sigma algebra 例题证明

sigma algebra 例题证明
设集合A={1,2,3}，我们要证明集合A的所有子集构成的集合的幂集P(A)是一个σ-代数。

首先，我们知道一个集合的σ-代数需要满足以下三个条件：
1. 空集属于σ-代数中，即∅∈P(A)；
2. σ-代数对取补运算封闭，即如果B∈P(A)，则B的补集也属于P(A)；
3. σ-代数对可列并运算封闭，即如果B1,B2,⋯∈P(A)，则它们的可列并也属于P(A)。

现在我们逐个证明这三个条件。

1. 由于空集∅是集合A的子集，因此∅∈P(A)。

2. 假设B是P(A)的一个子集，我们要证明B的补集也属于
P(A)。

由于B是A的子集，B也是A所有元素的一个子集。

因此B的补集B'包含了A中所有不属于B的元素。

由于B的补集B'也是A的子集，所以B'也属于P(A)。

3. 假设B1,B2,⋯是P(A)的一系列子集，我们要证明它们的可列并∪Bi也属于P(A)。

由于每个Bi都是A的子集，它们的可列并∪Bi也是A的子集。

所以∪Bi也属于P(A)。

综上所述，P(A)满足σ-代数的三个条件，因此P(A)是一个σ-代数。