陕西省西安市庆安初级中学2022-2023九年级下学期第五次模考数学试卷(含解析)

初三第五次适应性练习数学试题
一、单选题（共24分）
1．的绝对值是（ ）A ．
B ．3
C ．
D ．2．志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列各式运算正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4．已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A ．当时，它是矩形
B ．当时，它是菱形
C ．当时，它是正方形
D ．当时，它是菱形
5．如图，点在正方形网格的格点上，则等于（
）
A
B
C
D
6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（ ）A ．
B ．5
C ．
D ．6
7．如图分别与相切于两点．若，则的度数为（
）
3-3±3-13
-
2
3
5
a a a +=10
2
5
a a a ÷=()
3
2626b
b =24
2
1a a
a -⋅=
ABCD AC BD ⊥AC BD =AC BD ⊥AB BC =,,A B C sin BAC ∠21y x m =+-m 5-6-,PA PB O ,A B 65C ∠=︒P ∠
A ．
B ．
C ．
D ．8．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
…013…
…
6
…
下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当
时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④
二、填空题（共
15分）
9．下列实数：_________．
10．如图，将绕点顺时针旋转得到，边相交于点，若，则的度数为_________．
11．把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为_________．
65︒130︒50︒115︒
x y x
2
-y
4
-6
-4-1x =3
2
x >
y x 2
0ax bx c ++=2,,π-ABC △C 30︒DEC △,ED AC F 32A ∠=︒EFC ∠︒33⨯y
x
12．如图，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，且点，反比例函数的图象与交于点，与交于点，则点的坐标是_________．
13．如图，四边形中，，则的正切值是_________．
三、解答题（共81分）
14．（本题5
．
15．（本题5
分）解不等式组：16．（本题5分）
17．（本题5分）如图，已知在中，．在边上求作一点，连接，使得
；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
18．（本题5分）如图，点在直线上，．求证：．
OABC OA OC 、x y ()5,4B k y x
=BC ()1,4D AB E E ABCD ,5, 6.5AB CD AD AB BC BD ====∥ACD ∠0
1(7)π--+()461315
x x x x +>-⎧⎨
-≤+⎩2
216
124
x x x --=+-ABC △90A ∠=︒BC D AD 90C CAD ∠+∠=︒A B C D 、、、l ,,,BE l CF l AC BD AE DF ⊥⊥==E F ∠=∠
19．（本题5分）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为；（2）点和点之间的距离是_________．
20．（本题5分）在如图所示的电路图中，有四个断开的开关A 、B 、C 、D 和一个灯泡L ．
（1）若任意闭合其中一个开关，则灯泡L 发亮的概率为_________；
（2）若任意闭合其中两个开关，请用列表法或画树状图法求灯泡L 发亮的概率．
21．（本题6分）如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走60米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点在同一平面内，斜坡的坡度．请根据小刚的测量数据，计算出建筑物的高度．（结果要求精确到个位，参考数
）
66⨯O ABC △O A B C '''△ABC △1:2B 'C AB B C CD D D E E A 60︒B 45︒A B C D E 、、、、CD 3:4i =AB 1.73≈
22．（本题7分）某商店王老板借助网络平台了解到两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：
款杯子
款杯子
进价（元/个）10085售价（元/个）
150
120
王老板计划购进两款网红杯子共160个进行销售，设购进款杯子个，两款网红杯子全部售完后获得的总利润为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若王老板计划用不超过15000元资金一次性购进两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．
23．（本题7分）学校组织了一次初三年级体育测试，考试后体育王老师为了解所带两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取10名同学的立定跳远成绩（满分15分）进行整理，分析（立定跳远成绩用表示，为整数，共分为3个等级：为不合格，为良好，为优秀），下面给出了部分信息：班10名同学立定跳远成绩：7，15，15，13，11，15，9，10，13，12班立定跳远成绩是“良好”等级的有4人，其成绩分别是：10，12，11，11．
众数
中位数平均数方差优秀等级比例
A 班立定跳远成绩a 12.512 6.850％
B 班立定跳远成绩
11
b
12
3.4
40％
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中的______，______；
（2）初三学生共有2000人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
（3）根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由（写出一条理由即可）．
A B 、A B A B 、A x A B 、y y x A B 、A B 、x x 09x <≤1012x ≤≤1315x ≤≤A a =b =
24．（本题8分）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25．（8分）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴上一点，点是平面内任意一点，当以点为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．
26．（本题10分）（1）问题提出：如图（1），在中，是的平分线，
，的面积为
（2）问题解决：如图（2），是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形，是一条长200米的健身步道，且是的平分线，．为了增加花卉的种植面积，规划在上找点，在上找点，沿线段修建两条健身步道，将四边形分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若，设的长为（米），种植花卉区域的面积为（平方米）．
①求与之间的函数关系式；
②试求当新修建的健身步道总长度
最小时，种植花卉区域的面积．
ABC △AB AC =AB O BC D AC E B O OD F A BOF ∠=∠4,1AB DF ==AE 2y ax bx c =++x ()()5,0,1,0A B --y ()0,5C AC P x E A C P E 、、、P Rt ABC △90,A BD ∠=︒ABC ∠5,13AB BC ==BCD △,60ABCD ABC ∠=︒BD BD ABC ∠90BAD BDC ∠=∠=︒BD P BC Q AP PQ 、ABCD 120APQ ∠=︒BP x y y x ()AP PQ +
参考答案：
1．B
【详解】解：
的绝对值：，故选：B ．
【点拨】此题考查了绝对值的问题，解题的关键是掌握绝对值的定义．2．D
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.【详解】解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D ．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3．D
【详解】解：A 、a 2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、，故本选项错误；C 、，故本选项错误；
D 、，正确．故选：D ．
【点拨】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．4．D
【详解】解： A 、当AC ⊥BD 时，它是菱形，说法错误，不符合题意；B 、当AC =BD 时，它是矩形，说法错误，不符合题意；
C 、当AC =B
D 且AC ⊥BD 时，它是正方形，说法错误，不符合题意；D 、当AB ＝BC 时，它是菱形，说法正确，符合题意；3-33-=3a 1028a a a ÷=()3
2628b b =242
2
1
a a a a --⋅==
【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．5．A
【详解】解：连接CD ，点D 在格点上，如右图所示：设每个小正方形的边长为a ，则CD a ，AC
，AD
，
∴CD
2+AD 2
）2+（）
2a ）2＝AC 2，∴△ACD 是直角三角形，
∴sin ∠BAC ＝sin
∠CAD ，故选：A ．
【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD 的形状．6．A
【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m 的值．【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后得到的解析式为：，化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，∴，解得：，故选：A ．
【点拨】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题=====CD AC ==21y x m =+-2(3)1y x m =++-25y x m =++50m +=5m =-
7．C
【详解】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．故选：C ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．8．B
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题意知：，
解得，
∴二次函数的解析式为，
①函数图象开口向上，故①选项正确；②对称轴为直线，故②选项错误；③当时，函数值y 随x 的增大而增大，故③选项正确；④方程的解为，，故④选项错误．故选：B ．
【点拨】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．9．－2
【详解】解：∵3<4，
，∴
，
∴，即最小是数是
-2，故答案为：-2．
【点拨】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，还考查了
2y ax bx c =++42646a b c c a b c -+=⎧⎪
=-⎨⎪++=-⎩134a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
()()2
2
325344124y x x x x x ⎛
⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭3
2
x =3
2
x >
2340x x --=11x =-24x =2π>>>-
无理数的估算．10．【详解】解：∵将绕点C 顺时针旋转得到，，∴，∴，故答案为：．
【点拨】．本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．1
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，故答案为：1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．12．【分析】由点D (1，4)，在反比例函数的图象上，可得，则根据的坐标求得．【详解】解：∵矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且点B (5，4)，∴的横坐标为5，
由点D (1，4)，在反比例函数的图象上，可得，反比例函数，在反比例函数图象上．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是解题的关键．13．
【分析】根据已知AB =BC =BD =6.5，可得点A 、D 、C 在以B 为圆心，BA 长为半径的圆上，再利用直径所对的圆周角是直角，想到延长AB 交⊙B 于点E ，然后利用平行线的性质可得∠ACD =∠CAE ，最后在Rt △ACE 中即可解答．
【详解】解：∵AB =BC =BD =6.5，
62
ABC 30︒DEC 32A ∠=︒3230D A ACD =∠=︒=︒∠，∠62EFC D ACD ∠=+=︒∠∠625425285x y y x y ++=++⎧⎨++=++⎩1
9x y =⎧⎨=⎩911y x ==45,5⎛⎫ ⎪
⎝⎭
k y x =
4k =B 45,5E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
E k
y x
=
4k =∴4y x
=
E 4
y x
=
45,5E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭45,5⎛⎫
⎪⎝⎭
512
∴点A 、D 、C 在以B 为圆心，BA 长为半径的圆上，延长AB 交⊙B 于点E ，
∵AB ∥CD ，
∴∠CDB =∠ABD ，∠DCB =∠CBE ，∠ACD =∠CAE ，
∵BD =BC ，
∴∠BDC =∠BCD ，
∴∠ABD =∠CBE ，
∴AD =CE =5，
∵AE 是⊙B 的直径，
∴∠ACE =90°，
在Rt △ACE 中，AE =2AB =13，
∴，
∴
，∴，故答案为：．14
．
【详解】解：原式==
．
15．-1<x ≤4
【详解】解：由①得：5x >-5
x >-1
由②得：3x -3≤x +5
12AC ==5tan 12CE CAE AC ∠=
=5tan 12ACD ∠=
512
21)1
-+11
+2()461315x x x x ⎧+>-⎪⎨-≤+⎪⎩①②
x ≤4
∴不等式组的解集为：-1<x ≤4
16．（增根）
【详解】试题分析：解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.
两边同乘
得解这个方程得
经检验是增根，所以原方程无解.
考点：解分式方程
点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
17．见解析
【详解】解：如图，点D 即为所求，此时∠C +∠CAD =90°．
18．见解析
【分析】证明，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）分别找出的中点、、，顺次连接、、即可得到；（2）根据两点之间的距离公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，
即为所求．
ABE DCF △≌△,BE l CF l ⊥⊥90ABE DCF ∠=∠=︒AC BD =AC BC BD BC -=-AB CD =AE DF =()HL ABE DCF ≌E F ∠=∠OA OB OC 、、A 'B 'C 'A 'B 'C 'A B C ''' A B C '''
；
（2）解：如图，点和点之间的距离是5．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了网格中作位似图形．解题的关键是掌握位似图形的概念及作图方法．
20．（1
）；（2）【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）有4个开关，只有D 开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是
；（2）根据题意，列表如下
由表可知，任意闭合两个开关共有种情况，其中能使灯泡发光的情况有种
（灯泡发光）．21．建筑物的高度约为米
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，
则，
B '
C 14
1214A
B C D A
AB AC AD B BA BC BD
C
CA CB CD D DA DB DC
∴12L 6P ∴L 61122
==AB 98D DF CB ⊥F DE AB G GB DF =
∵斜坡的坡度，设，则，
在中，，
，
∴解得，
∴，
在中，，
在中，，
∴
∴，
∴建筑物的高度约为米．
22．(1)(2)A 款网红杯子购买93个，
B 款网红杯子购买67个；获得最大利润6995元
【详解】（1）由题意得：，
化简得：，
即y 与x 的函数关系式为：．
（2）∵王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A 、B 两款网红杯子，
∴，
解得：，∵x 为非负整数，
∴．
∵，且，
∴当x =93时，y 取得最大值，且最大值为6995，
即A 款网红杯子购买93个，B 款网红杯子购买160-93=67（个）时，获得最大利润6995元．
23．(1)15，11.5
(2)400人
(3)A 班的成绩更好，理由：A 班的优秀率50%高于B 班的优秀率40%
【详解】（1）将A 班成绩从小到大排列：7，9，10，11，12，13，13，15，15，15，
∴A 班的众数为：15，故，
B 班优秀的人数为：（人），
则B 班不合格的人数为：（人）
将B 班成绩从小到大排列：不合格（2人），10，11，11，12，优秀（4人），
CD 34i =：
3DF a =4CF a =Rt DFC 5DC a ===60DC = 560
a =12a =336448DF a CF a ====，36
GB DF =∴=Rt GEB 45GEB ∠=︒Rt AGE 60AEG ∠=︒tan 60AG EG =⋅︒=AB AG GB =+=3698+≈AB 98155600
y x =+()()()15010012085160y x x =-+--155600y x =+155600y x =+10085(160)15000x x +-≤1933
x ≤093x ≤≤155600y x =+093x ≤≤15a =1040%4⨯=10442--=
则B
班中位数为：，故；（2）A 、B 班中不合格比例为：
，即：（人），
答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有400人；
（3）∵A 班的优秀率50%高于B 班的优秀率40%，
∴A 班的成绩更好，
即A 班的成绩更好，理由：A 班的优秀率50%高于B 班的优秀率40%．（答案不唯一）
【点拨】本题考查了中位数、众数、方差、平均数、扇形统计图以及用样本估计总体等知识，注重数形结合，并掌握利用中位数、众数、方差、平均数等参数做决策是解答本题的关键．
24．(1)见解析
(2)【详解】（1）证明：
（2）解：如图：连接BE
是的直径，AB =4
，是的切线
又 111211.52
+=11.5b =2220%1010+=+200020%400⨯=8
3
AE =AB AC = C ABC ∴∠=∠OB OD = ODB OBD
∴∠=∠C ODB
∴∠=∠AC OD ∴∥A BOF
∴∠=∠AB O 90AEB ∴∠=︒122
OB OD AB ===BF O 90OBF ∴∠=︒AEB OBF
∴∠=∠A BOF
∠=∠ ABE OFB ∴△∽△AE AB OB OF
∴=
又
，解得【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．
25．(1)(2)或．
【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于，两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，当为矩形对角线时，
∵，，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，如图，
213OF OD DF =+=+= 423
AE ∴=83AE =ABE OFB △∽△265
y x x =++()5,0P ()0,0P 2y ax bx c =++()5,0A -()1,0B -()()51y a x x =++()0,5C 55a =1a =()()25165y x x x x =++=++AP ()5,0A -()0,5C ACPE 90ACP ∠=︒45ACO OAC ∠=∠=︒45APC PCO ∠=∠=︒5OP OC ==()5,0P AC
由矩形可得，
此时，重合，
∴；
综上：或．
．
26．（1
）；（2）①；②总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．
【分析】（1）过点作于点
，根据角平分线的性质可得，解即可求解；（2
）①过点作，连接，证明，，根据即可求解；
②根据①可得，当时，取得最小值，即总长度最小，将代入关系式即可求解．
【详解】（1）如图，过点作
于点，
在中，，，
，
为的角平分线，
，，
，
即，，则，
APCE 90PAE ∠=︒P O ()0,0P ()5,0P ()0,0P 6532y x =-+()AP PQ +D DE BC ⊥E DE AD =Rt DCE V P ,,PH AB PG BC DF BC ⊥⊥⊥PF AHP QGP ≌ADP FDP ≌=APD BPQ FPD BPQ BDF PQF y S S S S S S =+=+- AP PQ =AP BP ⊥AP ()AP PQ +150x =D DE BC ⊥E Rt ABC △90A ∠=︒513AB BC ==，12AC ∴==90,A BD ∠=︒ ABC ∠D A D E ∴=ABD EBD ∠=∠tan tan ABD EBD ∴∠=∠AD DE AB BE
=AB BE ∴=5=1358EC BC BE =-=-=
设，
，，解得，；（2）如图，过点作，连接，是的角平分线，，，，，，，，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，，
AD DE x ==tan DE AB C EC AC
== 5812
x ∴=103
x =111065132233
BCD S BC DE ∴=⨯⨯=⨯⨯= P ,,PH AB PG BC DF BC ⊥⊥⊥PF BD Q ABC ∠60ABC ∠=︒90BAD BDC ∠=∠=︒200BD =11002AD BD DF ∴===BP x =12
HP x PG ==AB BF ===3609090120HPG HBG ∴∠=︒-∠-︒-︒=︒120APQ ∠=︒ APH QPG ∴∠=∠90AHP QGP ∠=∠=︒ ∴AHP QGP ≌AP PQ ∴=AH GQ =,,60AD DF PD PD ADP FDP ==∠=∠=︒ ∴ADP FDP ≌∴AP PF =PQ PF ∴=12HP x = AH AB BH =-=22QF QG AH ∴====APD BPQ FPD BPQ BDF PQF
y S S S S S S ∴=+=+- 1122
BF DF QF PG =⨯-⨯()
111100222x =⨯-⨯⨯2x =-+
②，由①可得，当时，取得最小值，此时中，，，
即总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．y ∴2
-+AP PQ =AP BP ⊥AP Rt ABP BP AB =
150x AB ==2150150y ∴=
-+=()AP PQ +。