
2
a ≥-，故D 错误；
故选：ABC
12．已知函数()||2f x x x a =--有三个不同的零点，则实数a 的取值可以为（ ）
A ．0
B ．
C ．3
D ．4
【答案】CD
【分析】确定0x ≤时，()f x 在区间(,0]-∞上无零点，题目转化为2
a x x
=-或=a 2x x +有3个解，得
到220x ax -+=有两个正数解，解得答案.
【详解】当0x ≤时，()0f x <恒成立，即()f x 在区间(,0]-∞上无零点， 所以当0x >时，||2x x a -=有三个正根，解得2
a x x
=-
或=a 2x x +.
当0x >时，2y x x =-单调递增，且2
R x x -∈，则方程2a x x
=-有一个根，
则方程2
a x x =+要有两个根，即220x ax -+=有两个正数解，则2
12Δ800a x x a ⎧=->⎨+=>⎩，
解得a >CD 项正确. 故选：CD
三、填空题
13．已知函数1()2x a f x a x -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________. 【答案】()1,4
【解析】结合指数函数和幂函数的性质求解．
【详解】1x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)． 故答案为：(1,4)．
14．设25a b m ==，且21
1a b
+=，则m =________．
【答案】20
【分析】显然0,m >用对数式表示出,a b 后代入21
1a b
+=，运用对数的运算法则化简可得答案.
【详解】依题意有0,m > 2525,log ,log ,a b m a m b m ==∴==
25212112log 2log 5log 20,20log log m m m m a b m m
=
+=+=+=∴=. 故答案为：20
15．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的反函数1()f x -过点(4,2)，设1()()()g x f x f x -=+，则不等式(21)(4)0g x g x ---<的解集是_________． 【答案】15,23⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】根据反函数定义得到反函数解析式1
()log a f x x -=，根据题中所给点解出a 的取值，得到()
g x 解析式，根据()g x 单调性得到最后解集.
【详解】根据反函数定义可知1()log a f x x -=，由题可知1
(4)log 422a f a -==⇒=
故12()log f x x -=，()2x f x =，即2()2log x
g x x =+，根据解析式可知()g x 在()0,∞+为增函数，
(21)(4)0(21)(4)g x g x g x g x ---<⇒-<-
可列不等式210
1540
2
3421x x x x x ->⎧⎪
->⇒<<⎨⎪->-⎩ 故答案为：15,23⎛⎫
⎪⎝⎭
四、双空题
16．已知函数()20.5
21,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪
=⎨
>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则a 的最小值是______,()412234
16
x x x x x ⋅++⋅的最大值是______. 【答案】 1 4
【解析】画出()20.521,0log ,0
x x x f x x x ⎧--+⎪
=⎨>⎪⎩的图像,再数形结合分析参数的a 的最小值,再根据对称性与函
数的解析式判断1234,,,x x x x 中的定量关系化简()412234
16
x x x x x ⋅++
⋅再求最值即可. 【详解】画出()20.5
21,0
log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩的图像有：
因为方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点,又由图,()01f =, ()12f -=故a 的取值范围是[)1,2,故a 的最小值是1. 又由图可知,
12
12122
x x x x =-⇒+=-+,0.530.54log log x x =,故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=,故
341x x =.
故()41242
344
1616
2x x x x x x x ⋅++
=-⋅+. 又当1a =时, 0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时, 0.544log 24x x -=⇒=,故[)42,4x ∈. 又44162y x x +
=-在[)42,4x ∈时为减函数,故当42x =时44162y x x +=-取最大值16
2242
y +=-⨯=. 故答案为：(1). 1 (2). 4
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.
五、解答题
17．已知集合{}()()2
7100,{20}A x x x B x x a x a =-+<=---<.
(1)若B A ⊆，求实数a 的取值范围；
(2)若22log 5log 40,140215m n g g =-=+，求,m n 的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明它是B A ⊆的什么条件.（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）
①5,;6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②5,;3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.
【答案】(1)[]2,3
(2)3,3m n =-=，5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭是B A ⊆的既不充分也不必要条件，5,3a m n ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
是B A ⊆的必要不充分
条件，5,6a n m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
是B A ⊆的充分不必要条件.
【分析】（1）解不等式得到,A B ，根据B A ⊆得到不等式组，求出实数a 的取值范围；
（2）先利用对数计算公式得到3,3m n =-=，从而判断出5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，5,6a n m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦是
B A ⊆的什么条件.
【详解】（1）{}{}2
710025A x x x x x =-+<=<<，()(){}{}202B x x a x a x a x a =---<=<<+，
因为B A ⊆，所以225a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得：23a ≤≤；
实数a 的取值范围是[]2,3；
（2）222
log 5log 431
08
log m ===--， lg 402lg5lg 40lg 25lg10003n =+=+==，
选①55,3,62a m n ⎡⎫⎡
⎫∈=-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣
⎭，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，
而5,23a ⎡⎫∈-⇒⎪⎢⎣⎭[]2,3a ∈，[]2,3a ∈⇒253,a ⎡
⎫∈-⎪⎢⎣⎭，
故5,6a m n ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭是B A ⊆的既不充分也不必要条件；
选②[]5,3,53a m n ⎡⎤
∈=-⎢⎥⎣⎦
，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，
而[]3,5a ∈-⇒[]2,3a ∈，[][],52,33a a ∈-∈⇒， 故5,3a m n ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的必要不充分条件；
选③,255,36a n m ⎡⎤⎡⎤
∈-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，
而[],352,32a a ⎡⎤⇒⎥⎦∈∈⎢⎣，[]2,3a ∈⇒5,32a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
故5,6a n m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
是B A ⊆的充分不必要条件.
18．已知函数2()1mx n
f x x
+=
+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）已知0a >，0b >，且12
8a b
+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）22()1x
f x x
=
+；（Ⅱ）(
2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()00
11f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式；
（2）因为12
8a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122
b a +≥，
则只需使1
()2
f t >
，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2
()1mx n
f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2
()1mx
f x x =+， 又由()11f =得，则12
m
=，可得2m =， 则2
2()1x
f x x =
+． （2）因为0a >，0b >，且12
8a b
+=，
所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，1
2
b =
时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即2
21
12
t t >+，
解得：22t <[]1,1t ∈-，
所以实数t 的取值范围是(
2⎤⎦．
【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：
（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =； （2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭，然后根据12
8a b +=，利用基本不等式求解2
b
a +
的最小值． 19．已知函数()2ln
,02mx
f x m x
-=>+，且()()011f f +-=. (1)证明：()f x 在定义域上是奇函数； (2)判断()f x 在定义域上的单调性，无需证明； (3)若()()ln9f x f x +<-，求x 的取值集合. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)单调递减，理由见解析 (3){}12x x <<
【分析】（1）根据()()011f f +-=求出1m =，()2ln 2x
f x x
-=+，求出定义域，并利用()()f x f x -=-证明出结论； （2）设()22x g x x -=
+，利用定义法证明出()22x
g x x
-=+的单调性，从而利用复合函数单调性满足同增异减，判断出()f x 的单调性；
（3）利用()f x 的奇偶性得到()ln30f x +<，从而得到63012x
x
-<<+，求出x 的取值集合. 【详解】（1）()()22ln
ln 012121
1m m
f f -++=+--=+，解得：21m =，
因为0m >，所以1m =，()2ln 2x
f x x
-=+， 令
202x
x
->+，解得：22x -<<，故()f x 的定义域为()2,2-，关于原点对称， 又()()22ln
ln 22x x
f x f x x x
+--==-=--+， 所以()f x 在定义域上是奇函数；
（2）()f x 在定义域上单调递减，理由如下： 任取()1212,2,2,x x x x ∈-<， 令()22x g x x
-=
+， 则()()()()()()()()()()()
12212112121212122222422222222x x x x x x x x g x g x x x x x x x -+--+----=
-==++++++，
因为()1212,2,2,x x x x ∈-<，
所以122120,20,0x x x x +>+>->，故()()()
()()
2112124022x x g x g x x x --=>++，
所以()()12g x g x >，故()22x
g x x
-=
+在()2,2-上单调递减， 根据复合函数单调性满足“同增异减”， 所以()2ln
2x
f x x
-=+在()2,2-上单调递减； （3）()()ln9f x f x +<-变形为()()ln3ln3f x f x +<--，
因为()f x 在定义域上是奇函数，所以()()ln3ln3f x f x ⎡⎤--=-+⎣⎦， 即()()ln3ln3f x f x ⎡⎤+<-+⎣⎦，即()2ln30f x ⎡⎤+<⎣⎦，()ln30f x +< 因为()2ln 2x f x x
-=+，所以263ln
ln 3ln 0ln122x x
x x --+=<=++， 故63012x
x
-<
<+，解得：12x <<， 故x 的取值集合为{}12x x <<.
20．已知二次函数()2
f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集为
1,2．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)解关于x 的不等式()()2
124a x ax f x +->+（其中R a ∈）．
【答案】(1)()2
2f x x x =--
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集为1,2，得到()0f x =的根，由韦达定理求出未知数b 和
c ，即可求出函数()f x 的解析式
（2）将（1）求出的函数()f x 的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解. 【详解】（1）由题意
在()2
f x x bx c =++中，()0f x <的解集为
1,2
∴20x bx c ++=的根为1,2- ∴12b -+=-，12c -⨯=， 解得：1b
，2c =-
∴()2
2f x x x =--
（2）由题意及（1）得，R a ∈
在()22f x x x =--中，()()2
124a x ax f x +->+
∴()22
1224a x ax x x +->--+
即()()120ax x +->
当0a =时，不等式化为：20x ->，解得：2x >，
当0a >时，1
0a -<，则不等式()()120ax x +->的解为：1x a
<-或2x >，
当0a <时，1
0a ->，不等式化为1()(2)0+->a x x a ，即1()(2)0+-<x x a
， 若12a -=，即12a =-，则不等式化为：()2
20x -<，其解集为空集． 若12a -<，即12a <-，则不等式1()(2)0+-<x x a 的解集为1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，
若12a -
>，即102a -<<，则不等式1()(2)0+-<x x a 的解集为1|2x x a ⎧
⎫<<-⎨⎬⎩
⎭，
综上所述：
当0a >时，不等式的解集为1|2x x x a ⎧
⎫><-⎨⎬⎩
⎭或，
当0a =时，不等式的解集为{}|2x x >；
当102a -<<时，不等式的解集为1|2x x a ⎧
⎫<<-⎨⎬⎩
⎭；
当1
2
a =-时，不等式的解集为∅；
当12a <-时，不等式的解集为1|2x x a ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
．
21．已知函数()22(x x
f x a -=+⋅常数R)a ∈.
(1)若1a =-，且()4f x =，求x 的值；
(2)当()f x 为奇函数时，存在[]1,2x ∈使得不等式()()2
10f x mf x -+<成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)(2log 2x =
(2)m 的取值范围为13,6⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
【分析】（1）解方程()224x x
f x -=-=即可求解；
（2）由()00f =求得a 的值，再利用奇函数的定义检验可得()f x 的解析式，分离参数可得()()
1m f x f x >+
，根据单调性求出()f x 范围，()()1
f x f x +的最小值即可求解.
【详解】（1）当1a =-时，()22x x
f x -=-， 令()224x x
f x -=-=可得()2
24210x x -⋅-=，
所以()2
225x -=，可得22x -=20x >，
所以22x =(2log 2x =
（2）若函数()22x x f x a -=+⋅是奇函数，则()00
02210f a a -=+⋅=+=，可得1a =-， 所以()22x x
f x -=-，经检验()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，
所以()22x x
f x -=-是奇函数，1a =-符合题意，
因为2x y =在[]1,2上单调递增，2x
y -=在[]1,2上单调递减， 所以22x x y -=-在[]1,2上单调递增，
所以当2x =时，()22
max 15224f x -=-=
，当1x =时，()11
min 3222
f x -=-=， 所以()315,24f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
因为存在[]1,2x ∈使得不等式()()2
10f x mf x -+<成立，
所以存在[]1,2x ∈使得()()
1
m f x f x >+成立， 所以()()min
1m f x f x ⎡⎤
>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 令()f x t =，设()()()11
g t f x t f x t =+
=+， 315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
t ，
任取12315,,24t t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，且12t t <，则
()()()212121212121111
t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫--=+
--=- ⎪⎝⎭
， 因为12t t <，12315,,24t t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以210t t ->，2110t t ->，
所以()()21g t g t >，故函数()g t 在315,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，
所以当3
2t =时，()g t 取最小值，最小值为136
，
即1x =时，()()1f x f x +取最小值，最小值为13
6
所以13
6
m >
， 所以实数m 的取值范围为13,6∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.
22．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10k
P x x
=+（k 为常数，且0k >），日销售量()Q x （单位：件）
与时间x 的部分数据如下表所示：
设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元. （1）求k 的值；
（2）给出以下四种函数模型： ①()Q x ax b =+；
②()||Q x a x m b =-+； ③()x Q x ab =； ④()log b Q x a x =.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.
【答案】（1）1；（2）()*
()|20|60130,Q x x x x =--+∈N ；（3）441.
【解析】（1）由(20)(20)(20)603f P Q ==可求得k ；
（2）由数据知()Q x 先增后减，选择②，由对称性求得20m =，再利用其他函数值求出,a b ； （3）根据（2）求得()f x 的表达式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性刘最小值，比较可得结论．
【详解】解:（1）因为第20天的日销售收入为603元， 所以(20)(20)(20)106060320k f P Q ⎛
⎫==+⨯= ⎪⎝
⎭，
解得1k =.
（2）由表中的数据知，当时间x 变化时，()Q x 先增后减.
函数模型①()Q x ax b =+;③()x Q x ab =④()log b Q x a x =都是单调函数， 所以选择函数模型②()||Q x a x m b =-+. 由(15)(25)Q Q =，得1525m m -=-， 所以20m =， 由()()15555,2060,Q a b Q b ⎧=+=⎪
⎨
==⎪⎩
解得1,60a b =-=
所以日销售量()Q x 与时间x 的变化关系为()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N
（3）由（2）知**
40,120,,
()206080,2030,,x x x Q x x x x x ⎧+∈=--+=⎨-+<∈⎩N N 所以*
*
110(40),120,()()()110(80),2030,x x x N x f x P x Q x x x x N x ⎧⎛⎫++∈ ⎪⎪⎪⎝
⎭==⎨
⎛⎫⎪+-+<∈ ⎪⎪⎝
⎭⎩
即*
*4010401,120,,()8010799,2030,,
x x x x
f x x x x x ⎧++∈⎪⎪=⎨
⎪-++<∈⎪⎩
N N 当*120,x x ∈N 时， 由基本不等式得，()40
104012400401441,f x x x
=+++= 当且仅当40
10x x
=
，即2x =时，等号成立. 所以min ()441f x =.
当*2030,x x <∈N 时，80
()10799f x x x
=-++为减函数， 所以min 8
()(30)4994413
f x f ==+>，
综上所述：当2x =时，()f x 的最小值为441.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数模型时，直接利用所给数据求出模型听参数得函数解析式．然后可根据函数解析式确定函数性质求得最值等．分段函数在求最值时需要分段求解，然后比较才能得出结论．。