2020届河北省衡水中学高三下学期第九次调研考试数学(理)试题

衡水中学2019—2020学年度高三下学期第九次调研考试
数学（理科）
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共60分.) 1.已知集合12
{|02},{|log 2}A x x B x x =<
<=<，则A ∪B=()
A. R
.{|02}B x x << C. {x|x>0}
1
.|
2}4
{D x x << 2.复数5i
z
i
=
+的虚部为() 5.
26
A
5.
26
B i
5.26
C -
5.26
D i -
3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为
ˆ 1.1630.75,y
x =-以下结论中不正确的为()
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 4.函数
()||(a
f x x a x
=-∈R) 的图象不可能是
( )
5.某几何体的三视图如图，该几何体表面。

上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A,B ，则在
该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（）
.5A
.6B
.22C
.10D
6.设m, n 为正数，且m+n=2,则
13
12
n m n ++
++的最小值为( ) 3.
2
A
5.
3
B
7.
4
C
9.
5
D 7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为:在△ABC 中，角A, B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S=222221[()()]42
a b c ab +--根据此公式，若acosB+ (b +
3c)cosA=0,且2
2
2
2,a b c --=则△ABC 的面积为()
.2A
.22B
.6C
.23D
8.执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为()
A. -3
1
.
3
B
1.2
C -
D.2
9.若0<a<b<1,x=a b ,y=b a ,z=log b a,则x,y,z 大小关系正确的是 A.x<y<z
B.y <x<z
C. z <x<y
D.z<y<x
10.已知双曲线C:22
221(0,0),x y a b a b -=>>点00(,)P x y 是直线bx- ay+4a=0上任意一点，若圆
2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是()
A. (1, 2]
B. (1, 4]
C.[2,+∞)
D.[4，+∞)
11.直线y= a 与函数
()tan()(04
f x x π
ωω=+>)的图象的相邻两个交点的距离为2π,若f(x)在(-m,m) (m> 0)
上是增函数,则m 的取值范围是( )
.(0,]4
A π
.(0,]2
B π
3.(0,
]4
C π
3.(0,
]2
D π 12.已知函数2
()(2),x
f x x x e =-若方程f(x)=a 有3个不同的实根1231,,(x x x x 23),x x <<则22
a
x -的取值范围是( )
1
.[,0)A e
-
.(B .(C
.D
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)
7
113.()7x x
-
的展开式的第2项为____ 14.已知△ABC 中，AB=3, AC=5, BC=7,若点D 满足11,32
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 则DB DC ⋅=u u u
r u u u r ____
15.记等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若241718,459,a a S +==则数列3(}{1)n
n a -⋅的前n 项和n T =____ 16.已知三棱锥D 一ABC 的所有顶点都在球O 的表面上,AD ⊥平面
,ABC AC =1,cos ,
2BC ACB ACB AD =∠=∠=,则球O 的表面积为_____
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.) 17.设
2()sin cos cos ().4
f x x x x π
=-+
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC 中,角A, B, C 的对边分别为a, b, c.若()0,2
A
f a == 1,求△ABC 面积的最大值.
18.如图，在三棱锥P- ABC 中，已知AC = 2，AB = BC =PA =顶点P 在平面ABC 上的射影为△ABC
的外接圆圆心.
(1)证明:平面PAC ⊥平面ABC;
(2)若点M 在棱PA 上，
||
,||
AM AP λ=且二面角P- BC- M 的余弦值为
33试求λ的值.
19.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元;方案②规定每日底薪100 元，快递业务的前44单没有提成,从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[25,35)，[35, 45), [45, 55), [55, 65)，[65, 75), [75, 85), [85, 95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案①的概率为1
,
3
选择方案②的概率为
2
.
3
若甲、乙、丙三名骑
手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案①的概率;
(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
20.如图，椭圆
22
122
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左右焦点分别为
12
,,
F F离心率为
3
,
2
过抛物线2
2
:4
C x by
=
焦点F的直线交抛物线于M,N两点,当
7
||
4
MF=时，M点在x轴上的射影为
1
F.连接NO,MO并延长分别交
1
C于
A,B两点,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为
OMN
S
∆
和,
OAB
S
∆
设.
OMN
OAB
S
S
λ∆
∆
=
(1)求椭圆
1
C和抛物线
2
C的方程;
(2)求λ的取值范围.
21.已知函数2
()1
x
f x x ae
=--
(1)若f(x)有两个不同的极值点
12
,,
x x求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下，求证:12
4
.
x x
e e
a
+>
选考题:共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
22cos
2sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
( θ为参数)，直线l
的参数方程为
2
1
2
x
y t
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(t为参数),以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C以及直线l的极坐标方程;
(2)若A(0.1),直线l与曲线C相交于不同的两点M，N,求
11
||||
AM AN
+的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+ 1|.
(1)解不等式f(x)> 3- |x + 2|;
(2)已知a>0,b>0,
且2
a b
+=求证
:()||
f x x
-≤。