2009年甘肃兰州一中高三年级模拟考试

2009年甘肃省兰州一中高三年级模拟考试
数学试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120
分钟。

所有试题均在答题卡上作答。

其中，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色
墨水签字笔作答。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中
恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 33
4R V π=
其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合},{},2,3{b a N M a
==，若}2{=N M ，则=N M （ ）
A ．{1，2，3}
B ．{0，2，3}
C ．{0，1，2}
D ．{0，1，3} 2．（理科）已知i i
bi
a R
b a +=-+∈21,,，则b a += （ ）
A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
（文科）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，则1197a a a ++的值为 （ ）
A ．10
B ．20
C ．25
D ．30 3．已知31)3
sin(=
-
π
α，则)6
cos(
π
α+的值为
（ ） A ．
33
2 B ．3
3
2-
C ．3
1-
D ．
3
1
4．已知,5
16sin
,8,3log 7
.02π
===-c b a 则c b a ,,的大小关系是 （ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
5．设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则b a ⊥的一个充分条件是 （ ）
A ．βαβα∥，⊥⊂b a ,
B ．βαβα∥,,⊥⊥b a
C ．βαβα⊥⊥,,∥b a
D ．βαβα⊥⊂,,∥b a
6．（理科）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布),0)(,1(2
>σσN 若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在]2,(--∞内取值的概率为 （ ）
A ．0.2
B ．0.9
C ．0.8
D ．0.1
（文科）圆4)(2
2
=+-y a x 被直线1=+y x 所截得的弦长为22，则实数a 的值是
（ ）
A ．0或4
B ．1或3
C ．-2或6
D ．-1或3 7．函数1
2
3-=x y （-1≤x ＜0)的反函数是
（ ）
A ．)3
1
(log 13≥+=x x y B ．)3
1(log 13≥+-=x x y
C ．)131(log 13≤<+=x x y
D ．)13
1(log 13≤<+-=x x y
8．函数)2
||,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>+=x x f 的最小正周期为π，若其图象向左平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象
（ ）
A ．关于点（
12
π
，0）对称 B ．关于点（
12
5π
，0）对称
C ．关于直线12
5π
=x 对称
D ．关于直线12
π
=
x 对称
9．四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“0”、“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 （ ）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
10．如下图，平面内向量，b a ,的夹角为120°，c a ,的夹角为30°，且
32||,1||,2||===c b a ，若b a c 2+=λ，则λ等于
（ ）
A ．1
B ．-1
C ．-2
D ．2
11．（理科）如下图，正三棱锥ABCD 内接于球O ，底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为
（ ）
A ．
3
64π
B ．
3
32π
C ．
3
16π
D ．
3
8π （文科）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD=2，3=AB ，在外接球面上A 、B
两点间的球面距离是
（ ）
A ．
6π
B ．
3
π C ．
3
2π D ．
6
5π 12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的点到焦点的最小距离为1，以其右焦点F 为圆心
的圆过椭圆的上顶点),0(b B ，且与直线033:=++y x l 相切，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
3
2 B ．
2
1 C ．
2
2 D ．
3
1 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上。

13．62
)1(ax x +
的二项展开式中3x 的系数为2
5
，则实数=a 。

14．若点)2,1(A 和)1,1(B 在直线03=+-m y x 的异侧，则m 的取值范围是 。

15．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，交其准线于C 点，若3=，则直线l 的斜率为 。

16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且在]0,1[-上是增函数，关于)(x f 的判断： ①)(x f 是周期函数； ②)(x f 的图象关于直线1=x 对称；
③)(x f 在[0，1]上是增函数；
④)(x f 在[1，2]上是减函数。

其中所有正确的判断是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，已知5
3
cos =
A 。

（1）求)cos(2
sin
2
C B A
+-的值； （2）若△ABC 的面积为4，AB=2，求BC 的长。

18．（本小题满分12分）
某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天生产的产品中有1件次品，第二天
生产的产品中有2件次品，而质监部门每天要从该车间生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过检查。

（1）求第一天生产的产品通过检查的概率；
（2）（理科）若场内对车间生产的产品采用记分制：两天都不能通过检查记0分，通过1天记1分，通过2天记2分。

求该车间这两天的得分ξ的数学期望。

（文科）求该车间这两天生产的产品都通过检查的概率。

19．（本小题满分12分）
如下图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E 、
F 、
G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点。

（1）求证：PB ∥平面EFG ； （2）求异面直线EG 与BD 所成的角 20．（本小题满分12分）
已知M （-2，0），N （2，0）两点，动点P 在y 轴上的射影为H ，且使PH PH ⋅与PN PM ⋅
分别是公比为2的等比数列的第三、四项。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方．．．两个不同的点A 、B ，设R 为AB 的中点，如果点R 与定点Q （0，-2）的直线交x 轴于点D （x 0，0），求x 0的取值范围 21．（本小题满分12分）
已知数列{n a }前n 项和为S n ，且),2(353,2*
111N n n S a a S a n n n n ∈≥+-==--
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项和为T n ；
（3）（理科）若)0](lg )2[lg(2>+=+t a t t c n n
n n ，且数列}{n c 是单调递增数列，求实数t 的
取值范围。

22．（本小题满分12分）
（理科）设函数)()(1
2
3
n e
x mx x f x ++=-，已知2-=x 是函数)(x f 的极值点，且函数
n x x x g --=2)(2的值域为),0[+∞。

（1）求实数m 和n 的值； （2）设23
3
2)(x x x h -=
，证明).()(x h x f ≥ （文科）已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两天切线间的距离为510
2，函数
33)()(2+-
=a
bx
x f x g 。

（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；
（2）若函数)(x g 在区间[-1，1]上为增函数，且)(42
x g mb b ≥+-在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围。