北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）
A ．29y x =
B ．26y x =
C ．23y x =
D ．23y x =
2．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的
右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒
∠=∠=，若
2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =±
D ．2y x =±
3．已知定圆2
2
2212:(3)1,
:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与
1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）
A ．82+
B ．82
C ．162
D ．162
4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n
-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的
最小值为（ ）
A ．
12
B ．
32
C ．
43
D ．9
5．已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22183
x y +=有相同的焦点，则a =（ ）
A 6
B ．23
C ．2
D ．4
6．已知圆2
2
2
1:(0)C x y b b +=>与双曲线22
222:1(0,0)-=>>x y C a b a b
，若在双曲线2C 上
存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．6⎛ ⎝⎦
B ．6⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
C ．(
3⎤⎦
D ．)
3,⎡+∞⎣
7．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C
的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．2
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别
交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（ ） A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫
⎪⎝⎭
．若2QF PF =，且PQF △的面积为83，则p =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知点P 是椭圆22
:110064
x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆
22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
11．如图所示，12FF 分别为椭圆22
22x y 1a b
+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积
为3的正三角形，则2b 的值为( )
A 3
B ．23
C ．33
D ．4312．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别
相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3
cos 5
ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5
B ．3
C ．2
D 6二、填空题
13．双曲线22
1(0)x y mn m n
-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重
合，则m n ⋅的值为___________
14．在平面直角坐标系中，已知椭圆2
2:12
+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于
A ，
B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．
15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，则PAF △周长最小值为______．
16．设1F ，2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点
P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.
17．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()22
2210x y
a b a b
+=>>在第一象限
内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.
18．已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为
F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________．
19．已知直线:10l x y -+=与椭圆221169
x y
+=交于,A B 两点,若椭圆上存在一点P 使得
PAB ∆面积最大,则点P 的坐标为________.
20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为
()4,2，则PB PF +的最小值为________．
三、解答题
21．已知圆1C 的方程为()()2
2
20
213
x y -+-=
，椭圆2C 的方程为
()222210x y a b a b +=>>，2C 1C 与2C 相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆1C 的直径，求直线AB 的方程和椭圆2C 的方程．
22．如图所示，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C
的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．
23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为2
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B . （i ）证明直线AB 过定点；
（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.
24．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点F 恰是椭圆2
212
x y +=的一个焦点，过点F 的直
线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.
（2）若45AFx ∠=，求AB .
25．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆
22
2
21(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点3⎛ ⎝⎭在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）经过点11,28P ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；
（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．
26．已知离心率2
2
e =C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且42
AB =
，求直线l 的方程.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】
如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.
在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以1
32
p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．
2．B
解析：B 【分析】
根据21
32MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF N
MF N
S S
=，然后用面积公式
将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出b
a
的值，进而可得渐近线方程. 【详解】
∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴21
2F N NF =，
∴122F N F N =，∴122MF N
MF N
S S
=．
∵111
||sin 302
MF N
S
MF MN ︒=
⋅⋅⋅，221
||sin 302
MF N
S MF MN ︒=
⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，
∴ 则124,2MF a MF a ==．
在12MF F △中，由余弦定理得，
222224164812c a a a a =+-=，
故223c a =，∴222b a =，
∴
b
a
=，
故所求渐近线方程为y =， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.
3．A
解析：A 【分析】
将动圆C 的轨迹方程表示出来：22
1167
x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关
系得到最值. 【详解】
定圆()2
2
1:31C x y ++=， 圆心()13,0C -，半径为1
()2
22349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.
动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，
设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为
22
22
1(0)x y a b a b +=>> 所以4a = ，2
2
2
9c a b =-= ，则其方程为：22
1167
x y +=
由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+
当2,,C C M 三点不共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+<=
当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号） 故选：A
【点睛】
关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为
128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M
三点是否共线讨论，属于中档题.
4．C
解析：C 【分析】
本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将
11
m n
+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】
因为双曲线221x y m n
-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，
所以743m n ，
则
()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛
⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 14
2233
m n n m
，当且仅当m n =时取等号， 故
11m n
+的最小值为43，
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.
5．C
解析：C 【分析】
先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ． 【详解】
椭圆22
183
x y +=的半焦距为835c =-=，
∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．
故选：C ． 【点睛】
晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．
6．B
解析：B 【分析】
根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线
上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用
22
2
2
2
212x OP x y x b b a ⎛⎫
=+=+-= ⎪⎝⎭
有解求出离心率e 的取值范围.
【详解】 如图所示，
设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆222
1:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b =
=，
设点(),P x y ，则22
2
2
2
212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭
有解，整理得22
2
23c x b a =
有解，即222
2
3a b x c
=，又22
x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得6
2c e a =
≥
. 故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.
7．B
解析：B 【分析】
首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】
由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b
y x a
=
，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=
，与渐近线方程b
y x a =联立方程，解得()2b a c y a
-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22
b a
c a a a c b c -=----，
化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，
得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
8．C
解析：C 【分析】
求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB
p 的值． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a
=±，
又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2
p
x =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a
=±
， 又由双曲线的离心率为2，所以2c a =
2
=
，则b a = A ，B
两点的纵坐标分别是2
=±
y ， 又AOB
=，得2p =， 故选：C ． 【点睛】
本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．
9．B
解析：B 【分析】
根据题意得||4QF p =，||2PF p =，进而根据抛物线的定义得P 点的横坐标为
3
2
P x p =
，设点P 在x 轴上方，故P 的纵坐标为3p ，再结合三角形PQF △面积即可得答案.
【详解】 解：由条件知(
,0)2p F ，所以||4QF p =，所以1
||||22
PF QF p ==， 由抛物线的准线为2
p x =-
，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3
222p p p -=，
不妨设点P 在x 轴上方，则P 的纵坐标为3p ， 所以1
43832
PQF
S
p p =
⨯⨯=，解得2p =． 故选：B 【点睛】
本题解题的关键在于根据抛物线的定义得P 点的横坐标为3
2
P x p =
，进而求出P 的纵坐标并结合三角形PQF △面积求解，考查运算求解能力，是中档题.
10．C
解析：C 【分析】
由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可． 【详解】
解：如图，椭圆22
:110064
x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，
圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，
则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
11．B
解析：B
【分析】
由2POF 2
4
c =.c 把(P 代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得即可得出． 【详解】
解：
2POF
2
= 解得2c =．
(
P ∴
代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】
在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3
cos 5
ABF ∠=
， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．
设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．
||16BF ∴'=，||10FF '=．
2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5c
e a
∴=
=． 故选：A.
【点睛】
本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
二、填空题
13．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此
解析：3
16
【分析】
由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解． 【详解】
由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0， 所以双曲线中1c =
方程()22
10x y mn m n -=≠表示双曲线
所以,m n 同号.
当,m n 同正时，54a b =-，则2c e a m ===，解得：14
m = 则2
2
2
314n b c a m ==-=-=
，此时133
4416
m n ⋅=⨯=
. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c e a n ===-，解得：1
4
n =- 则2
2
2
314m b c a n -==-=+=，此时133
4416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上所述：3
16
m n ⋅= 【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线
标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．
14．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点
解析：51,62⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
首先联立方程22
101
2
x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.
【详解】
联立方程22
101
2
x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 设圆心坐标(),x y ，
则()22
222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭⎪⎝⎭，
得：56x =
，12
y =， 故答案为：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.
15．3【分析】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知因此问题转化为求的最小值根据平面几何知识当三点共线时最小从而可得结果【详解】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影
解析：3 【分析】
求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知||||PF PD =．因此问题转化为求||||PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时||||PA PD +最小，从而可得结果 【详解】
求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值， 设点P 在准线上的射影为D ，
根据抛物线的定义，可知||||PF PD =
因此，||||PA PF +的最小值，即||||PA PD +的最小值
根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小， 因此的最小值为(1)112A x --=+=， ||1AF =，
所以PAF ∆周长的最小值为213+=， 故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．
16．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】 3【分析】
由几何关系得出1
PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a
=22332a c ac =，再解方程
23230e e +=，即可得出答案.
【详解】
1160,||F PQ PF PQ ︒∠==
1PFQ 为正三角形，则11
||PF PQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =
PQ x ∴⊥轴
设点()00,,0P c y y >，由2
20
22222
1y c a b
a b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，解得20b y a =，即2
2b PF a =
在12F PF ∆中，222
2
11tan 23F F F PF c PF a
b ∠=
=⋅
= 即232b ac =，22332a c ac -=
23230e e ∴+-=，解得33
e =
故答案为：
33
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.
17．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的
21. 【分析】
由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】
解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，
可得22
21c b y b a a =±-=±
，不妨设2(,)b P c a ，由2
(,)b P c a 在直线2y x =上，可得2
2b c a
=， 即为2222a c b ac -==，由c
e a
=可得2210e e +-=，解得21e =（负的舍去）. 故答案为21. 【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.
18．【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标求出直线联立抛物线方
程和直线方程根据弦长公式即可得解【详解】圆所以抛物线过点即其焦点为则直线联立直线与抛物线方程：整理得直线设其两根为弦长所以被抛物线截得 解析：
258
【分析】
根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42
:33
CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解. 【详解】
圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，
即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，204
1322
CF k -=
=-
则直线42
:33
CF y x =-，
联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188
x x p ++=
+= 所以被抛物线截得的弦长为25
8
. 故答案为：258
【点睛】
此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.
19．【分析】先设与直线平行的直线求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程再求两平行线的最大距离即可根据面积公式求出面积最大值【详解】解:由题意可得弦长为定值要使面积最大则只要点到直线的距离最大当平行于直线的直
解析：169,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】
先设与直线:10l x y -+=平行的直线:0l x y m '-+=,求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程,再求两平行线的最大距离,即可根据面积公式求出PAB ∆面积最大值. 【详解】
解:由题意可得弦长AB 为定值,要使PAB ∆面积最大,
则只要点P 到直线:10l x y -+=的距离最大, 当平行于直线l 的直线与椭圆相切时, 对应的切点到直线l 的距离最大或最小. 设直线:0l x y m '-+=
直线与椭圆联立得22
:01169
l x y m x y -+='⎧⎪
⎨+
=⎪⎩, 化简得222532161440x mx m ++-=,
则()
22
(32)425161440m m ∆=-⨯-=,解得5m =±.
当5m =时,直线l '与直线l
的距离为d == 当5m =-时,直线l '与直线l
的距离为d =
=∴当5m =-时, 2251602560x x -+=,解得165
x =, 代入直线:50l x y '--=,解得95
y =- 即点P 的为坐标169,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 故答案为: 169,55⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ 【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了直线与椭圆交点坐标,是中档型的综合题.
20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5
【分析】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，进而把问题转化为
求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，
所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时
PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题
21．直线AB 的方程为3y x =-+，椭圆2C 的方程为221168
x y
+=.
【分析】
利用点差法求出直线AB 的斜率，再将直线AB 的方程与圆的方程联立，求出交点A 、B
的坐标，再将交点A 坐标代入椭圆2C 的方程，可求得c 的值，进而可得出椭圆2C 的方程. 【详解】
因为椭圆2C 的离心率为2
2
c e a =
=
，则2a c =，22b a c c ∴=-=， 所以，椭圆2C 的方程为22
2212x y c c
+=，即22222y c x +=.
设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于AB 为圆1C 的直径，则AB 的中点为()12,1C . 若直线AB 的斜率不存在，则AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.
由已知可得12
1222
1
2
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得121242x x y y +=⎧⎨
+=⎩.
由于A 、B 两点都在椭圆2C 上，则222
11222
222222x y c x y c
⎧+=⎨+=⎩， 两式作差得()()2
2221
2
1
2
20x x y y -+-=，可得22
122212
1
2y y x x -=--，
所以，112121212121211
22
AB OC y y y y y y k k x x x x x x -+-=
⋅=⋅=--+-，1AB k ∴=-， 所以，直线AB 的方程为()12y x -=--，即3y x =-+，
联立()()22
320213y x x y =-+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩
，解得1121x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或2221x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪
=+⎪⎩
，
即点2A ⎛- ⎝⎭
、2B ⎛+ ⎝⎭
，
将点A 的坐标代入椭圆2C
的方程可得22
2222116c ⎛⎛=+= ⎝⎭⎝⎭，则28c =. 因此，椭圆2C 的方程为221168
x y +=.
【点睛】
方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
22．（1）22
142x y +=；（2
）(
OMN S ∈△. 【分析】
（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；
（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】
（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =， 又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则
1010
1101a
--⨯=----+，解得2a =， 故所求椭圆方程为22
142
x y +=．
（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点
()11,M x y ，()22,N x y ，
则圆心到直线l
的距离d =
=()2221m k ∴=+，
联立方程22014
2kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222
214240k x kmx m +++-=，
则122421km x x k -+=+，2
12224
21
-=+m x x k
()
0,2MN ==
=
=，
当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为
(]0,2，
又12OMN S d MN =
⋅⋅=△，可得(
OMN S ∈△． 【点睛】
关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.
23．（1）22163x y +=；（2）（
i ）证明见解析；（ii 【分析】
（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合,,a b c 的关系，则椭圆方程可求； （2）（i ）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA PB ⊥可得(21)(231)0k m k m +-++=，讨论210k m +-=或
2310k m ++=，即可求出直线过定点；（ii ）可知当PM AB ⊥时，求出点P 到AB 的距
离．求解当直线AB 的斜率不存在时，点P 到直线的距离，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值． 【详解】
解：（
1）由题意，得2241
12a b
c a
⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222a b c =+，得26a =，23b =，
所以，椭圆的方程为22
163
x y +=.
（2）（i ）当直线AB 斜率存在时，
设其方程为y kx m =+， 代入椭圆方程， 整理得(
)2
2
2124260k x
kmx m +++-=，
由0∆>，
得22630k m -+>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，
则122412km x x k -+=+，2122
26
12m x x k
-=+， 因为PA PB ⊥，
所以
121211
122
y y x x --⋅=---， 即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，① 其中()()()2
2
12121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，
()12122y y k x x m +=++，
代入①，整理得22483210k mk m m ++--=， 即(21)(231)0k m k m +-++=，
当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意， 所以2310k m ++=，
此时，直线AB 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
所以直线过定点21,33M ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. 当直线AB 斜率不存在时， 设其方程为x n =， 代入解得2
3
n =
或2n =（舍去）， 综上所述，直线AB 恒过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. （ii ）∴当PM AB ⊥时，
点P 到AB
的最大距离为||d PM == 当直线AB 的斜率不存在时， 设其方程为x n =， 代入解得2
3
n =
或2n =舍去．
当2
3
n =
时， 点P 到直线23
x =
的距离为43．
综上，点P 到直线AB 距离的最大值为||d PM == 【点睛】
易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线AB 的斜率是否存在是易错点.
24．（1）24y x =；（2）8. 【分析】
（1）由题意得焦点()1,0F ，则
12
p
=，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到
126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】
（1）因为抛物线()2
20y px p =>的焦点F 恰是椭圆2
212
x y +=的一个焦点，
所以焦点()1,0F ， 则
122
p
p =⇒=， 则抛物线的方程为：24y x =； （2）因为45AFx ∠=， 所以直线AB 的斜率为tan 451︒=， 又抛物线的焦点为()1,0F ，
则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-， 由2
1
4y x y x
=-⎧⎨
=⎩， 得2610x x -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则126x x +=，
所以128AB x x p =++=. 【点睛】
关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.
25．（1）2
214
x y +=；（2）1；（3）1．
【分析】
（1
）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果； （2）利用点差法可求得结果；
（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】
（1）根据题意，221b a
=，所以2
2a b =，
则椭圆方程22
221x y a b +=转化为22221x y a a
+=，
又点⎛ ⎝⎭在椭圆上， 所以
21312a a
+=，即22320a a --=， 由于0a >，故解得2a =， 则21b =，
故所求椭圆方程为2
214
x y +=；
（2）由（1）得椭圆的方程为2
214
x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则12121
22
12
8x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，
由于点A 、B 在椭圆上，则2
2112222
14
1
4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
两个等式相减得()22
22
121204
x x y y -+-=，
即()()()()1212121204
x x x x y y y y +-+
+-=，
即
()()121211
044
x x y y ---=，
所以直线AB 的斜率为12
12
1AB y y k x x -=
=-； （3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，
联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214x
y +=得2258440x tx t ++-=，
令()
22
(8)45440t t ∆=-⨯->
，得t <<
又3485t x x +=-，2
3444
5
t x x -=，
所以
||MN ===
， 又点O 到直线
l 的距离d =
， ()2
2
2
512||125
2
MON
t t S
MN d -
+==⨯=，当且仅当2
2
5t t -=，
即t =
t =t =t =t < 所以MON △面积的最大值为1．
【点睛】
关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键.
26．（1）2
212
x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.
【分析】
（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；
（2）设直线l 的方程为y x m =+
，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +
，然后代入弦长公式12AB
x =-可求得参数
m 值得直线方程．
【详解】
（1）由题意知，1c =，2
c e a =
=
，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组
2
21
2
x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 化简，得2234220x mx m ++-=.
由已知得，()
222
1612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，
∴
m <<1243m x x +=-，21222
3
m x x -=
.
∴
21AB x =-== 解得1m =±，符合题意，
∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得
1212,x x x x +，代入弦长公式12AB x =-求解．。